Реферат: Параметричний резонанс
⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Розглянемо рух математичного маятника, точка підвісу якого z 0
коливається вертикально з частотою со і амплітудою а:z 0
= = acos t. Внаслідок коливань точки підвісу система координат, початок якої збігається з точкою підвісу, неінерціальна. Тому, слід врахувати силу інерції, яка в розглядуваному випадку дорівнює
Потенціал цієї сили виражається формулою
де 8 — кут відхилення маятника від вертикалі, вибраний за узагальнену координату. Функція Лагранжа в цьому разі має вигляд
Для малих коливань ( 1) це рівняння зводиться до лінійного рівняння
Таким чином, коливання точки підвісу математичного маятника еквівалентне зміні з часом його параметрів:
Параметром, що залежить від часу, тут є частота
Ця залежність за певних умов, як буде показано нижче, приводить до наростання з часом амплітуди коливань, тобто до параметричного резонансу або параметричної нестійкості.
Розглянемо спочатку загальний випадок, коли функція (t) в рівнянні (40.1) є довільною періодичною функцією часу
з періодом Т — 2 / . У зв'язку з цим можна сказати, що рівняння (40.1) інваріантне відносно перетворення t→t+T. Звідси випливає, що коли (t) є розв'язком рівняння то функція (t— Т) теж має бути його розв'язком. З курсу диференціальних рівнянь відомо, що рівняння другого порядку завжди має два лінійно незалежні розв'язки Ql (t) і 92 (t), а будь-який інший розв'язок можна подати у вигляді лінійної комбінації цих двох розв'язків. Зокрема,
1
(t + T)= а 11
1
(t) + а 12
2
(t),
2
(t + T) = а 21
1
(t) + a 22
2
(t).
Завжди можна вибрати систему лінійно незалежних розв'язків так, щоб вони були дійсними. Оскільки аргумент t функцій 1
(t + T) і 2
(t + T) дійсний, то 1
(t + T) і 2
(t + T) також будуть дійсними. Звідси випливає, що коефіцієнти а 11
в формулах дійсні; крім того, їхній визначник відмінний від нуля, інакше функції 1
(t + T) і 2
(t + T) були б лінійно залежними. Справді, якщо припустити, що визначник
1
(t + T) = 1
(t) + а 12
2
(t + T) = [a 21
1
(t)+a 22
2
(t)] = 2
(t + T)
що означає лінійну залежність функцій 1
(t + T) і 2
(t + T)/ Покажемо, що завжди можна вибрати два таких лінійно незалежних розв'язки рівняння, що зміна їх при заміні tна t+ Т зводиться до множення на деякий сталий .множник, тобто (t + T) = . Справді, нехай 1
(t) і 2
(t) не мають такої властивості. Тоді помножимо першу рівність на деяку величину , а другу — на і додамо їх:
Підберемо числа і так, щоб виконувалися різності
Це система однорідних рівнянь відносно величин і , розв'язок якої існує, якщо
Звідси знаходимо два, взагалі кажучи, комплексно спряжених значення величини : 1
і 2
, кожному з яких відповідає оди:І розв'язок системи однорідних рівнянь. Поклавши в = 1
, знаходимо Тоді із співвідношення
Отже, завжди можна вибрати два таких лінійно незалежних розв'язки рівняння, щоб зміна їх при заміні tна t+ Т зводилась до множення на сталий множник:
Такі ж співвідношення справедливі для похідних за часом
Формули можна записати тотожно так:
є періодичними з періодом Т. Отже, система лінійно незалежних розв'язків рівняння має вигляд
Сталі 1
і 2
, зв'язані між собою співвідношенням, яке можна вивести так. Помножимо рівняння, які задовольняють функції 1
і 2
,
відповідно на 1
і 2
і віднімемо від першого друге. В результаті дістанемо
звідки випливає, що вираз l(t) = = constне залежить від часу. Тому l(t+ Т) = l(t). Оскільки з одного боку l (t + T) = 1
(t +T) 2
(t + T) = 1
2
l(t), а з іншого — l (t+ T) = = l (t), то
Оскільки коефіцієнти визначника а і
j
дійсні, то величини 1
і 2
, або дійсні, або комплексно-спряжені. Тоді, враховуючи співвідношення, покладемо 1
= е zT
, 2
= е -
zT
де z — комплексна число, яке можна знайти, розв'язавши рівняння.
Таким чином, використовуючи співвідношення, робимо висновок, що два лінійно незалежних розв'язки рівняння з періодичним коефіцієнтом (t) = (t + T) можна записати-у вигляді (теорема Флоке):
Тут П 1
(t) і П 2
(t) — періодичні функції з періодом Т, внаслідок чого їх можна розкласти в ряд Фуh'є
Якщо Rez 0, то одна з двох функцій експоненціальне зростатиме з часом. Це означає, що стан рівноваги = 0 не е стійким. Досить будь-якого малого відхилення від положення рівноваги, щоб це відхилення потім експоненціальне збільшувалося з часом. Це явище було названо параметричним резонансом або параметричною нестійкістю.
Название: Параметричний резонанс
Раздел: Рефераты по физике
Тип: реферат
Добавлен 03:41:02 20 февраля 2011 Похожие работы
Просмотров: 5
Комментариев: 15
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно Скачать
Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.
Реферат: Параметричний резонанс
Реферат: Методические рекомендации по аттестации педагогических работников образовательных учреждений городского округа Балашиха в первом полугодии 2010-2022 учебного года. Нормативно-правовая основа для аттестации
Сочинение по теме Расскажите о творчестве одного из поэтов "серебряного века"
Моральные нормы и принципы в социальной работе
Реферат: Самовар. Скачать бесплатно и без регистрации
Отчет по практике по теме Содержание и технологии ветеринарии
Реферат по теме Страдание святых мучеников Гурия, Самона и Авива
Курсовая работа по теме Информационная безопасность в современном мире
Лирический Герой Ранней Поэзии Маяковского Сочинение
Контрольная Работа 6 Класс 1 Дроби
Производственная Практика Отчет Бухгалтерский Учет
Реферат по теме Изучение внутреннего состояния собеседника по голосу и манере говорить
Реферат: Shane Essay Research Paper ShaneShane is a
Контрольная работа по теме Політичні рішення та їх місце у вирішенні суспільних проблем
Реферат по теме Развитие Кузнецкой металлургии в XVIII-XIX веках
Написать Эссе По Древней Греции
Реферат: Этрусский портрет
Нравственный Выбор Сочинение
Курсовая работа: Электронные магазины России и США
Реферат: Рекомендации руководителю о способах управления социально-психологическим климатом в коллективе 61 2 Совершенствование системы мотивации и стимулирования персонала 64
Курсовая работа по теме Экономический анализ деятельности предприятия общественного питания
Реферат: Острый инфекционный катаральный бронхит
Курсовая работа: Источники конституционного права России
Дипломная работа: Особенности применения правового института купли-продажи в отношении земельных участков