Реферат: Метод расчета скейлинговых констант Фейгенбаума для одномерных дискретных отображений по точкам сверхустойчивых циклов
👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Напомню для начала некоторые факты из теории универсальности Митчелла Фейгенбаума. Будем называть непрерывное отображение отрезка в себя унимодальным, если внутри отрезка имеется точка экстремума и по обе стороны от неё отображение является строго монотонным (с одной из сторон возрастающим, с другой убывающим). Условимся далее рассматривать только унимодальные отображения вида
Если последовательность { } при данном r состоит из n точек, такую последовательность будем называть n-циклом, что =f( ), =f( ), …, =f( ) или . Заметим, что производная порядка n функции (n раз вычисленной функции f(x)) в точке x по правилу дифференцирования сложной функции равна .
Точки цикла, удовлетворяющие соотношению
Величина (так называемый мультипликатор) определяет устойчивость n-цикла и её принято называть устойчивостью (stability, [2], p.121). n-цикл называется устойчивым, если <1.
n-цикл, содержащий в качестве одной из своих точек, называются сверхустойчивым. Для такого цикла =0.
Как было продемонстрировано в 1978 году М.Фейгенбаумом [4], значения параметра , при которых число устойчивых периодических точек удваивается и становится равным , удовлетворяют масштабному соотношению, или как говорят имеют скейлинг:
Данное соотношение встречается также и в следующей записи:
Расстояния от точки , где - точка экстремума рассматриваемого отображения (на рис 1. x=1/2), до ближайшей к ней точки на - цикле подчиняются следующему соотношению:
Константы Фейгенбаума имеют значения , и являются ни много ни мало мировыми транцедентными числами, такими как или e.
Сказку о том, как Фейгенбаум сидел в тени деревьев и вычислял их на своём калькуляторе HP-65 с золотистыми кнопочками вы, наверное, слышали. Это был первый программируемый калькулятор и стоил ни много ни мало аж 400 (четыреста!) долларов. Наивно полагать, что своё удивительное открытие Фейгенбаум сделал, пользуясь исключительно калькулятором: все-таки в то время он работал в Лос-Аламосе, а у военных всегда были и будут самые мощные компьютеры в мире, однако открытие действительно было чудесным - какие бы унимодальные отображения мы не рассматривали, скейлинг для них (т.е. "волшебные" числа и ) будет тем же самым.
Интересно, что точки также можно использовать для расчета , этим факт мы и будем использовать в дальнейшем. Обратим внимание, что в точках мультипликатор всегда равен нулю, что автоматически означает устойчивость этих циклов:
Для произвольных же -циклов справедливо выражение:
Уравнение (5.3) легко решается относительно параметра , например, с помощью метода последовательных итераций Ньютона:
Здесь i - номер итерации. Таким образом, весь процесс вычисления, скажем, константы сводится к нахождению таких значений параметра R, при которых бифуркационная диаграмма пересекает линию . Для этого необходимо решить уравнение (6), проитерировав его раз.
Начинаем итерировать функцию f cо следующего значения:
Итерируем производную функции начиная с
Начальные приближения двух значений параметра R: ,
Разумное начальное приближение для постоянной :
А весь процесс может быть описан следующими выражениями:
Рассмотрим на примерах как выглядят непосредственные вычислительные формулы.
При данном значении функция f будет зависеть только от константы r, обозначим эту функцию как . Тогда предыдущее уравнение можно будет переписать:
Программу расчета константы вы можете найти здесь. Её легко модицифировать для расчета постоянной , что предоставляется проделать читателю. Результат расчета в зависимости от шага i приводится ниже.
[1] Г.Шустер, "Детерминированный хаос. Введение", М:Мир, 1988
[2] K.Briggs "Feigenbaum Scaling in Discrete Dynamical Systems", PhD thesis, 1997
[3] Е.Б.Вул, Я.Г.Синай, К.М.Ханин, "Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм", УМН, т.39, вып.3(237), 1984
[4] М.Фейгенбаум, "Универсальность в поведении нелинейных систем", УФН, т.141, вып.2, октябрь 1983
[5] Н.Н.Калиткин, "Численные методы", М:Наука, 1978
Название: Метод расчета скейлинговых констант Фейгенбаума для одномерных дискретных отображений по точкам сверхустойчивых циклов
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 14:06:52 10 марта 2005 Похожие работы
Просмотров: 638
Комментариев: 15
Оценило: 4 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно Скачать
Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.
Реферат: Метод расчета скейлинговых констант Фейгенбаума для одномерных дискретных отображений по точкам сверхустойчивых циклов
Установление происхождения ребенка
Реферат: Аппаратное обеспечение персональных компьютеров. Скачать бесплатно и без регистрации
Левша Народный Герой Сочинение 6 Класс
Подготовка К Контрольной Работе По Лексике
Контрольная работа по теме Защита права собственности и других вещных прав
Реферат: Искусство в контексте личностного опыта человека
Реферат по теме Культура России XVII века
Курсовая работа по теме Оценка потребительских свойств и показателей качества товаров
Коммерческая Недвижимость Курсовой Переулок
Контрольная работа по теме Налоговые отношения
Курсовая работа по теме Абстрактный синтез конечного автомата
Курсовая работа по теме Юридична особа як суб’єкт цивільного права. Поняття створення та припинення юридичної особи
Курсовая работа по теме Особенности инновационного маркетинга
Дипломная работа по теме Автоматизация производственного участка на базе станков с ЧПУ
Реферат: Отчет по преддипломной практике в Иркутском филиале ОАО Банк Москвы
Дипломная работа: Организация учета и аудита производственных запасов на АО Уральскоб
Дипломная Работа На Тему Порядок Расторжения Трудового Договора По Инициативе Нанимателя
Курсовая работа по теме Свободная и вынужденная миграция. Социально-экономические аспекты
Культура Тюрков Реферат
Технология Изготовления Детали Вал Курсовая
Реферат: "Мягкие" препараты
Реферат: Эйнштейн: изобретения и эксперимент
Реферат: Язычество восточных славян и его отражение в быте и нравах народа