Реферат На Тему Поверхности Второго Порядка
Реферат На Тему Поверхности Второго Порядка
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Eatmore
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
+
Санкт Петербургский
государственный университет информационных
технологий, механики и оптики
+
Выполнил: студент
1 курса группы 1514 Блинов А.А.
+
Проверила: доцент
Милованович Е.В.
+
Поверхности второго порядка – это
поверхности, которые в прямоугольной
системе координат определяются
алгебраическими уравнениями второй
степени.
+
Эллипсоидом называется поверхность,
которая в некоторой прямоугольной
системе координат определяется
уравнением:
+
Уравнение (1) называется каноническим
уравнением эллипсоида.
+
Установим геометрический вид эллипсоида.
Для этого рассмотрим сечения данного
эллипсоида плоскостями, параллельными
плоскости Oxy. Каждая из таких плоскостей
определяется уравнением вида z=h, где h
– любое число, а линия, которая получается
в сечении, определяется двумя уравнениями
+
Исследуем уравнения (2) при различных
значениях h.
+
Если
>
c (c>0), то
и уравнения (2) определяют мнимый эллипс,
т. е. точек пересечения плоскости z=h с
данным эллипсоидом не существует.
+
Если
,
то
и линия (2) вырождается в точки (0; 0; + c) и
(0; 0; - c) (плоскости
касаются эллипсоида).
+
, то уравнения (2) можно представить в
виде
+
откуда следует, что плоскость z=h пересекает
эллипсоид по эллипсу с полуосями
и
.
+
Таким образом, рассмотренные сечения
позволяют изобразить эллипсоид как
замкнутую овальную поверхность (рис.
156). Величины a, b, c называются полуосями
эллипсоида. В случае a=b=c эллипсоид
является сферой.
+
Однополосным гиперболоидом называется
поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат
определяется уравнением
+
Уравнение (3) называется каноническим
уравнением однополосного гиперболоида.
+
Установим вид поверхности (3). Для этого
рассмотрим сечение ее координатными
плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем
соответственно уравнения
+
из которых следует, что в сечениях
получаются гиперболы.
+
Аналогично в плоскости x0z
имеем гиперболу
+
В плоскости z=0 имеем эллипс
(горловина)
+
Сечение z=±h,
(h>0) даёт нам эллипс
+
Очевидно, что полуоси этого эллипса
возрастают по мере удаления от начала
координат.
+
В сечениях плоскостями, параллельными
координатным плоскостям x0z
и y0z получим
гиперболы.
+
Двуполостным гиперболоидом называется
поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат
определяется уравнением
+
Уравнение (5) называется каноническим
уравнением двуполостного гиперболоида.
+
Исследуем форму этой поверхности методом
сечения.
+
1) Положим в уравнение x=0,
получим
+
Это соотношение не имеет смысла, т.к.
сумма квадратов не может быть отрицательным
числом. Это означает, что данная
поверхность не пересекается с координатной
плоскостью y0z.
+
2) Положим в уравнение
y=0, получим
+
т.е. в координатной плоскости x0z
мы имеем гиперболу.
+
3) В координатной плоскости x0y
получим также гиперболу
+
4) В координатной плоскости x=±h,
(h > a)
получим эллипсы
+
Эллиптическим параболоидом называется
поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат
определяется уравнением
+
Уравнение (7) называется каноническим
уравнением эллиптического параболоида.
+
Рассмотрим сечения данной поверхности
координатными плоскостями Oxy и Oyz.
Получаем соответственно уравнения
+
из которых следует, что в сечениях
получаются параболы, симметричные
относительно оси Oz, с вершинами в начале
координат.
+
В сечении плоскостью z=h
(h>0) имеем эллипс
+
Таким образом, рассмотренные сечения
позволяют изобразить эллиптический
параболоид в виде бесконечно выпуклой
чаши.
+
Точка (0;0;0) называется вершиной параболоида;
числа p и q – его параметрами.
+
В случае p=q, то поверхность называется
параболоидом вращения.
+
Гиперболическим параболоидом называется
поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат,
определяется уравнением
+
Уравнение (9) называется каноническим
уравнением гиперболического параболоида.
+
Рассмотрим сечение параболоида плоскостью
xOz (y=0). Получаем уравнение
+
из которых следует, что в сечении
получается парабола, направленная
вверх, симметричная относительно оси
Oz, с вершиной в начале координат. В
сечениях поверхности плоскостями,
параллельными плоскости Oxz (y=h),получаются
так же направленные вверх параболы.
+
рассмотрим сечение данного параболоида
плоскостью Oyz (x=0).
+
из которых следует, что и в этом случае
в сечении получается парабола, но теперь
направленная вниз, симметричная
относительно оси Oz, с вершиной в начале
координат. Рассмотрев сечения параболоида
плоскостями, параллельными плоскости
Oyz (x=h), получим уравнения
+
из которых следует, что при любом h в
сечении получается парабола, направленная
вниз, а вершина её лежит на параболе,
определённой уравнениями (10).
+
Рассмотрим сечения параболоида
плоскостями z=h, параллельными плоскости
Oxy . получим уравнения
+
Проводя другие сечения,
приходим к выводу, что поверхность имеет
форму седла. (рис. 5.1)
+
Определение: Канонической поверхностью
называется поверхность, которая
получается при движении прямой
( образующей ), проходящей через данную
точку ( вершину ) и пересекающей данную
линию ( направляющую ).
+
Если направляющей служит кривая второго
порядка, то конус называется конусом
второго порядка.
+
Если напраляющая есть замкнутая кривая,
то конус представляет собой двуполостную
поверхность, все образующие которой
проходят через данную точку (вершину
конуса). На рис. (6.1) изображён конус,
имеющий уравнение
.
Исследовать форму этого конуса нетрудно,
проведя расзличные сечения этой
поверхности.
+
Отметим еще одну важную особенность
уравнения конуса: как правило это
однородное уравнение относительно
разностей (x-a),
(y-b), (z-c),
где точка M 0 (a,b,c)
– вершина конуса. На рисунке 6.1 изображён
конус с вершиной в начале координат,
т.е. для данного конуса a=0,
b=0, c=0.
+
Определение: Цилиндрический поверхностью
или просто цилиндром называется
всякая поверхность, которую можно
получить движением прямой ( образующей ),
перемещающейся параллельно некоторому
данному вектору S и
всё время пересекающей данную линию,
которая называется направляющей .
+
Если направляющей служит кривая второго
порядка, то и цилиндр называется цилиндром
второго порядка. Если образующие
параллельны какой-либо координатной
оси, то цилиндр называется прямым .
+
Поверхность,
образованная вращением плоской кривой
вокруг оси, расположенной в её плоскости,
называется поверхностью вращения .
Эта ось называется осью вращения
поверхности. Очевидно, если пересекать
поверхность вращения плоскостями,
перпендикулярными к оси вращения, то в
сечениях будут окружности с центрами
на оси вращения.
+
Рассмотрим правило получения уравнения
поверхности, образованной вращением
линии, лежащей в координатной плоскости
вокруг оси координат.
+
Найдём уравнение поверхности, полученной
от вращения этой линии вокруг оси Oz
( рис 8.1)
+
Введем на поверхности произвольную
точку М(x,y,z)
и проведем через нее плоскость,
перпендикулярную к оси вращения.
Обозначим через М 1 и N
точки пересечения построенной плоскости
соответственно с данной линией L
и осью вращения (осью Oz).
Координаты z всех трёх
точек M, M 1
и N равны между собой.
Поэтому имею в виду, что координаты
точки N есть (0,0,z),
найдем радиус NM окружности,
получившейся в сечении поверхности
плоскостью, как растояние между точками
N и M, он
равен .
С другой стороны, так как точка М 1
лежит одновременно на окружности сечения
и на линии L, то радиус NM
равен абсолютной величине ординаты
точки M 1 . Следовательно,
полагая в данном уравнении
+
(координаты точки М 1 ), получаем
искомое уравнение поверхности вращения
+
Таким образом, мы приходим к следующему
правилу: чтобы получить уравнение
поверхности, образованной вращением
линии L, лежащей в плоскости
y0z, вкруг
оси 0z, нужно в уравнении
этой линии заменить y на
± .
+
При выборе знака перед радикалом следует
придерживаться следующего правила:
знак должен совпадать в соответствующих
точках со знаком координаты y
на исходной кривой.
+
Совершенно аналогичные правила будут
для получения уравнений поверхностей
вращения, получающихся вращением плоских
линий вокруг других координатных осей.
+
1.Шипачёв В.С.:”Высшая математика”
+
2. Л.И.Брылевская, И.А.Лапин, Л.С.Ратафьева,
О.Л.Суслина: «Элементы теории линейных
пространств»
Поможем написать работу на аналогичную тему
рефераты, доклады / реферат поверхности второго порядка, 1 сем. / ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
рефераты, доклады / реферат поверхности второго порядка, 1 сем. / ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
рефераты, доклады / реферат поверхности второго порядка, 1 сем. / ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Юрист по Трудовым Спорам mrqz.me ₽ Яндекс.Директ Скрыть объявление
Автоломбард спецтехники autolombard.vip Финансовые услуги оказывает: ООО «АВТО ЛОМБАРД НОМЕР ОДИН» Скрыть объявление
Оборудование для производства Пэт missp.ru Скрыть объявление
Поверхности второго порядка | Реферат на тему
Реферат : Поверхности второго порядка . Скачать бесплатно...
Реферат на тему " Поверхности второго порядка " скачать...
Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка : их виды, уравнения, примеры
Основы Биологической Безопасности Используемые В Лабораториях Реферат
Курсовая Анализ Трудовых Ресурсов Предприятия
Интересные Темы Для Сочинения По Капитанской Дочке
Честь И Доблесть Эссе
Сочинения 7 8 Класс