Реферат По Математике Криволинейные И Поверхностные Интегралы
👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Реферат По Математике Криволинейные И Поверхностные Интегралы
1.Геометрические приложения интегралов
1.1 Геометрические приложения двойных интегралов………….. 3
1.2 Геометрические приложения тройных интегралов………….. 5
1.3 Геометрические приложения криволинейных интегралов… 6
1.4 Геометрические приложения поверхностных интегралов….. 8
2. Физические приложения интегралов
2.1 Физические приложения двойных интегралов……………… 10
2.2 Физические приложения тройных интегралов……………… 12
2.3 Физические приложения криволинейных интегралов……... 14
2.4 Физические приложения поверхностных интегралов……… 18
1.Геометрические приложения интегралов
1.1 Геометрические приложения двойных интегралов
Если f
( x,y
) = 1 в интеграле , то двойной интеграл равен площади области интегрирования R
. Площадь области типа I (элементарной относительно оси О y
) (рисунок 1) выражается через повторный интеграл в виде
Аналогично, площадь области типа II (элементарной относительно оси О x
) (рисунок 2) описывается формулой
Если f
( x,y
) > 0 в области интегрирования R
, то объем цилиндрического тела с основанием R
, ограниченного сверху поверхностью z = f
( x,y
), выражается формулой
В случае, когда R
является областью типа I, ограниченной линиями , объем тела равен
Для области R
типа II, ограниченной графиками функций , объем соответственно равен
Если в области R
выполняется неравенство , то объем цилиндрического тела между поверхностями z
1
= f
( x,y
) и z
2
= g
( x,y
) с основанием R
равен
Предположим, что поверхность задана функцией z = f
( x,y
), имеющей область определения R
. Тогда площадь такой поверхности над областью z
определяется формулой
при условии, что частные производные и непрерывны всюду в области R
.
Площадь и объем в полярных координатах
Пусть S
является областью, ограниченной линиями (рисунок 3). Тогда площадь этой области определяется формулой
Объем тела, ограниченного сверху поверхностью с основанием S
, выражается в полярных координатах в виде
Вычислить площадь области R
, ограниченной линиями .
Сначала определим точки пересечения двух заданных линий.
Следовательно, координаты точек пересечения равны
Область R
представлена на рисунке 5 выше. Будем рассматривать ее как область типа II. Для вычисления площади преобразуем уравнения границ:
1.2 Геометрические приложения тройных интегралов
Геометрическое приложение
- вычисление объема
любого пространственного тела.
Объем тела
U
в декартовых координатах Oxyz
выражается формулой
В цилиндрических координатах объем тела равен
В сферических координатах, соответственно, используется формула
Найти объем шара x
2
+ y
2
+ z
2
≤ R
2
.
Вычислим объем части шара, расположенной в первом октанте ( x
≥ 0, y
≥ 0, z
≥ 0), и затем умножим результат на 8. Получаем
В результате получена известная формула для объема шара радиусом R
.
1.3 Геометрические приложения криволинейных интегралов
Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются
· Площадь области, ограниченной замкнутой кривой;
· Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно некоторой оси.
Пусть C
является гладкой, кусочно-непрерывной кривой, которая описывается вектором . Длина данной кривой выражается следующим криволинейным интегралом
где − производная, а − компоненты векторной функции . Если кривая C
задана в плоскости, то ее длина выражается формулой
Если кривая C
представляет собой график заданной явно, непрерывной и дифференцируемой функции в плоскости O xy
, то длина такой кривой вычисляется по формуле
Наконец, если кривая C
задана в полярных координатах уравнением , и функция является непрерывной и дифференцируемой в интервале , то длина кривой определяется выражением
Площадь области, ограниченной замкнутой кривой
Пусть C
является гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой, заданной в плоскости O xy
(рисунок 1). Тогда площадь области R
, ограниченной данной кривой, определяется формулами
Здесь предполагается, что обход кривой C
производится против часовой стрелки. Если замкнутая кривая C
задана в параметрическом виде , то площадь соответствующей области равна
Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно оси Ox
Предположим, что область R
расположена в верхней полуплоскости y ≥
0 и ограничена гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой C
, обход которой осуществляется против часовой стрелки. В результате вращения области R
вокруг оси O x
образуется тело Ω (рисунок 2). Объем данного тела определяется формулами
1.4 Геометрические приложения поверхностных интегралов
С помощью поверхностных интегралов вычисляются
Пусть S
является гладкой, кусочно-непрерывной поверхностью. Площадь поверхности
определяется интегралом
Если поверхность S
задана параметрически с помощью вектора
где D
( u,v
) − это область, в которой задана поверхность.
Если поверхность S
задана в явном виде функцией z
( x,y
), то площадь поверхности выражается формулой
где D
( x,y
) − проекция поверхности S
на плоскость xy
.
Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью
Предположим, что тело ограничено некоторой гладкой, замкнутой поверхностью S
. Тогда объем тела
определяется по формуле
Вычислить площадь поверхности части параболоида , лежащей выше плоскости xy
.
Переходя к полярным координатам, находим ответ:
2. Физические приложения интегралов
2.1Физические приложения двойных интегралов
Масса и статические моменты пластины
Предположим, что плоская пластина изготовлена из неоднородного материала и занимает область R
в плоскости O xy
. Пусть плотность пластины в точке ( x, y
) в области R
равна . Тогда масса пластины
выражается через двойной интеграл в виде
Статический момент пластины относительно оси
O x
определяется формулой
Аналогично находится статический момент пластины относительно оси
O y
:
Координаты центра масс пластины
, занимающей область R
в плоскости O xy
с плотностью, распределенной по закону , описываются формулами
Для однородной пластины с плотностью для всех ( x, y
) в области R
центр масс определяется только формой области и называется центроидом
.
Момент инерции пластины относительно оси
O x
выражается формулой
Аналогично вычисляется момент инерции пластины относительно оси
O y
:
Полярный момент инерции пластины
равен
Предположим, что электрический заряд распределен по области R
в плоскости O xy
и его плотность распределения задана функцией . Тогда полный заряд пластины
Q
определяется выражением
Приведем также формулу дял расчета среднего значения некоторой распределенной величины. Пусть f
( x,y
) является непрерывной функцией в замкнутой области R
в плоскости O xy
. Среднее значение функции μ
функции f
( x,y
) в области R
определяется формулой
где − площадь области интегрирования R
.
Вычислить моменты инерции треугольника, ограниченного прямыми (рисунок 2) и имеющего плотность .
Найдем момент инерции пластины относительно оси O x
.
Аналогично вычислим момент инерции относительно оси O y
.
2.2 Физические приложения тройных интегралов
Пусть тело занимает объем U
и его объемная плотность в точке M
( x,y,z
) задана функцией ρ
( x,y,z
). Тогда масса тела
m
вычисляется с помощью тройного интеграла:
Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz
выражаются формулами
Координаты центра тяжести тела
вычисляются по формулам:
Если тело является однородным с плотностью ρ
( x,y,z
) = 1 для точек M
( x,y,z
) в области U
, то центр тяжести тела зависит только от геометрии тела и называется центроидом
.
Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz
определяются выражениями
а моменты инерции тела относительно координатных осей Ox, Oy, Oz
вычисляются по формулам
Моментом инерции тела относительно начала координат
называется интеграл
Момент инерции относительно начала координат можно выразить через моменты инерции относительно координатных плоскостей:
Используя рассмотренные выше 6 чисел I x
, I y
, I z
, I xy
, I xz
, I yz
, можно составить так называемую матрицу инерции
или тензор инерции
тела:
Данный тензор является симметричным, и, следовательно, его можно привести к диагональному виду при определенном выборе осей Ox', Oy', Oz'
. Значения диагональных элементов (после приведения тензора к диагональному виду) называются главными моментами инерции
, а указанные направления − собственными векторами
или главными осями инерции
.
Если тело вращается вокруг оси, не совпадаюшей с главной осью инерции, то оно будет испытывать вибрации при высоких скоростях вращения. Поэтому, при конструировании таких устройств необходимо, чтобы ось вращения совпадала с одной из главных осей инерции. Например, при замене шин автомобиля проводится их балансировка: небольшие грузики добавляются к колесам, чтобы обеспечить совпадение оси вращения с главной осью инерции и исключить вибрации.
Гравитационный потенциал и сила тяготения
Ньютоновым потенциалом тела
в точке P
( x,y,z
) называется интеграл
где ρ
( ξ,η,ζ
) − плотность тела, и .
Интегрирование выполняется по всему объему тела. Зная потенциал, можно вычислить силу притяжения материальной точки массы m
и заданного распределенного тела с плотностью ρ
( ξ,η,ζ
) по формуле
Найти массу шара радиуса R
, плотность γ
которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.
По условию, плотность γ
задана соотношением γ = ar
2
, где a
− некоторая постоянная, r
− расстояние от центра. Массу шара удобно вычислить в сферических координатах:
2.3 Физические приложения криволинейных интегралов
С помощью криволинейных интегралов вычисляются
2) Центр масс и моменты инерции кривой;
3) Работа при перемещении тела в силовом поле;
4) Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера);
5) Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея).
Рассмотрим эти приложения более подробно с примерами.
Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой C
. Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью ρ
( x,y,z
). Тогда общая масса кривой
выражается через криволинейный интеграл первого рода
Если кривая C
задана в параметрическом виде с помощью векторной функции , то ее масса описывается формулой
В случае плоской кривой, заданной в плоскости O xy
, масса определяется как
Центр масс и моменты инерции кривой
Пусть снова кусок проволоки описывается некоторой кривой C
, а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности ρ
( x,y,z
). Тогда координаты центра масс кривой
определяются формулами
− так называемые моменты первого порядка
. Моменты инерции относительно осей Ox, Oy и Oz
определяются формулами
Работа при перемещении тела в силовом поле вдоль кривой C
выражается через криволинейный интеграл второго рода
где − сила, действующая на тело, − единичный касательный вектор (рисунок 1). Обозначение означает скалярное произведение векторов и . Заметим, что силовое поле не обязательно является причиной движения тела. Тело может двигаться под действием другой силы. В таком случае работа силы иногда может оказаться отрицательной. Если векторное поля задано в координатной форме в виде
то работа поля вычисляется по формуле
В частном случае, когда тело двигается вдоль плоской кривой C
в плоскости O xy
, справедлива формула
Если траектория движения C
определена через параметр t
( t
часто означает время), то формула для вычисления работы принимает вид
где t
изменяется в интервале от α
до β
. Если векторное поле потенциально
, то работа по перемещению тела из точки A
в точку B
выражается формулой
Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией вдоль замкнутого контура C
пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную контуром C
(рисунок 2). Это выражается формулой
где - магнитная проницаемость ваккуума
, равная Н/м.
Электродвижущая сила
ε
, наведенная в замкнутом контуре C
, равна скорости изменения магнитного потока ψ
, проходящего через данный контур (рисунок 3).
Определить массу проволоки, имеющей форму отрезка от точки A
(1,1) до B
(2,4). Масса распределена вдоль отрезка с плотностью .
Решение.
Составим сначала параметрическое уравнение прямой AB
.
где параметр t
изменяется в интервале [0,1]. Тогда масса проволоки равна
2.4 Физические приложения поверхностных интегралов
Поверхностные интегралы применяются во многих прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются
Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов , курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Название: Геометрические и физические приложения двойных, тройных, криволинейных и поверхностных интеграло
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 05:48:59 10 июля 2011 Похожие работы
Просмотров: 2007
Комментариев: 8
Оценило: 3 человек
Средний балл: 4
Оценка: неизвестно Скачать
Реферат : Геометрические и физические... - BestReferat.ru
Поверхностные интегралы . Дипломная (ВКР). Математика .
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
Криволинейные интегралы . Понятие и примеры решений
33. Криволинейные и поверхностные интегралы первого рода
Реферат Тема Физическая Культура Древнего Египта
Пересчет Курсовых Разниц На Отчетную Дату
Что Может Привести Человека К Измене Сочинение
Гандбол Реферат По Физкультуре 7 Класс
Сочинение По Повести Лескова Очарованный Странник