Реферат: Моделирование распределения потенциала в МДП-структуре
⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Министерство общего и профессионального образования РФ
Воронежский государственный университет
“Моделирование распределения потенциала
Исполнитель : студент 4 курса 5 группы
Руководитель : старший преподаватель
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В МДП-СТРУКТУРЕ
Математическая модель - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3
ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К
Использование разностных схем для решения
уравнения Пуассона и для граничных условий
Уравнение Пуассона - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5
Граничные условия раздела сред - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8
Общий алгоритм численого решения задачи
Метод установления - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 10
Метод переменных направлений - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13
Построение разностных схем - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 16
ПРИЛОЖЕНИЕ - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
ЛИТЕРАТУРА - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Математическая модель распределения потенциала в МДП-структуре
Пусть j
(
x,y
)
- функция, описывающая распределение потенциала в полупроводниковой структуре. В области оксла ( С
DEF
) она удовлетворяет уравнению Лапласа:
а в области полупроводника (прямоугольник ABGH
) - уравнению Пуассона:
e
nn
-диэлектрическая проницаемость кремния;
N
d
(x,y)
-распределение концентрации донорской примеси в подложке ;
N
a
(
x,y
)
-распределение концентрации акцепторной примеси в подложке;
На контактах прибора задано условие Дирихле:
На боковых сторонах полупроводниковой структуры требуется выполнение
однородного условия Неймана вытекающее из симметричности структуры
относительно линий лежащих на отрезках AB
и GH
:
На боковых сторонах окисла так же задается однородное условие Неймана
означающее что в направлении оси OY отсутствует течение электрического
На границе раздела структуры окисел- полупроводник ставится условие
e
ok
E
x
| -0
-
e
nn
E
x
| +0
= - Q ss
где Q ss
-плотность поверхностного заряда;
e
ok
-диэлектрическая проницаемость окисла кремния;
e
nn
-диэлектрическая проницаемость полупроводника .
Под символом “ +0
” и” -
0
” понимают что значение функции беретсябесконечно близко к границе CF
со стороны либо полупроводникалибо окисла кремния . Здесь первое условие означает непрерывностьпотенциала при переходе границы раздела сред а второе - указывает соотношение связывающее величину разрыва вектора напряженностипри переходе из одной среды в другую с величиной поверхностногозаряда на границе раздела.
ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К
Использование разностных схем для решения уравнения Пуассона и для граничных условий раздела сред
В области {(x,y) : 0 < x < L x
, 0 < y < L y
}
вводится сетка
W={(x,y) : 0 < i < M 1
, 0 < j < M 2
}
x 0
=0 , y 0
=0,
x
M
1
= L x
, y
M
2
= L y
x i+1
= x i
+ h i+1
, y j+1
= y j
+ r j+1
x i+ ½
= x i
+
h i+1
, i = 0,1,...,M 1
-1
y j+ ½
= y j
+
r j+1
, j = 0,1,...,M 2
-1
V
ij
= { (x,y) : x i- ½
<
x
<
x i+ ½
, y j- ½
<
y
<
y j+ ½
}
ò
(Ex(xi+½,y) - Ex(xi-½,y) ) dx +
ò
(
Ey(x,yj+½) - Ey(x,yj-½)
)
dy=
x
у
-компоненты вектора напряженности электрического поля Е
.
y j-½
<
y
<
y j- ½
E x
(x i +
½
,y j
) = E i+ ½ ,j
= const
y j-½
<
y
<
y j- ½
Ex(x i - ½
,y j
) = E i- ½ ,j
= const (**)
x i-½
<
x
<
x i+ ½
Ey(x i
,
y j + ½
) = E i,j+ ½
= const
x i-½
<
x
<
x i+ ½
Ey(x i
,
y j
-½
) = E i,j
- ½
= const
y j- ½
<
y
<
y j+ ½
-
Q(x,y) = Q ij
= const
(E x
) i+ ½ ,j
- (E x
) i -½ ,j
r *
j
+ (E y
) ij+ ½
- (E y
) ij- ½
h *
i
= Q ij
h *
i
r *
j
где h *
i
= h i
- h i+1
, r *
j
= r j
- r j+1
Теперь Е i+
½
,j
выражаем через значение j
(x,y)
в узлах сетки:
ò E
x(x,y j
) dx =
-
j
i+1,j
-
j
ij
(E x
) i+ ½ ,j
= -
j
i+1j
-
j
ij
(E y
) i,j+ ½
= -
j
ij+1
-
j
ij
(
D j
) ij
= 1
j
i+1,j
-
j
ij
-
j
i j
-
j
i-1,j
+ 1
j
i j+1
-
j
ij
-
j
ij
-
j
ij-1
=
e
n
e
0
ò
(E x
(x ½
,y) - E +
x
(0,y))dy +
e
n
e
0
ò
(E y
(x,y j+ ½
) - E y
(x, j- ½
))dx =
e
n
e
0
ò
(E -
x
(0,y) - E x
(x -½
,y))dy +
e
n
e
0
ò
(E y
(x,y j+½
) - E y
(x, j-½
))dx = 0
где E +
x
(0,y)
и E -
x
(0,y)
-предельные значения х
компоненты вектора
Е
со стороны кремния и окисла.Складывая равенства и учитывая
e
n
e
0
d
j
+
-
e
1
e
0
d
j
-
= -Qss
ò
(
e
n
e
0
E x
(x ½
,y) -
e
1
e
0
E x
(x -½
,y) - Q ss
(y)
)
dy
+
e
n
e
0
ò
(
E y
(x,y j+½
) +
E
y
(x ,
y j-½
)
)
dx
+
+
e
1
e
0
ò
(E y
(x,y j+½
) - E y
(x,y j-½
))dx = q
ò
ò
(
N
d
+ N
a
)
dxdy
Сделав относительно E x
и E y
предположения анологичные (**)
положив Q ss
(
y
)
= Q ss
= const
при y j-½
< y < y j+½
и учитывая условия :
e
n
e
0
(E x
) ½,j
-
e
1
e
0
(E x
) -½,j
- Q ss
r *
j
+
e
n
e
0
h 1
+
e
1
e
0
h -1
.
(E y
) 0,j+½
- (E y
) 0,j-½
=
1
e
n
e
0
j
ij
-
j
0j
-
e
1
e
0
j
0j
-
j
ij
+
e
n
e
0
h 1
+
e
1
e
0
h -1
j
0,j+1
-
j
0j
-
j
0j
-
j
0,j-1
=
= - q
( Nd 0j
- Na 0j
) . h 1
- Q ss
Общий алгоритм численого решения задачи
Для вычисленя решений многих решений многих многих стационарных задач математической физики, описывающих равновесные состояния, рассматриватривают последнии как результат установленияразвивающегося во времени процесса, расчёт которых оказывается проще, чем прямой расчёт равновесного состояния.
Рассмотрим применение метода установления на примере алгоритма для вычисления решения задачи Дирихле:
L
xx
U mn
+
L
yy
U mn
=
j
(x m
,y n
) (1)
U mn
|
г =
Y
(s mn
) m,n = 1,2,...,M-1
аппроксимирующий дифференциальную задачу Дирихле:
d 2
U
+ d 2
U
=
j
(x,y) 0<= x <=1
Вслучае задачи (1)
удаётся провести теоретический анализ различных алгоритмов установления с помощью конечных рядов Фурье.
Способыточного решения задачи (1)
выдерживающие обобщения на случай переменных коэффициенто и областей скриволинейной границей, например, метод исключения Гаусса , при сколько-нибудь больших и становится неудобным и не применяются.
Решение U
(x,y)
Задачи (2)
можно понимать как не зависящую от времени температуру в точке (
x,y
)
пластинки, находящейся в теплолвом равновесии. Функция j
(x,y)
и Y
(s)
означаютв таком случае соответственно распределения источников тела и температуру на границе.
Рассмотрим вспомогательную нестационарную задачу о распределении тепла:
где j
и Y
те же что и в задаче (2)
, а Y
0
(x,y)
- произвольная.
Поскольку источники теплп j
(x,y)
и температура на границе Y
(s)
не зависит от времени, то естественно, что и решение V
(x,y,t)
с течением времени будет менятся всё медленнее, распределение температур V
(x,y,t)
в пределе при t -OO превращается в равновесное распределение тмператур U
(x,y)
, описываемое задачей (2)
. Поэтому вместо стационарной задачи (2)
можно решать нестационарную задачу (3)
до того времени t
, пока её решение перестаёт менятся в пределах интересующей нас точности. В этом состоит идеал решения стационарных задач методом установления.
В соответствии с этим вместо задачи (2)
решается задача (3)
, а вместо разностной схемы (1)
для задачи (2)
рассмотрим и составим три различные разностные схемы для задачи (3)
.
Именно, рассмотрим простейшую явную разностною схему:
U p+1
mn
- U p
mn
=
L
xx
U p
mn
+
L
yy
U p
mn
-
j
(x m
,y n
)
Рассмотрим так же простейшую неявную разностную схему:
U p+1
mn
- U p
mn
=
L
xx
U p+1
mn
+
L
yy
U p+1
mn
-
j
(x m
,y n
)
и исследуем схему применения направлений
U’ mn
- U p
mn
= 1
[
L
xx
U’ mn
+
L
yy
U p
mn
-
j
(x m
,y n
)]
U p+1
mn
- U’ mn
= 1
[
L
xx
U’ mn
+
L
yy
U p+1
mn
-
j
(x m
,y n
)]
U p+1
mn
|
г
= U’ mn
|
г
=
Y
(s mn
)
Будем считать, что Y
0
(x m
,y n
)
по уже известному U p
={U p
mn
}
для схемы (4)
оссуществляется по уже явным формулам.
Вычисление U p+1
= {U p+1
mn
}
по схеме (5)
требует решения задачи :
L
xx
U p+1
mn
+
L
yy
U p+1
mn
- U p+1
mn
=
j
(x m
,y n
) - U p
mn
Вычисление U p+1
= {U p+1
mn
}
по уже известным U p
= {U p
mn
}
по схеме (6)
осуществляется прогонками в направлении оси OX
для вычисления решений {U’ mn
}
одномерных задач при каждом фиксированом n
, а затем прогонками в направлнии оси OY
для вычисления решений {U p+1
mn
}
одномерных задач при каждом фиксированом m
.
Для каждой из двух разностных схем (4)
и (6)
рассмотрим разность для счёта погрешностеи вычислений:
между сеточной функцией U p
= {U p
mn
}
и точным решением U = {U mn
}
задачи (1)
.
Решение {U mn
}
задачи (1)
удовлетворяет уравнениям:
U p
mn
- U mn
=
L
xx
U mn
-
j
(x m
,y n
)
Вычитая эти равенства из (4)
почленно, получим для погрешности e
p
mn
следующую разностную задачу:
e
p+1
mn
-
e
p
mn
=
L
xx
e
p
mn
+
L
yy
e
p
mn
e
0
mn
=
Y
0
(x m
,y n
) - U mn
Сеточная функция e
p
mn
при каждом p
(p=0,1,...)
обращается в ноль на границе Г
.
Рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности:
dU
= LU + f
(x,t) , x
Î
G 02
, t
Î
[0,t 0
]
LU =
LU = ( L
1
+L 2
) U
,
где
L
a
U
= d 2
U
,
a
=1,2
Область G 0
a
=G 0
= {0<= x
a
<= l
a
,
a
=1,2}
-прямоугольник со сторонами l 1
и l 2
, Г
- граница G 0
= G 0
+
Г
.
В G 0
построили равномерную по xa сетку v
h
с шагами h 1
= l 1
/N 1
, h 2
= l2
/N 2
.
Пусть n
h
- граница сеточной области w
h
, содержащая все узлы на сторонах прямоугольника, кроме его вершин, v
h
= w
h
+
n
h
.
Оператор L
a
заменим разностным оператором L a
:
L a
y = yx
a
x
a
,
L = L 1
+ L 2
В случае одномерного уравнения теплопроводности неявная схема на каждом слое приводит к разностной краевой задаче вида:
A i
y i-1
- C i
y i
+ B i
y i+1
= -F , i=1,...,N-1
Рассмотрим теперь нашу двимерную задачу в прямоугольнике. Сетку v
h
можно представить как совокупность узлов, расположенных на строках i 2
=0,1,2,...,N 2
, или как совокупность узлов расположенных на столбцах i 1
=1,2,...,N 1
. Всего имеется N 1
+1
столбцов и N 2
+1
строк. Число узлов в каждой строке равно N 1
+1
, а в каждом столбце N 2
+1
- узлов.
Если на каждой строке (или столбце) решать задачу вида (2)
методом прогонки при фиксированом i 2
(или i 1
), то для отыскания решения на всех строках (или столбцах), т.е. во всех узлах сетки, понадобится О(
N 1
N 2
)
арифметических действий. Основная идея большинства экономичных методов и состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению одномерных задач вида (2)
вдоль строк и вдоль столбцов.
Наряду с основными значениями искомой сеточной функции y(x,t)
, т.е. с y = y n
и y` = y n+1
вводится промежуточное значение y = y n+½
, которое можно формально рассматривать как значение при t = t n+½
=
t
n+½
. Переход от слоя n
на слой n+1
совершается в два этапа с шагами 0.5
t
.
y
n+½
- y n
=
L
1
y n+½
+
L
2
y n
+
j
n
(3)
y
n+1
- y n+½
=
L
1
y n+½
+
L
2
y n+1
+
j
n
(4)
Эти уравнения пишутся во всех внутренних узлах x = x i
сетки v
h
и для всех t=t h
> 0
.
Первая схема неявная по направлению х 1
и явная по х 2
, вторая схема явная по х 1
и неявная по х 2
. К уравнениям (3),(4)
надо добавить начальные условия:
и разностно краевые условия, например, в виде:
y n+1
=
m
n+1
при
i 1
=0, i 2
=N 2
(6)
y n+½
=
m
при
i 1
=0, i 2
=N 1
(7)
где m
= 1
(
m
n+1
+
m
n
) -
t
L 2
(
m
n+1
-
m
n
) (8)
Т.о. , разностная краевая задача (3)-(8)
соответствует задаче (1)
. Остановимся на методе решения этой задачи. Пререпишем (3)
и (4)
в виде:
2
y -
L
1
y = F , F = 2
y +
L
2
y +
j
2
y` -
L
2
y` = F’ , F = 2
y +
L
1
y +
j
при этом, если в уравнении один из индексов фиксирован, то его не пишем. Тогда (9)
можно записать в виде (2)
, т.е.:
1
y i1-1
- 2 1
+ 1
y i1
+ 1
y i1+1
= - F i1
1
y` i2-1
- 2 1
+ 1
y` i2
+ 1
y` i2+1
= - F i2
Пусть задано у=у
n
. Тогда вычисляем ò
F
, затем методом прогонки вдоль строк i 2
=1,...,N 2
-1
решаем задачу (10)
и определим y’
во всех узлах сетки w
h
, после чего вычисляем F
и решаем задачу (11)
вдоль столбцов i 1
=1,...,N 1
-1
, определяя y`=y n+1
. При переходе от слоя n+1
к слою n+2
процедура повторяется, т.е. происходит всё время чередование направлений.
Для каждой области МДП - структуры построим консервативную разностную схему, учитывая при этом заданные условия.
Разобьём данную МДП - структуру на несколько областей следующим образом:
t
.
j
k+½
i-1,y
+ 1 +
t
+
t
.
j
k+½
ij
-
t
.
j
k+½
i+1y
=
Y
ij
2h *
i
h i
2h *
i
h i+1
2h *
i
2h i
2h *
i
h i+1
где
Y
ij
=
j
k
ij
+
t
(
L
y
j
k
ij
+ f
k
ij
)
L
y
= 1
j
k
ij+1
-
j
k
ij
-
j
k
ij
-
j
k
ij-1
t
.
j
k+½
i-1,j
+ 1 +
t
+
t
.
j
k+½
ij
-
t
j
k+½
i+1,j
=
2h *
i
h i
2h *
i
h i+1
2h *
i
h i
2h *
i
h i+1
e
ok
.
j
k+½
i-1,j
+ -
e
nn
-
e
ok
.
j
k+½
ij
+
e
n
.
j
k+½
i+1,j
=
Y
*
ij
, i=k0
h *
i-1
h *
h i
h *
h i-1
h *
i
h i
t
.
j
k+½
i-1,j
+ 1 +
t
+
t
.
j
k+½
ij
-
t
.
j
k+½
i+1,j
=
2h *
i
h i
2h *
i
h i
2h *
i
h i
2h *
i
h i+1
=
j
k
ij
+
t
L
y
j
k
ij
- f
k
ij
,k0+1
<
i
<
k1
t
.
j
k+½
i-1,j
+ 1 +
t
+
t
.
j
k+½
ij
-
t
j
k+½
i+1,j
=
2h *
i
h i
2h *
i
h i+1
2h *
i
h i
2h *
i
h i+1
=
j
k
ij
+
t
L
y
(
j
k
ij
- f
k
ij
), M+1
<
j
<
N
Разностные схемы (
I
)
-(III)
решаются методом прогонки в направлении оси OX
.
Разностные схемы (
IV
)
-(VI)
также решаются методом прогонки в направлении оси OY
.
1.
Годунов С.К.,Рыбинский В.С.:”Разностные схемы”
2.
Кобболд Р.: “Теория и приминение транзисторов”
3.
Самарский А.М.:“Теория разностных схем”
4.
Самарский А.М.,Николаев Е.С.: “Методы решения сеточных уравнений”
5.
Самарский А.А.,Андреев В.Б.: “Разностные методы решения эллиптических уравнений”
6.
Калиткин Н.Н.:”Численные методы”
Название: Моделирование распределения потенциала в МДП-структуре
Раздел: Рефераты по радиоэлектронике
Тип: реферат
Добавлен 09:20:56 31 июля 2005 Похожие работы
Просмотров: 79
Комментариев: 19
Оценило: 4 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно Скачать
Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Если Вам нужна помощь с учебными работами, ну или будет нужна в будущем (курсовая, дипломная, отчет по практике, контрольная, РГР, решение задач, онлайн-помощь на экзамене или "любая другая" учебная работа...) - обращайтесь: https://clck.ru/P8YFs - (просто скопируйте этот адрес и вставьте в браузер) Сделаем все качественно и в самые короткие сроки + бесплатные доработки до самой сдачи/защиты! Предоставим все необходимые гарантии.
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.
Реферат: Моделирование распределения потенциала в МДП-структуре
Курсовая работа по теме Приобретение гражданства Российской Федерации
Реферат На Тему Типы Средовых Влияний
Статья: Современная историография истории испанских пограничных областей
Реферат: Курс социальной философии
Реферат: Натурфилософия эпохи возрождения 2
Техника Безопасности При Проведении Лабораторных Работ
Реферат: Стекло. Стекловолокно. Стеклоэмали
Реферат по теме Роль вищих рослин у грунтоутворенні
Сочинение По Картине Николая Рериха Заморские Гости
Дипломная работа по теме Права на программы для ЭВМ и базы данных как одного из объектов авторского права
Реферат: Пособие 1С бухгалтерия
ЛИЗИНГ: правовые основы и проблемы развития правового регулирования в РФ
Лабораторная Работа Кпд
Реферат: Scholarship Boy Essay Research Paper Scholarship Boy
Арлы Адам Қандай Адам Эссе
Памятники градостроительства и архитектуры: определение, классификация
Реферат: Почитая старое, обретаешь новое, или нужна ли социологу история его науки
Реферат: Роль та місце жінки у общині
Реферат: Личность учителя иностранного языка как фактор воспитания учащихся в процессе обучения Современные требования к учителю иностранного языка
Работа С Кадровым Резервом Реферат
Сочинение: Моё отношение к Евгению Базарову
Реферат: Призраки юности
Реферат: Древний Китай