Реферат: Основная теорема алгебры
🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра компьютерной алгебры и теории чисел
студента 1 курса 121 группы механико-математического факультета
Научный руководитель Е.В. КОРОБЧЕНКО, ассистент
Зав. кафедрой В.Н.КУЗНЕЦОВ, д.т.н., профессор
2. Основные определения, используемые в курсовой работе
3. Элементы теории пределов для комплексных чисел
Данная работа посвящена Основной теореме Алгебры, изучению существования корней в поле . Как предположение эта теорема впервые встречается у немецкого математика Питера Роуте(1617г.). Д’Аламбер первым в 1746г. опубликовал доказательство этой теоремы. Его доказательство основывалось на лемме. Доказательство это было бы совершенно строгим, если бы Д’Аламбер мог доказать, что-то на комплексной плоскости значение модуля многочлена достигает наименьшего значения. Во второй половине 18 века появляются доказательства Эйлера, Лапласа, Лагранжа и других. Во всех этих доказательствах предполагается заранее, что какие-то "идеальные" корни многочлена существуют, а затем доказывается, что, по крайней мере, один из них является комплексным числом. Со времен доказательства теоремы в алгебре было открыто очень много нового, поэтому сегодня "основной" эту теорему назвать уже нельзя: это название теперь является историческим.
Целью моей работы является выявления, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Для доказательства Основной теоремы Алгебры я использовала ряд лемм: лемма Даламбера и лемма о достижении точной нижней грани значений.
При написании работы мною была использована следующая литература: Д.К.Фадеев "Лекции по алгебре", Л.Д.Кудрявцев "Курс математического анализа". А.Г.Курош "Курс высшей алгебры".
2. Основные определения, используемые в курсовой работе
Множества, удовлетворяющие требованиям:1-операция сложения,2-операция умножения,3-связь операций сложения и умножения, и содержащие хотя бы один элемент, отличный от нуля, называется полями.
Множество комплексных чисел можно определить как множество упорядоченных пар действительных чисел, , , в котором введены операции сложения и умножения согласно следующему определению:
В результате этого определения множество указанных пар превращается в поле, т.е. удовлетворяет условиям 1,2,3. Полученное таким образом поле, называется полем комплексных чисел.
Последовательность комплексных чисел - это функция, определенная на множестве натуральных чисел и имеющая своими значениями комплексные числа.
Последовательность называется подпоследовательностью , если для любого k существует такое натуральное , что = , причем Б тогда и только тогда, когда .
Комплексное число– расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где x и y— вещественные числа, i— мнимая единица, то есть число, удовлетворяющее уравнению .
Вещественное число (действительное число)– любое положительное число, отрицательное число или нуль.
Функция– 1) Зависимая переменная величина; 2) Соответствие между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение величины y (зависимой переменной или функции в значении 1).
Теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
Последовательность называется ограниченной на множестве Е, если существует такая постоянная М>0, что для всех и всех выполняется неравенства
Последовательность сходится к функции f равномерно на множестве Е, если для любого существует такой номер , что если , то для всех выполняется неравенство . Последовательность называется равномерно сходящейся на множестве Е, если существует функция f, к которой она равномерно сходится на Е.
3. Элементы теории пределов для комплексных чисел
В моей работе полиномы рассматриваются только над полями и как функции от комплексной или вещественной переменной, так что моя работа является скорее главой математического анализа, а не алгебры, хотя теорема о существовании корня у любого отличного от константы полинома с комплексными коэффициентами (т.е. установление алгебраической замкнутости поля ) носит название основной теоремы алгебры.
Определение: Пусть задана последовательность комплексных чисел . Число называется ее пределом, если для любого действительного числа существует такой номер , что при выполняется неравенство . В этом случае пишут lim , а=lim , b=lim . Предельное соотношение lim =c равносильно соотношению , ибо
Последовательность такая, что R, при некотором R, называется ограниченной.
Для вещественных переменных известная теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. То же самое верно и для последовательностей, составленных из комплексных чисел.
Действительно, пусть ограниченная последовательность, т.е. , тогда , так что есть ограниченная последовательность вещественных чисел. Из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность . Рассмотрим соответствующую подпоследовательность мнимых частей . Она ограничена, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность .
Соответствующая подпоследовательность комплексных чисел имеет сходящиеся последовательности вещественных и мнимых частей и, следовательно, сходятся, и ее предел равен .
Прежде чем приступить к формальному доказательству, наметим его идею. Пусть -полином, рассматриваемый как функция от комплексной переменной .Представим себе "график" функции , считая , что значения изображаются на горизонтальной плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа, а значения откладываются вверх в направлении оси . Мы установим, что являются непрерывными функциями от на всей плоскости комплексной переменной. Функция от комплексной переменной называется непрерывной в точке , если достаточно близким к значениями соответствует сколь угодно близкие к значения .В более точных терминах - для любого найдется такое , что , как только .
Непрерывность дает основания представлять себе график в виде непрерывной поверхности, накрывающей плоскость , и местами доходящей до этой плоскости. Собственно говоря, нам и нужно доказать, что существует такое значение , в котором , и, тем самым, , т.е. что поверхность доходит до плоскости в точке . Мы докажем, что если дана точка на поверхности ,которая расположена выше плоскости , то в ее окрестности найдется точка поверхности расположенная ниже данной точки. Тогда останется только доказать, что на поверхности существует самая низкая точка, скажем, при . Она не может находиться выше плоскости , ибо тогда она была бы самой низкой точкой. Следовательно, и , следовательно , т.е. корень полинома .
Теперь приступим к доказательству основной теоремы, разбив это доказательство на цепочку лемм.
Лемма 1. Дан полином c нулевым свободным членом.
Тогда для любого найдется такое , что , как только .
Лемма 2. Полином есть непрерывная функция во всех точках плоскости комплексной переменной.
Доказательство: Пусть дан полином и точка .
Расположим полином по степеням
Правая часть есть полином от с нулевым свободным членом.
По лемме 1 для любого найдется такое , что как только что и требовалось доказать.
Лемма 3. Модуль полинома есть непрерывная функция.
Доказательство: Из неравенства следует, что для данного то , которое "обслуживает" , подходит и для . Действительно, при имеем
Лемма 4. (о возрастании модуля полинома). Если -полином, отличный от константы, то для любого М>0 существует такое R>0, что M,как только .
Это означает, что любая горизонтальная плоскость отрезает от поверхности конечный кусок, накрывающий часть круга |z|≤R.
где полином от c нулевым свободным членом.
В силу леммы 1 для найдется такое , что при , будет . Модуль может быть сделан сколь угодно большим, именно, при будет . Возьмем Тогда при будет
Лемма 5. Точная нижняя грань значений достигается, т.е. существует такое , что при всех .
Доказательство: Обозначим точную нижнюю грань через . Возьмем последовательностью стремящихся к сверху. Каждая из этих чисел не является нижней гранью значений , ибо -точная нижняя грань. Поэтому найдутся такие, что . Воспользуемся теперь леммой о возрастании модуля. Для найдем такое , что при будет Отсюда следует, что при все . Последовательностью оказалась ограниченной, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность . Пусть ее предел равен . Тогда в силу непрерывности . Кроме того, . Поэтому Итак , что и требовалось доказать.
Лемма 6. (Лемма Даламбера). Пусть полином отличный от константы, и пусть . Тогда найдется такая точка , что
Геометрический смысл этой леммы: если на поверхности дана точка, находящаяся выше плоскости , то на ней найдется другая точка, расположенная ниже первой.
Доказательство: Расположим полином по степеням
Тогда Идея доказательства состоит в том, чтобы за счет первого отличного от нуля слагаемого "откусить кусочек" от , а влияние дальнейших слагаемых сделать незначительным. Пусть – первое отличное от нуля слагаемое после , так что (если k>1). Такое слагаемое имеется, так как не константа. Тогда
есть полином от с нулевым свободным членом. По лемме 1 для = найдется такое ,что | |< , как только | |< . Положим = ( ) и . Тогда
Выберем так, что . Для этого нужно взять . Далее, положим , т.е. возьмем . При таком выборе будет . Теперь положим
Заметим, что с тем же успехом мы могли бы взять при так что при k>1 (т.е. в случае, когда -корень кратности полинома )имеется k направлений спуска по поверхности . Они разделяются направлениями подъема при
Так что если есть корень производной кратности , то поверхность в окрестности точки "гофрирована" так, что на ней имеется "долин" cпуска, раздельных "хребтами" подъема.
Теорема: Полином с комплексными коэффициентами, отличный от постоянной, имеет по меньше мере один комплексный корень (т.е. поле , комплексных чисел алгебраически замкнуто).
Доказательство: Пусть - данный полином, отличный от константы. Пусть, далее, и - точка, в которой ; Она существует по лемме 5. Тогда ибо иначе, согласно лемме 6, нашлась бы такая точка что невозможно.
Д.К.Фадеев Лекции по алгебре. - СПб.: Изд-во "Лань", 2007. - 416с.
Л.Д.Кудрявцев Курс математического анализа. – М.: Изд-во "Высш. Школа", 1981г. – 687с.
А.Г.Курош Курс высшей алгебры. – М.: Изд-во "Наука", 1971 г. – 431с.
Название: Основная теорема алгебры
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 13:42:45 02 марта 2010 Похожие работы
Просмотров: 503
Комментариев: 15
Оценило: 3 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно Скачать
Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.
Реферат: Основная теорема алгебры
Реферат по теме Понятие и особенности социально-психологического тренинга
Нравы Фамусовского Общества Сочинение
Доклад: Янка Купала \Беларус\
Курсовая работа по теме Стратегия продвижения товаров на инструментальном уровне
Судебно Портретная Экспертиза Курсовая
Курсовая работа по теме Анализ и направления совершенствования транспорта для обеспечения развития туризма в Республике Саха (Якутия)
Шаблон Сочинения Егэ
Реферат: Метатезис, димеризация и олигомеризация олефинов
Никита Сергеевич Хрущев 2
Дипломная работа по теме Неологизмы в современном английском языке
Реферат: ПЕРША ДОПОМОГА ПРИ УШКОДЖЕННІ ЕЛЕКТРИЧНИМ СТРУМОМ
Контрольная Работа На Тему Исковая Форма Защиты Права
Сочинение Я И Обломов Сходства И Различия
Реферат: Суд над Россией: осмысление финала романа Федора Михайловича Достоевского "Братья Карамазовы"
Эссе По Духовной Сфере Общества
Реферат: Национальный банк Казахстана
Доклад по теме Проблема отцов и детей
Сочинение На Тему Гражданское Общество
Реферат На Тему Перевозка Груза
Структура Сочинения 10 Класс
Реферат: Проблема человека в философии
Реферат: Организация транспортных перевозок
Реферат: Ответы по Гражданскому праву РФ