Реферат По Алгебре 11 Класс
Реферат По Алгебре 11 Класс
Получите деньги за публикацию своих разработок в библиотеке «Инфоурок»
и получить бесплатное свидетельство о размещении материала на сайте infourok.ru
Инфоурок
›
Алгебра
› Научные работы › Реферат по математике на тему: "Производная" (11 класс)
Реферат по математике на тему: "Производная" (11 класс)
Рейтинг материала:
2,0 (голосов: 1)
Московский институт профессиональной переподготовки и повышения квалификации педагогов
Курс профессиональной переподготовки
от 5.900 руб.
от 2.950 руб.
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
Выберите категорию:
Все категории Алгебра Английский язык Астрономия Биология Внеурочная деятельность Всеобщая история География Геометрия Директору, завучу Доп. образование Дошкольное образование Естествознание ИЗО, МХК Иностранные языки Информатика История России Классному руководителю Коррекционное обучение Литература Литературное чтение Логопедия, Дефектология Математика Музыка Начальные классы Немецкий язык ОБЖ Обществознание Окружающий мир Природоведение Религиоведение Родная литература Родной язык Русский язык Социальному педагогу Технология Украинский язык Физика Физическая культура Философия Французский язык Химия Черчение Школьному психологу Экология Другое
Выберите класс:
Все классы Дошкольники 1 класс 2 класс 3 класс 4 класс 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс
Выберите учебник:
Все учебники
Выберите тему:
Все темы
также Вы можете выбрать тип материала:
Все материалы
Статьи
Научные работы
Видеоуроки
Презентации
Конспекты
Тесты
Рабочие программы
Другие методич. материалы
Лазарева Юлия Валерьевна
Написать
68399
24.10.2016
Алгебра
11 класс
Научные работы
Авторизуйтесь , чтобы задавать вопросы.
Знаете, что говорят коллеги из Вашего учебного заведения о КУРСАХ «Инфоурок»?
Обучение и проверка знаний требований охраны труда
820 р.
О нас
Пользователи
сайта
Часто задаваемые вопросы
Обратная связь
Сведения об организации
Партнерская программа
Для всех учителей из 37 347 образовательных учреждений по всей стране
репетиторы онлайн от проекта «ИнфоУрок»
Онлайн-занятия с репетиторами Подберём репетитора лично для Вас и запишем на бесплатное пробное занятие!
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ) в соответствии с ФГОС" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).
преподаватель Лазарева Юлия Валерьевна
Понятие функции является одним из основных понятии математики. Оно не возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а, как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой математике. Например, изменение площади, объема фигуры в зависимости от изменения ее размеров. Однако древними греками идея функциональной зависимости осознавалась интуитивно.
Уже в 16 - 17 в. в, техника, промышленность, мореходство поставили перед математикой задачи, которые нельзя было решить имеющимися методами математики постоянных величин. Нужны были новые математические методы, отличные от методов элементарной математики.
Впервые термин "функция" вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин (определения он не дал вообще) он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него "геометрический налет". В современных терминах это определение связано с понятием множества и звучит так: «Функция есть произвольный способ отображения множества А = {а} во множество В = {в}, по которому каждому элементу а А поставлен в соответствие определенный элемент в В. Уже в этом определении не накладывается никаких ограничений на закон соответствия (этот закон может быть задан Формулой, таблицей, графиком, словесным описанием). Главное в этом определении: а А ! b B . Под элементами множеств А и В понимаются при этом элементы произвольной природы.
В математике XVII в. самым же большим достижением справедливо считается изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших учеников. Введение в математику методов анализа бесконечно малых стало началом больших преобразований. Но наряду с интегральными методами складывались и методы дифференциальные. Вырабатывались элементы будущего дифференциального исчисления при решении задач, которые в настоящее время и решаются с помощью дифференцирования. В то время такие задачи были трех видов: определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов функций, отыскивание условий существования алгебраических уравнений квадратных корней.
Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала, объясняются употребляющиеся обозначения dx , dy , и др.
Появление анализа бесконечно малых революционизировало всю математику, превратив ее в математику переменных величин.
Исследование поведения различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными.
В своём реферате я хочу подробнее остановится на приложениях производной.
При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом
Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f ' (x) , называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов: 1) даем аргументу x приращение x и определяем соответствующее приращение функции y = f(x+x) -f(x) ; 2) составляем отношение
3) считая x постоянным, а x 0, находим
который обозначаем через f ' (x) , как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x , при котором мы переходим к пределу. Определение: Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен. Таким образом,
Заметим, что если при некотором значении x , например при x=a , отношение
при x 0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a ) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a .
Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x 0
Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x 0 , f (х 0 )) и пересекающую график в некоторой точке B ( x ; f ( x )). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆ x ; ВС =∆у; tgβ =∆ y /∆ x .
Так как АС || Ox , то ALO = BAC = β (как соответственные при параллельных). Но ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ.
Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая ( a ), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.
Если перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве tg β =∆ y /∆ x , то получим или tg = f '( x 0 ), так как -угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох , по определению производной. Но tg = k - угловой коэффициент касательной, значит, k = tg = f '( x 0 ).
Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:
Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x 0 .
О пределение 1. Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b) , если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x) также возрастают, т.е. если f(x 2 ) > f(x 1 ) при x 2 > x 1 .
Из этого определения следует, что у возрастающей в интервале (a,b) функции f(x) в любой точке этого интервала приращения x и y имеют одинаковые знаки . График возрастающей функции показан на рисунке1(а). Если из неравенства x 2 > x 1 вытекает нестрогое неравенство f (x 2 ) f (x 1 ) , то функция f (x) называется неубывающей в интервале (a, b ) . Пример такой функции показан на рисунке 2(а). На интервале [ x 0 , x 1 ] она сохраняет постоянное значение C Определение 2. Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b ) если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если f(x 2 ) < f(x 1 ) при x 2 > x 1 .
Из этого определения следует, что у убывающей в интервале ( a, b ) функции f (x) в любой точке этого интервала приращения x и y имеют разные знаки . График убывающей функции показан на рисунке 1(б).
Если из неравенства x 2 > x 1 вытекает нестрогое неравенство f(x 2 ) f(x 1 ) , то функция f (x) называется невозрастающей в интервале ( a, b ) . Пример такой функции показан на рисунке 2(б). На интервале [ x 0 , x 1 ] она сохраняет постоянное значение C .
Теорема 1. Дифференцируемая и возрастающая в интервале (a, b) функция f(x) имеет во всех точках этого интервала неотрицательную производную .
Теорема 2. Дифференцируемая и убывающая в интервале (a, b) функция f(x) имеет во всех точках этого интервала неположительную производную .
Пусть данная непрерывная функция убывает при возрастании x от x 0 до x 1 , затем при возрастании x от x 1 до x 2 - возрастает, при дальнейшем возрастании x от x 2 до x 3 она вновь убывает и так далее. Назовем такую функцию колеблющейся . График колеблющейся функции показан на рисунке 3. Точки A, C, в которых функция переходит от возрастания к убыванию, так же, как и точки B, D, в которых функция переходит от убывания к возрастанию, называются точками поворота или критическими точками кривой y = f (x) , а их абсциссы - критическими значениями аргумента x. В той точке, где функция переходит от возрастания к убыванию, ордината больше соседних с ней по ту и другую сторону ординат. Так, ордината точки A больше ординат, соседних с ней справа и слева и достаточно к ней близких, т.е. значение функции в точке A , абсцисса которой равна x 0 , больше значений функции в точках, абсциссы которых достаточно близки к x 0 : f (x 0 ) > f (x 0 + ∆ x) .
На рисунке 4(a) изображена функция f (x) , непрерывная в интервале ( a, b ) . В интервале (a, x 0 ] она возрастает, на интервале [ x 0 , x 1 ] - сохраняет постоянное значение: f (x 0 ) = f (x 1 ) = C , в интервале [ x 1 , b ) - убывает. Во всех точках, достаточно близких к x 0 (или x 1 ), значения функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству f (x 0 ) f (x) .
Значение f (x 0 ) функции f (x) , при котором выполняется вышеуказанное неравенство, называется максимальным значением функции f (x) или просто максимумом. Определение 3. Максимумом функции f (x) называется такое значение f (x 0 ) этой функции, которое не меньше всех значений функции f (x) в точках x , достаточно близких к точке x 0 , т.е. в точках x , принадлежащих
некоторой достаточно малой окрестности точки x 0 . Так, на рисунке 3 показаны два максимума: f (x 0 ) и f (x 2 ) . В той точке, где функция переходит от убывания к возрастанию, ордината меньше ординат в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от нее. Так ордината точки B меньше ординат в точках соседних и достаточно близких к точке x 1 справа и слева. Значение функции в точке, абсцисса которой равна x 1 , меньше значений функции в точках, абсциссы которых достаточно мало отличаются от x 1 : f (x 1 ) < f (x 1 + x) .
На рисунке 4(б) изображена функция f (x) , непрерывная в интервале ( a, b ) . В интервале ( a, x 0 ] она убывает, на интервале [ x 0 , x 1 ] - сохраняет постоянное значение: f (x 0 ) = f (x 1 ) = C , в интервале [ x 1 , b ) - возрастает. Во всех точках, достаточно близких к x 0 (или x 1 ), значения функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству f (x 0 ) f (x) .
Значение f (x 0 ) функции f (x) , при котором выполняется вышеуказанное неравенство, называется минимальным значением функции f (x) или просто минимумом. Определение 4. Минимумом функции f (x) называется такое значение f (x 0 ) этой функции, которое не больше всех значений функции f (x) в точках x , достаточно близких к точке x 0 , т.е. в точках x , принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки x 0 . Так, на рисунке 3 показаны два минимума: f (x 1 ) и f (x 3 ) . По определению наибольшим значением функции f (x) на интервале [ a, b ] является такое значение f (x 0 ) , для которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f (x 0 ) f (x) , а наименьшим значением функции f (x) на интервале [ a, b ] является такое значение f (x 0 ) , для которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f (x 0 ) f (x) . Из этих определений следует, что функция может достигать своего наибольшего или наименьшего значения как внутри интервала [ a, b ] , так и на его концах a и b . Здесь же максимум и минимум функции f (x) были определены соответственно как наибольшее и наименьшее значения в некоторой окрестности точки x 0 . Если в точке x 0 функция f (x) достигает максимума или минимума, то говорят, что функция f (x) в точке x 0 достигает экстремума (или экстремального значения) . Функция f (x) может иметь несколько экстремумов внутри интервала [ a, b ] , причем может оказаться, что какой-нибудь минимум будет больше какого-нибудь максимума. Таким образом, наибольшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это наибольший из экстремумов функции внутри этого интервала и наибольшее из значений функции на концах интервала . Аналогично наименьшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это наименьший из экстремумов функции внутри этого интервала и наименьшее из значений функции на концах интервала .
Например функция, изображенная на рисунке 3, достигает наибольшего значения f (x) в точке x 2 , наименьшего - в точке x 1 интервала [ x 0 , x 3 ] . На рисунке 5 изображена функция, имеющая бесконечное число минимумов и максимумов.
Теорема 3 (необходимый признак экстремума). Если функция f (x) имеет в точке x 0 экстремум, то ее производная в данной точке или равна нулю или не существует . Но функция f (x) может иметь экстремумы и в тех точках x 0 , в которых ее производная не существует. Например функция y = | x | в точке x 0 = 0 не дифференцируема, но достигает минимума. Точки такого типа называют угловыми . В них кривая не имеет определенной касательной.
На рисунке 6 изображена функция f (x) , не имеющая в точке x 0 производной [ f' (x 0 ) = ] и достигающая в этой точке максимума. При x x 0 и x < x 0 f' (x) , при x x 0 и x > x 0 f' (x) . Значит касательная кривой y = f (x) при x = x 0 перпендикулярна к оси Ox . Такие точки называются точками возврата кривой y=f(x) . Таким образом, необходимым признаком существования в точке x 0 экстремума функции f (x) является выполнение следующего условия: в точке x 0 производная f' (x) или равна нулю, или не существует. Этот признак не является достаточным условием существования экстремума функции f (x) в точке x 0 : можно привести много примеров функций, удовлетворяющих этому условию при x = x 0 , но, однако, не достигающих экстремума при x = x 0 . Например, производная функции y = x 3 при x 0 = 0 равна нулю, однако эта функция при x 0 = 0 не достигает экстремального значения.
Теорема 4. Если функция f(x) имеет в каждой точке интервала (a, b) неотрицательную производную, то она является неубывающей функцией в этом интервале. Теорема 5. Если функция f(x) в каждой точке интервала (a, b) имеет неположительную производную, то она является невозрастающей функцией в этом интервале.
Теорема 6. (первый достаточный признак экстремума). Если производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль в точке x 0 или не существует и при переходе через x 0 меняет свой знак, то функция f(x) имеет в этой точке экстремум (максимум, если знак меняется с "+" на "-", и минимум, если знак меняется с "-" на "+"). Теорема 7. (второй достаточный признак существования экстремума функции). Если в точке x 0 первая производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль, а её вторая производная f ''(x) отлична от нуля, то в точке x 0 функция f(x) достигает экстремума (минимума, если f ''(x) > 0, и максимума, если f ''(x) < 0). Предполагается, что f ''(x) непрерывна в точке x 0 и ее окрестности.
1 . Чтобы найти экстремум функции, надо:
1) найти производную данной функции;
2) приравнять производную нулю и решить полученное уравнение; из полученных корней отобрать действительные и расположить их (для удобства) по их величине от меньшего к большему; в том случае, когда все корни оказываются мнимыми, данная функция не имеет экстремума;
3) определить знак производной в каждом из промежутков, отграниченных стационарными точками ( стационарными точками называют точки в которых производная равна 0);
4) если производная положительна в промежутке, лежащем слева от данной стационарной точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа от нес, то данная точка есть точка максимума функции, если же производная отрицательна слева и положительна справа от данной стационарной точки, то она данная.
Настоящая работа даёт учащимся новый подход к многим преобразованиям в математике, которые стандартным путём трудно разрешимы или разрешимы, но громоздкими способами. Рассмотренные подходы нестандартного характера для учащихся покажутся новыми и необыкновенными, что расширит их кругозор и повысит интерес к производной.
Итак, геометрический смысл производной: производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x 0 .
Литература: “Справочник по математике” И. Бронштейн, К. Семендяев 1948 г.(стр. 309) “Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г. (стр. 42-48, 82) “Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров, А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев, С . И . Шварцбурд, 1993 г. (стр. 95-97)
БОЛЕЕ 58 000 КНИГ И ШИРОКИЙ ВЫБОР КАНЦТОВАРОВ! ИНФОЛАВКА
Инфолавка - книжный магазин для педагогов и родителей от проекта «Инфоурок»
Влияние сенсорной интеграции на ребенка с ОВЗ в дошкольный период
Номер материала:
ДБ-287840
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Реферат по математике на тему: "Производная" ( 11 класс )
Рефераты по математике, готовые и бесплатные - Рефератбанк
Реферат на тему математика скачать бесплатно
Реферат по математике "Производная" 11 класс скачать
Творческая работа учащихся по алгебре ( 11 класс ) по теме...
Как Называется Первое Сочинение Моцарта
Развитие Физических Качеств Реферат
Административно Правовые Режимы Курсовая
Сочинение На Тему Прелести Осенней Погоды
Отбасы Деген Не Эссе