Реферат: Определители Решение систем линейных уравнений
⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ
Кафедра «Автоматизации управления войсками»
1. Определители второго и третьего порядка.
2. Свойства определителей. Теорема разложения.
1. В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики, том I, гл. 2, п.1.
На лекции рассматриваются определители второго и третьего порядков, их свойства. А также теорема Крамера, позволяющая решать системы линейных уравнений с помощью определителей. Определители используются также в дальнейшем в теме "Векторная алгебра" при вычислении векторного произведения векторов.
1-ый учебный вопрос ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО
Рассмотрим таблицу из четырех чисел вида
Числа в таблице обозначены буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.
Определителем второго порядка
называют
выражение
вида
:
Числа а
11, …,
а
22
называют э л е м е т а м и определителя.
Диагональ, образованная элементами а
11
; а
22
называется г л а в н ой, а диагональ, образованная элементами а
12
; а
21
-п о б о ч н ой.
Таким образом, определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Заметим, что в ответе получается число.
Рассмотрим теперь таблицу из девяти чисел, записанных в три строки и три столбца:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Определителем третьего порядка
называется выражение вида
:
Элементы а
11;
а
22
; а
33
– образуют главную диагональ.
Числа а
13;
а
22
; а
31
– образуют побочную диагональ.
Изобразим, схематически, как образуются слагаемые с плюсом и с минусом:
С плюсом входят: произведение элементов на главной диагонали, остальные два слагаемых являются произведением элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали.
Слагаемые с минусом образуются по той же схеме относительно побочной диагонали.
Это правило вычисления определителя третьего порядка называют
п р а в и л о м т р е у г о л ь н и к о в.
ПРИМЕРЫ.
Вычислить по правилу треугольников:
ЗАМЕЧАНИЕ. Определители называют также д е т е р м и н а н т а м и.
2-ой учебный вопрос СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.
Приведенные далее свойства выполняются для определителей любого порядка. Все они могут быть доказаны непосредственной проверкой, основанной на правилах вычисления определителей.
Свойство 1. Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами.
Раскрывая оба определителя, убеждаемся в справедливости равенства.
Свойство 1 устанавливает равноправность строк и столбцов определителя. Поэтому все дальнейшие свойства определителя будем формулировать и для строк и для столбцов.
Свойство 2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменяет знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину
.
Свойство 3. Общий множитель элементов строки
( или столбца
) можно выносить за знак определителя.
Свойство 4. Если определитель имеет две одинаковые строки (или столбца), то он равен нулю.
Это свойство можно доказать непосредственной проверкой, а можно использовать свойство 2.
Обозначим определитель за D. При перестановке двух одинаковых первой и второй строк он не изменится, а по второму свойству он должен поменять знак, т.е.
Свойство 5. Если все элементы какой–то строки
( или столбца
) равны нулю, то определитель равен нулю.
Это свойство можно рассматривать как частный случай свойства 3 при
Свойство 6. Если элементы двух строк
( или столбцов
) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
Можно доказать непосредственной проверкой или с использованием свойств 3 и 4.
Свойство 7. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число.
Доказывается непосредственной проверкой.
Применение указанных свойств может в ряде случаев облегчить процесс вычисления определителей, особенно третьего порядка.
Для дальнейшего нам понадобится понятия минора и алгебраического дополнения. Рассмотрим эти понятия для определения третьего порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Минором
данного элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Минор элемента а
i
j
обозначается М
i
j
. Так для элемента а
11
минор
Он получается, если в определителе третьего порядка вычеркнуть первую строку и первый столбец.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Алгебраическим дополнением элемента определителя
называют его минор, умноженный на
(-1) k
, где
k
- сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Алгебраическое дополнение элемента а
i
j
обозначается А
i
j
.
Выпишем алгебраические дополнения для элементов а
11
и а
12.
Полезно запомнить правило: алгебраическое дополнение элемента определителя равно его минору со знаком плюс
, если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четная,
и со знаком минус
, если эта сумма нечетная
.
ПРИМЕР.
Найти миноры и алгебраические дополнения для элементов первой строки определителя:
Ясно, что миноры и алгебраические дополнения могут отличаться только знаком.
Рассмотрим без доказательства важную теорему – теорему разложения определителя.
Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Используя эту теорему, запишем разложение определителя третьего порядка по первой строке.
Последнюю формулу можно использовать как основную при вычислении определителя третьего порядка.
Теорема разложения позволяет свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению трех определителей второго порядка.
Рекомендуется раскладывать определитель по той строке или столбцу, где есть нули, т.к. для нулевых элементов не надо находить алгебраические дополнения.
Теорема разложения дает второй способ вычисления определителей третьего порядка.
ПРИМЕРЫ.
Вычислить определитель, используя теорему разложения.
использовали разложения по второй строке.
Теорема разложения позволяет также вычислять определители более высокого порядка, сводя их к вычислению нескольких определителей третьего или второго порядка.
Так, определитель четвертого порядка можно свести к вычислению четырех определителей третьего порядка.
3-ий учебный вопрос ТЕОРЕМА КРАМЕРА
Применим рассмотренную теорию определителей к решению систем линейных уравнений.
1. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
а
11
, …, а
22
– коэффициенты при неизвестных, занумерованные двумя индексами, где первый индекс означает номер уравнения, а второй индекс – номер неизвестного.
Напомним, что под решением системы (3) понимается пара значений х
1 ,
х
2
, которые при подстановке в оба уравнения обращают их в верные равенства.
В случае, когда система имеет единственное решение, это решение можно найти с помощью определителей второго порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5
. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.
В столбцах определителя D стоят коэффициенты соответственно при х
1
и при ,
х
2
.
Введем два д о п о л н и т е л ь н ы х о п р е д е л и т е л я ,
которые получаются из определителя системы заменой одного из столбцов столбцом свободных членов:
Рассмотрим без доказательства следующую теорему:
Если определитель
D системы
(3) отличен от нуля
(D¹ 0), то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:
Формулы (4) называются формулами Крамера.
ПРИМЕР.
Решить систему по правилу Крамера.
2. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
В случае единственного решения систему (5) можно решить с помощью определителей третьего порядка.
Введем три дополнительных определителя:
Если определитель D системы (5) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:
Формулы ( 6 ) – это формулы Крамера.
ЗАМЕЧАНИЕ.
Г. Крамер (1704 – 1752) – швейцарский математик.
Заметим, что теорема Крамера применима, когда число уравнений равно числу неизвестных и когда определитель системы D отличен от нуля.
Если определитель системы равен нулю, то в этом случае система может либо не иметь решений, либо иметь бесчисленное множество решений. Эти случаи исследуются особо, с ними можно подробно познакомиться в рекомендуемой литературе.
Если определитель системы равен нулю (D = 0), а хотя бы один из дополнительных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет (т.е. является несовместной).
Теорему Крамера можно обобщать для системы n
линейных уравнений с n
неизвестными.
Если , то единственное решение системы находится по
Дополнительный определитель получается из определителя D, если в нем столбец коэффициентов при неизвестном
x i
заменить столбцом свободных членов.
Заметим, что определители D, D 1
, … , D n
имеют порядок n
.
На лекции рассмотрена новое понятие – определитель, подробно рассмотрены определители второго и третьего порядков, часто встречающиеся на практике. Для определителя третьего порядка приводятся два способа вычисления. Рассмотрена теорема Крамера, которая дает практический способ решения систем линейных уравнений, для случая, когда решение единственное. Более подробно с этой темой можно познакомиться в рекомендуемой литературе.
Название: Определители Решение систем линейных уравнений
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 16:12:19 19 мая 2010 Похожие работы
Просмотров: 219
Комментариев: 16
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно Скачать
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.
Реферат: Определители Решение систем линейных уравнений
Реферат: Опера - всё, что нужно знать о неё, прежде чем её посетить
Значение Функциональных Клавиш Клавиатуры Реферат
Карамзин Реферат По Литературе
Надежда И Отчаяние Примеры Сочинений
Туған Жер Тұғырың Туған Тіл Қыдырың Эссе
Эссе Доступная Математика Для Дошкольников
Основные Сочинения Бетховена
Курсовая работа по теме Анализ продовольственной безопасности в России
Контрольная работа по теме Аналіз кошторисів "Управління з контролю за використанням та охороною земель" у Вінницькій області за 2007–2008 роки
Реферат по теме Подготовка и планирование аудиторской проверки
Курсовая работа по теме Нормы и источники административного права
Хромосомные Болезни Реферат По Генетике
Реферат По Теме Решение Задач Алгебраическим Методом
Реферат: Космос. Скачать бесплатно и без регистрации
Дипломная работа по теме Разработка структурно-функциональной схемы тренажера, как сложной электромеханической системы
Доклад: Сгореть на работе реально
Пособие по теме Методика проведения урока по теме "Значение и состав пищи"
Готовая Дипломная
Сколько Выветривается Пиво Эсса
Реферат: Римська династія імператорів Юліїв - Клавдіїв
Реферат: Практикум по предмету Математические методы и модели
Реферат: Блокады
Курсовая работа: Проектирование цифровой радиорелейной линии