Реферат: Невласні інтеграли Поняття та різновиди невласних інтегралів

⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Поняття та різновиди невласних інтегралів
Згідно з теоремою існування визначеного інтеграла цей інте­грал існує, якщо виконані умови:
1) відрізок інтегрування [а, b] скінчений;
2) підінтегральна функція f(x) неперервна або обмежена і має скінченну кількість точок розриву. Якщо хоч би одна із умов не виконується, то визначений інтеграл називають невласним.
Якщо не виконується перша умова, тобто b = ∞ або а = ∞ або а = -∞ таb = ∞, то інтеграли називають невласними інтегралами з нескінченними межами.
Якщо не виконується лише друга умова, то підінтегральна функція f(x)має точки розриву другого роду на відрізку інтегрування [а, b]. В цьому випадку називають невласним інтегралом від розривної функції або від функції, необмеженої в точках відрізку інтегрування.
1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування (невласні інтеграли першого роду).
Нехай функція f(х) визначена на проміжку [a; +∞) і інтегрована на будь-якому відрізку [а, b], де — ∞ < a< b< +∞. Тоді, якщо існує скінченна границя
її називають невласним інтегралом першого роду і позначають так:
У цьому випадку інтеграл (52) називають збіжним, а підінтегральну функцію f(x)— інтегровною на проміжку [а; +∞).
Якщо ж границя (51) не існує або нескінченна, то інтеграл (52) називається також невласним, але розбіжним, а функція f(х) — неінтегровною на [a; +∞).
Аналогічно інтегралу (53) означається невласний інтеграл на проміжку (-∞; b]:
Невласний інтеграл з двома нескінченними межами визначається рівністю
де с — довільне дійсне число. Отже, інтеграл зліва у формулі (55) існує або є збіжним лише тоді, коли є збіжними обидва інтеграли справа. Можна довести, що інтеграл, визначений формулою (55), не залежить від вибору числа с.
З наведених означень видно, що не­власний інтеграл не є границею інтегра­льних сум, а є границею означеного ін­теграла із змінною межею інтегрування.
Зауважимо, що коли функція f(x)неперервна і невід'ємна на проміжку [а; +∞) і коли інтеграл (53) збігається, то природно вважати, що він виражає площу необмеженої області (рис. 7.12).
Обчислити невласний інтеграл або встановити його розбіжність:
Оскільки ця границя не існує при а → -∞, то інтеграл б) розбіжний.
Отже інтеграл г) є збіжним при > 1 і розбіжним при ≤ 1.
У розглянутих прикладах обчислення невласного інтеграла грунтувалося на його означенні. Проте у деяких випадках немає необхідності обчислювати інтеграл, а достатньо знати, збіжний він чи ні. Наводимо без доведення деякі ознаки збіжності.
Теорема 1. Якщо на проміжку [а; +∞) функції f(x) і g(x) неперервні і задовольняють умову 0 ≤ f(x)≤ g(x), то із збіжності інтеграла
а із розбіжності інтеграла (57) випливав розбіжність інтеграла (56).
Наведена теорема має простий геометричний зміст (рис. 7.13); якщо площа більшої за розмірами необмеженої області є скінченне число, то площа меншої області є також скінченне число; якщо пло­ща меншої області нескінченно велика величина, то площа більшої області є також нескінченно велика величина.
і інтеграл збігається, то за теоремою і заданий інтеграл також збігається.
то інтеграли (56) і (57) або одночасно обидва збігаються, або одно­часно розбігаються.
Ця ознака іноді виявляється зручнішою, ніж теорема 1, бо не потребує перевірки нерівності 0 £f(x)≤ g(х).
то заданий інтеграл також збігається.
В теоремах 1 і 2 розглядались невласні інтеграли від невід'єм­них функцій. У випадку, коли підінтегральна функція є знакозмінною, справедлива така теорема.
Теорема 3. Якщо інтеграл збігається, то збігається й інтеграл .
Тут підінтегральна функція знакозмінна. Оскільки
Слід зауважити, що із збіжності інтеграла не випливає, взагалі кажучи, збіжність інтеграла . Ця обставина виправдовує такі означення.
Якщо разом з інтегралом збігається й інтеграл , то інтеграл називають абсолютно збіжним, а функцію f(x) — абсолютно інтегровною на проміжку [а; +∞).
Якщо інтеграл збігається, а інтеграл розбігається, то інтеграл називають умовно (або неабсолютно) збіжним.
Тепер теорему 3 можна перефразувати так: абсолютно збіжний інтеграл збігається .
Отже, для знакозмінної функції викладені тут міркування дають змогу встановити лише абсолютну збіжність інтеграла. Якщо ж невласний інтеграл збігається умовно, то застосовують більш глибокі ознаки збіжності [II].
то за теоремою 3 інтеграл збігається.
Отже, збігається, причому абсолютно, і заданий інтеграл, а функція f(x)= на проміжку [0; +∞) є абсолютно інтегровною.
2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду).
Нехай функція f(x)визначена на про­міжку [а, b). Точку х = bназвемо особливою точкою функції f(х), якщо f(x) →
∞ при х →
b - 0 (рис. 7.14). Нехай функція f(x)інтегровна на відрізку [а; b— ] при довільному > 0 такому, що b - > ; тоді, якщо існує скінченна границя
її називають невласним інтегралом другого роду і позначають так:
У цьому випадку кажуть, що інтеграл (59) існує або збігається. Якщо ж границя (58) нескінченна або не існує, то інтеграл (59) також називають невласним інтегралом, але розбіжним.
Аналогічно якщо х = — особлива точка (рис. 7.15), то невласний інтеграл визначається так:
Якщо f(x) необмежена в околі якої-небудь внутрішньої точки с 0
(а; b), то за умови існування обох невласних інтегралів і за означенням покладають (рис. 7.16).
Нарешті, якщо а та b— особливі точки, то за умови існування обох невласних інтегралів і за означенням покладають
де с — довільна точка інтервалу (а; b).
Таким чином, інтеграл б) збігається при 0 < < 1 і розбігається при ³ 1.
Бета-функція, або інтеграл Ейлера першого роду, визначається формулою
Можна довести, що для всіх (0, +∞) і (0, +∞) інтег­рал (91) збігається. Варто зазначити, що відповідний невизначений інтеграл , згідно з теоремою Чебишева (п. 1.7), виражається через елементарні функції лише в окремих випадках. Отже, бета-функція не є елементарною.
Гамма-функцією, або інтегралом Ейлера другого роду, називається інтеграл
Покажемо, що невласний інтеграл (92) при > 0 збігається. Маємо
Перший інтеграл в правій частині цієї рівності збігається, бо
Другий інтеграл також збігається. Справді, якщо n — довільне натуральне число таке, що n > — 1, то
в чому можна пересвідчитись, обчислюючи останній інтеграл части­нами і враховуючи, що
Отже, інтеграл (92) при > 0 збігається і визначає деяку функцію, яку і називають гамма-функцією Г().
Обчислимо значення Г() при а N. Якщо = 1, то
Нехай n + 1 інтегруючи частинами, дістанемо
З рівностей (93) і (94) випливає, що nN:
Таким чином, гамма-функція для цілих значень n N виражається через n!. Проте вона визначена і для нецілих додатних значень аргументу, тобто продовжує факторіальну функцію з дискретних значень аргументу на неперерв­ні. Гамма-функція не є елементарною функцією. Графік цієї функції зображено на рис. 7.35. Властивості гамма-функції досить добре ви­вчені і значення її протабульовані в багатьох довідниках, наприклад в [19].
Наводимо без доведення формулу Стірлінга для гамма-функції:
де > 0 і 0 < () < 1. Якщо в цій рівності покласти = nі помножити її на n, дістанемо
Бета- і гамма-функції пов'язані між собою співвідношенням
Згідно з формулою (96), при = = маємо
2. Обчислити інтеграл Ейлера — Пуассона
Враховуючи результат попереднього прикладу, дістанемо
3. Виразити інтеграл через бета-функцію наближено при = 3, = .
Зокрема, при = 3 і = згідно з формулою (96) дістанемо
1. Які інтеграли називаються інтегралами, залежними від параметра?
2. Сформулювати теореми про неперервність, диференціювання та інтегрування Інтеграла, залежного від параметра.
1. 3. Дати означення гамма-функції Г().
4. Дати означення бета-функції В(,). Як пов'язані між собою бета- та гам­ма-функції?
Вказівка. Скористатись підстановкою sinx=.

Название: Невласні інтеграли Поняття та різновиди невласних інтегралів
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 07:17:57 17 января 2011 Похожие работы
Просмотров: 41
Комментариев: 14
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Невласні інтеграли Поняття та різновиди невласних інтегралів
Чувства Природы Сочинение
Контрольная работа по теме Материальный баланс производства
Сочинение По Роману Пушкина Дубровский 7 Класс
Реферат по теме “Лебедь” Сен-Санса
Современная Наука Семейного Права Реферат
Исследование Систем Управления Реферат
Диссертация Управление Процессом Проведения Праздников В Доу
Дипломная Работа На Тему Физиологические Основы Развития Утомления
Социальная Политика В Современной России Курсовая Работа
Реферат: Химические элементы
Курсовая Работа Лекарственные Растения 6 Класс
Институты Непосредственной Демократии Местного Самоуправления Диссертация
Доклад: Финансовый анализ как инструмент сравнительного анализа положения фирм в отрасли: обобщенные финансовые таблицы
Защитник В Уголовном Процессе Диссертация
Контрольная работа по теме Школьный (сельский, поселковый) краеведческий музей
Радиоактивное Излучение Реферат
Внешняя Торговля Товарами Реферат
Доклад: Искусство экслибриса
Правовые и процессуальные основы деятельности судебно-медицинской службы в РФ
Реферат: Аллергические реакции при переливании крови. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Врачебный контроль 2
Реферат: Картография организации Связной
Реферат: Філософські погляди Г.С. Сковороди