Реферат На Тему Пределы
Реферат На Тему Пределы
Число А наз-ся пределом последоват-ти X n
если для любого числа Е>0, сколь угодно малого, $ N 0
, такое что при всех n>N 0
будет выполн-ся нер-во |X n
-A| A-EN 0
попадают в Е-окрестность (.)А.
1.если послед-ть имеет предел, то он единственный.
Док-во:предп, что пределы различны: lim Xn=a, lim Xn=b (n®¥), тогда |a-b|=|a-Xn+Xn-b|. Из lim Xn=a (n®¥) => " E/2 $ N 1
"n>N 1
|a-Xn| " E/2 $ N 2
"n>N 2
|Xn-и|N 0
. |a-b|=|a-Xn+Xn-b|£|a-Xn|+|Xn-b| |a-b|=0 => a=b.
2.теорема о сжатой переменной.
n>N 1
Xn³Zn³Yn $ limXn = lim Yn = a (n®¥) => $ lim Zn=a (n®¥)
Док-во: 1.
из того, что $ lim Xn=a (n®¥) => n>N 2
|Xn-a| n>N 3
, a-EN 0
Xn³Zn³Yn. a+E>Xn³Zn³Yn>a-E => lim Zn=a (n®¥)
Функция y=f(x) наз-ся ограниченной
в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|£M. Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной
в данной обл-ти.
Величина Xn наз-ся бесконечно малой
при n®¥, если lim Xn = 0 (n®¥). "E>0, N 0
, n>N 0
, |Xn| " E/2 $N 1
, n>N 1
|Xn|" E/2 $N 2
, n>N 2
|Yn|N 0
,|Xn±Yn|£|Xn|+|Yn|lim(Xn±Yn)=0 (n®¥). Теорема справедлива для любого конечного числа б.м. слагаемых.
2.Произведение ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.
Док-во:Xn – огр. величина => $ K, |Xn| £ K,
Yn – б.м. => " E/K $N 0
n>N 0
|Yn| Xn=a+Yn, Yn – б.м.
Док-во:Из lim Xn=a (n®¥) => "E $N 0
n>N 0
|Xn-a| Xn=a+Yn. Справедливо и обратное: если переменную величину можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n®¥).
Xn – бесконечно большая
n®¥, если "M>0 $N 0
, n>N 0
, |Xn|>M => M"M $N 1
, n>N 1
|Xn|>M
из Yn – б.б. => "M $ N 2
, n>N 2
|Yn|>M
N 0
=max(N 1
, N 2
) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M 2
>M
2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn=¥ (n®¥) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn=¥ => M=1/E $N 0
, n>N 0
|Xn|>M =>n>N 0
.
|Yn|=1/|Xn|<1/M=E =>Yn – б.м. => lim Yn=0 (n®¥).
3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.
1. lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)
Док-во:lim Xn=a => Xn=a+a n
; lim Yn=b => Yn=b+b n
;
Xn ± Yn = (a + a n
) ± (b + b n
) = (a ± b) + (a n
± b n
) => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).
2. limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).
3. lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) => lim Xn/Yn = (lim Xn)/(lim Yn) = a/b.
Док-во:Xn/Yn – a/b = (a+a n
)/(b+b n
) – a/b = (ab+a n
b–ab–ab n
)/b(b+b n
) =(ba n
-ab n
)/b(b+b n
)=g n
=> Xn/Yn=a/b+g n
=> $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).
Пределы ф-ии непрерывного аргумента.
Число А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при х®x 0
, если для любого Е>0 сколь угодно малого сущ-ет такое число d>0, что при "x будет выпол |x-x 0
| A-E0 сколь угодно большого $d>0, что "x |x-x 0
|M, "x x 0
-df(x)>M.
Число А наз-ся пределом y=f(x) x
®
¥
,
если для любого Е>0 можно найти число К, "x |x|>K |f(x)-A|Короткое Сочинение На Тему Язык
Реферат Вербальная Форма Представления Теоретических Предпосылок Вкр
Реферат На Тему Медицинские Знания Древнего Востока
Сочинения 5 9 Классы
Молоко Дипломная Работа