Реферат: Наближене обчислення означених інтегралів формули прямокутників трапецій Сімпсона
⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Наближене обчислення означених інтегралів: формули прямокутників, трапецій, Сімпсона.
Наближені методи обчислення інтегралів
В усіх випадках, коли розглянуті раніше методи знаходження первісних, не приводять до мети внаслідок того, що інтеграл не виражається через елементарні функції, і особливо тоді, коли підінтегральна функція задана таблицею (або графіком), доводиться повертатися до означення інтеграла як границі інтегральної суми. На основі цього існує ряд методів наближеного обчислення визначених інтегралів. Тут будуть розглянуті деякі з методів – метод прямокутників, трапецій і Сімпсона як найпоширеніші і широко застосовуваний для програмування обчислень на ПК.
Нехай на відрізку
задана неперервна функція
. Потрібно обчислити інтеграл
Розіб’ємо відрізок
на
рівних частин точками
довжина кожної з яких дорівнює
Через
позначимо значення функції
в точках
і складемо суми
Кожна з цих сум є інтегральною сумою для
на відрізку
і тому наближено виражають визначений інтеграл:
Ці формули називаються формулами прямокутників.
З рис.9.3 видно, що якщо
додатна і зростаюча функція, то формула (9.8) виражає площу ступінчатої фігури, що складена із “ внутрішніх” прямокутників, а формула (9.8 /
) – площу фігури, що складена із “зовнішніх” прямокутників. Похибка при цьому буде тим меншою, чим більше число
(тобто чим менший крок поділу
).
Очевидно, що можна отримати більш точне значення інтеграла, якщо дану криву
замінити не ступінчатою лінією, як це мало місце у формулі прямокутників, а вписаною ломаною (рис.9.4). Тоді площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями
і
заміниться площами трапецій, обмежених зверху хордами
Оскільки площа
першої трапеції дорівнює
другої -
і т.д.,
Формула (9.9) називається формулою трапецій
. Число
вибирається довільним, але чим більшим це число буде, а значить, крок
меншим, тим з більшою точністю сума в правій частині наближеної рівності (9.9) буде давати значення інтеграла.
Метод Сімпсона найпоширеніший і широко застосовний для програмування. Його суть полягає в наближенні підінтегральної функції відрізками парабол.
Отже, розглянемо спочатку інтеграл
, де
- парабола;
- деякі параметри (або числа).
Нехай тепер маємо інтеграл
, де
- неперервана на інтервалі
функція. Якщо інтервал розбити на
рівних частинок точками
, то заданий інтеграл
можна записати так:
Якщо на кожному з інтегралів для проміжків
функцію
замінимо параболами
, що проходять через точки
,то одержимо
Через те, що
, формула матиме вигляд:
Формула (9.10) називається формулою
парабол або Сімпсона.
Доведено, що похибка обчислень
за формулою Сімпсона є такою:
Проте цією оцінкою похибки можна користуватись, якщо
є хоча б чотири рази диференційованою. Але якщо
навіть чотири рази диференційована, то часто оцінка четвертої похідної
може виявитись досить важкою. Тому на практиці часто користуються таким методом: обчислюють інтеграл, розділяючи інтервал, визначений границями інтегрування, один раз на
рівних частин, а другий раз на
частин. Якщо одержані двоє значень інтеграла мало відрізняються, то результат можна вважати прийнятним. Порівнюючи їх можна оцінити і точність обчислень.
Приклад.
Обчислити з точністю до 0,001 інтеграл
Р о з в ’ я з о к.За формулою (9.10) маємо:
Отже,
тому
Формулою (9.10) для оцінки похибки скористатися неможливо, бо вже перша похідна підінтегральної функції при
перетворюється на нескінченність.
Название: Наближене обчислення означених інтегралів формули прямокутників трапецій Сімпсона
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 06:01:00 19 января 2011 Похожие работы
Просмотров: 10
Комментариев: 14
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно Скачать
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.
Реферат: Наближене обчислення означених інтегралів формули прямокутників трапецій Сімпсона
Как Писать Итоговое Сочинение С Цитатой
Курсовая работа: Римское республиканское государство после смерти Тиберия Гракха
Реферат по теме Общая характеристика и классификация токсинов грибкового происхождения. Микотоксикозы
Реферат На Тему Спортивная Гигиена
Библия Как Литературно Исторический Памятник Реферат
Технология Производства И Свойства Искусственных Волокон Реферат
Дипломная работа по теме Мотивация и ее роль в системе торгового менеджмента
Реферат: Математическое моделирование лизинга в условиях инфляции
Реферат Система Стандартов Надежность В Технике
Курсовая работа: Экономико-статистический анализ финансовых результатов реализации зерна в ООО "Урожай XXI век"
Источники семейного права
Чацкий Какой Он Сочинение Рассуждение
Написать Сочинение По Русскому Языку 4 Класс
Реферат: Философия физики. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Система государственного регулирования рынка труда
Дипломная Работа На Тему Влияние Задач-Головоломок На Развитие Представлений О Форме Предметов У Детей Старшего Дошкольного Возраста
Контрольная работа по теме Исламская геополитическая концепция
Реферат: Разработать технологический процесс механической обработки детали фланец
Доклад по теме Счастье как антропологическая проблема
Реферат: Malthus And Africa Essay Research Paper Africa
Книга: Новый путь к здоровому сердцу или стенокардия как психосоматоз Васютин Александр
Реферат: Группа "Ария"
Доклад: Икона и Святой Дух