Реферат: Математика. Интегралы

⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

*1. Говорят, что функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b), если для любых точек x 1
f(x 2
)). В этом случае функцию называют монотонной на (a,b).
Т1. Дифференцируемая на (a,b) функция f(x) тогда и только тогда не убывает (не возрастает) на (a,b), когда f¢(x)³0 (£0) при любом xÎ(a,b).
Док-во: 1) Достаточность. Пусть f¢(x)³0 (£0) всюду на (a,b). Рассмотрим любые x 1
0, f¢(a)³0 (£0), f(x 2
)-f(x 1
)³0 (£0), значит, f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b). 2) Необходимость. Пусть, например, f(x) не убывает на (a,b), xÎ(a,b), x+DxÎ(a,b), Dx>0. Тогда (f(x+Dx)-f(x))/Dx³0. Переходя к приделу при Dx-0, получим f¢(x)³0. Теорема доказана.
Т2. Для возрастания (убывания) f(x) на (a,b) достаточно, чтобы f¢(x)>0 (<0) при любом xÎ(a,b). Док-во: Тоже что и в Т2.
Замечание1. Обратное к теореме 2 не имеет места, т.е. если f(x) возрастает (убывает) на (a,b), то не всегда f¢(x)>0 (<0) при любом xÎ(a,b).
*3. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой графика функций y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений или равно +¥ или –¥.
Замечание 2. Непрерывные функции вертикальных асимптот не имеют.
*4. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при x-+¥(–¥), если f(x)=kx+b+a(x), где
Т3. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при x-+¥(–¥), тогда и только тогда, когда существуют , , причем при x-+¥(–¥) наклонная асимптота называется правой (левой). Док-во: Предположим, что кривая y=f(x) имеет наклонную асимптоту y=kx+b при x-+¥, т.е. имеет место равенство f(x)=kx+b+a(x). Тогда . Переходя к пределу при x-+¥, получаем . Далее из f(x)=kx+b+a(x)-b=f(x)-kx-a(x). Переходя к пределу при x-+¥, получаем . Докажем обратное утверждение. Пусть пределы, указанные в теореме, существуют и конечны. Следовательно, f(x)–kx=b+a(x), где a(x)-0, при x-+¥(–¥). Отсюда и получаем представление f(x)=kx+b+a(x). Теорема доказана.
Замечание3. При k=0 прямая y=b называется горизонтальной асимптотой, причем при x-+¥(–¥) – правой (левой).
*1. Точку х 0
назовем стандартной для функции f(x), если f(x) дифференцируема в точке x 0
и f¢(x 0
)=0.
*2. Необходимое условие экстремума. Если функция y=f(x) имеет в точке x 0
локальный экстремум, то либо x 0
– стационарная точка, либо f не является дифференцируемой в точке x 0
.
Замечание 1. Необходимое условие экстремума не является достаточным.
Т1. (Первое достаточное условие экстремума). Пусть y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x 0
, кроме, быть может, самой точки x 0
, в которой она является непрерывной. Если при переходе x через x 0
слева направо f¢(x) меняет знак с + на –, то точка x 0
является точкой максимума, при перемене знака с – на + точка x 0
является точкой минимума. Док-во: Пусть xÎ(a,b), x¹x 0
, (a,b) – достаточно малая окрестность точки x 0
. И пусть, например, производная меняет знак с + на –. Покажем что f(x 0
)>f(x). По теореме Лагранжа (применительно к отрезку [x,x 0
] или [x 0
,x]) f(x)–f(x 0
)=(x- x 0
)f¢(a), где a лежит между x 0
или x: а) x< x 0
Þx- x 0
<0, f¢(a)>0Þf(x)–f(x 0
)<0Þf(x 0
)>f(x); б) x>x 0
Þx–x 0
>0, f¢(a)<0Þf(x)–f(x 0
)<0Þf(x 0
)>f(x).
Замечание 2. Если f¢(x) не меняет знака при переходе через точку х 0
, то х 0
не является точкой экстремума.
Т2. (Второе достаточное условие экстремума). Пусть x 0
– стационарная точка функции y=f(x), которая имеет в точке x 0
вторую производную. Тогда: 1) f¢¢( x 0
)>0Þf имеет в точке x 0
локальный минимум. 2) f¢¢( x 0
)<0Þf имеет в точке x 0
локальный максимум.
*1. График функции y=f(x) называется выпуклым вниз (или вогнутым вверх) в промежутке (a,b), если соответствующая дуга кривой расположена выше касательной в любой точке этой дуги.
*2. График функции y=f(x) называется выпуклым вверх (или вогнутым вниз) в промежутке (a,b), если соответствующая дуга кривой расположена ниже касательной в любой точке этой дуги.
Т1. Пусть y=f(x) имеет на (a,b) конечную 2-ю производную. Тогда: 1) f¢¢(x)>0, "xÎ(a,b)Þграфик f(x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную вниз; 2) ) f¢¢(x)<0, "xÎ(a,b)Þграфик f(x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную вверх
*3. Точка (c,f(с)) графика функций f(x) называется точкой перегиба, если на (a,c) и (c,b) кривая y=f(x) имеет разные направления выпуклости ((a,b) – достаточно малая окрестность точки c).
Т2. (Необходимое условие перегиба). Если кривая y=f(x) имеет перегиб в точке (c, f(c)) и функция y=f(x) имеет в точке c непрерывную вторую производную, то f¢¢(c)=0.
Замечание1. Необходимое условие перегиба не является достаточным.
Замечание2. В точке перегиба вторая производная может не существовать.
Т3. (Первое достаточное условие перегиба). Пусть y=f(x) имеет вторую производную на cÎ(a,b), f¢¢(c)=0. Если f¢¢(x) имеет на (a,c), (c,b) разные знаки, то (c, f(c)) – точка перегиба графика f(x).
Т4. (Второе условие перегиба). Если y=f(x) имеет в точке конечную третью производную и f¢¢(c)=0, а f¢¢¢(c)¹0, тогда (c, f(c)) – точка перегиба графика f(x).
*1. Первообразная от функции f(x) в данном интервале называется функция F(x), производная которой равна данной функции: F¢(x)=f(x).
T1. Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных, причем любые две из них отличаются друг от друга только постоянным слагаемым. Док-во: F(x) и Ф(х) – две первообразные от f(x), тождественно не равные между собой. Имеем F¢(x)=f(x), Ф¢(х)=f(x). Вычитая одно равенство из другого, получим [F(x)–Ф(х)]¢=0. Но если производная от некоторой функции (в нашем случае от F(x)–Ф(х)) тождественно равна нулю, то сама функция есть постоянная; ÞF(x)–Ф(х)=С.
*2. Неопределенным интегралом от данной функции f(x) называется множество всех его первообразных ,где F¢(x)=f(x).
Свойства неопределенного интеграла:
Т2. (об инвариантности формул интегрирования): Пусть òf(x)dx=F(x)+C – какая-либо известная формула интегрирования и u=ф(х) – любая функция, имеющая непрерывную производную. Тогда òf(u)du=F(u)+C. Док-во: Из того, что òf(x)dx=F(x)+C, следует F¢(x)=f(x). Возьмем функцию F(u)=F[ф(x)]; для её дифференциала, в силу теоремы об инвариантности вида первого дифференциала функции, имеем: dF(u)=F¢(u)du=f(u)du. Отсюда òf(u)du=òdF(u)=f(u)+C.
1) Подведение под знак дифференциала. Т1. Пусть функция y=f(x) определена и дифференцируема, пусть также существует f(x)=f(j(t)) тогда если функция f(x) имеет первообразную то справедлива формула: –формула замены переменных. Док-во: пусть F(x) для функции f(x), т.е. F¢(x)=f(x). Найдем первообразную для f(j(t)), [F(j(t))]¢ t
=F¢(x)(j(t)) j¢(t)=F¢(x) j¢(t)=f(x) j¢(t). òf(x) j¢(t)dt=f(j(t))+C. F(j(t))+C=[F(x)+C]| x
=
j
(
t
)
=òf(x)dx| x
=
j
(
t
)
.
Замечание1. При интегрировании иногда целесообразно подбирать подстановку не в виде x=j(t), а в виде t=j(x).
2) Подведение под знак дифференциала. F(x)dx=g(j(x)) j¢(x)dx=g(u)du. òf(x)dx=òg(j(x)) j¢(x)dx=òg(u)du.
Интегрирование по частям: òudv=uv-òvdu. До-во: Пусть u(x) и v(x) – функции от х с непрерывными производными. D(uv)=udv+vdu,Þudv=d(uv)-vduÞ(интегрируем) òudv=òd(uv)-òvdu или òudv=uv-òvdu.
Интегрирование по частям: òudv=uv-òvdu. До-во: Пусть u(x) и v(x) – функции от х с непрерывными производными. D(uv)=udv+vdu,Þudv=d(uv)-vduÞ(интегрируем) òudv=òd(uv)-òvdu или òudv=uv-òvdu.
Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен:
Первый интеграл табличного вида: òdu/u k
:
Второй интеграл сводится к нахождению интеграла: где u=x+p/2, a= , q-p 2
/4>0
Интегрирование рациональных функций: R(x)=P(x)/Q(x), R(x)-рациональная функция, P(x) и Q(x)-многочлены. Дробь P(x)/Q(x) можно разложить в сумму простейших дробей, где A i
, B i
, C i
– постоянные, а именно: каждому множителю (x-a) k
в представлении знаменателя Q(x) соответствует в разложении дроби P(x)/Q(x) на слагаемые сумма k простейших дробей типа а каждому множителю (x 2
+px+q) t
соответствует сумма t простейших дробей типа . Таким образом при разложении знаменателя Q(x) на множители имеет место разложение дроби P(x)/Q(x) на слагаемые.
Правила интегрирования рациональных дробей:
Правую рац. дробь разлагают на сумму простейших дробей. Этим самым интегрирование правильной рац. дроби сводят к интегрированию простейших дробей.
Интегрирование тригонометрических функций:
2 R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx, то cosx=t.
3 R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно cosx, то sinx=t.
4 R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx и cosx, то tgx=t.
2 Оба показателя степени m и n – четные положительные числа: sinxcosx=1/2 sin2x; sin 2
x=1/2(1-cos2x); cos 2
x=1/2(1+cos2x).
III. òtg m
xdx и òctg m
xdx, где m-целое положительное число. tg 2
x=sec 2
x-1 или ctg 2
x=cosec 2
x –1.
IV. òtg m
xsec n
xdx и òctg m
xcosec n
xdx, где n – четное положительное число. sec 2
x=1+tg 2
x или cosec 2
x=1+ctg 2
x.
V. òsinmx*cosnxdx, òcosmx*cosnxdx, òsinmx*sinnxdx; sinacosb=1/2(sin(a+b)+sin(a-b)); cosacosb=1/2(cos(a+b)+cos(a-b)); sinasinb=1/2(cos(a-b)-cos(a+b));
Интегрирование иррациональных функций:
I. 1 òR(x, , ,…)dx, k-общий знаменатель дробей m/n, r/s…. x=t k
, dx=kt k–1
dt
II. 1 Вынести 1/Öa или 1/Ö-a. И выделим полные квадраты.
1)p-целое число x=t S
, где s- наименьшее общее кратное знаменателей у дробей m и n. 2) (m+1)/n –целое число: a+bx n
=t S
; 3) p+(m+1)/n-целое число: a -
n
+b=t S
и где s- знаменатель дроби p.
1) интервал [a,b], в котором задана функция f(x), разбивается на n частичных интервалов при помощи точек a=x 0
Реферат: Математика. Интегралы
Реферат по теме Солнечные затмения
Курсовая работа по теме Надежность информационных систем
Контрольная работа по теме Стоимость безвозмездно полученного имущества для целей налогообложения. Состав посреднических операций. Обязанности налогового агента
Региональные Программы Реферат
Доклад по теме Эжен Делакруа
Курсовая работа: Учёт внеоборотных активов. Скачать бесплатно и без регистрации
Какую Литературу Можно Использовать В Итоговом Сочинении
Плакаты Итоговое Сочинение 2022 2022 На Стенд
Курсовая работа по теме Электрооборудование участка судебных приставов
Дипломная Работа На Тему Личностные Детерминанты Нервно-Психической Устойчивости У Представителей Стрессогенной Профессии
Эссе по теме Русские переводы 'Гамлета': способы адаптации старинного инокультурного текста
Контрольная работа по теме Методы литотрипсии и аппараты для ее реализации
Дипломная работа по теме Дослідження продуктивності пшениці озимої селекції СГІ залежно від сортового складу в незрошуваних умовах ПОК 'Зоря' Білозерського району Херсонської області
Реферат На Тему Средства Развития Основных Физических Качеств Бегуна
Понятие Личность Реферат
Дипломная работа по теме Разработка мероприятий по повышению эффективности финансово-хозяйственной деятельности предприятия стекольного машиностроения на материалах ЗАО 'СКБ СМ'
Реферат: Уголовное судопроизводство в Российской Федерации
Present Continuous Контрольная Работа 5 Класс
Реферат: Параллельные машины баз данных. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Внутрення и внешняя политика Ирана в экспертных оценках "мозговых центров" США
Доклад: Борецкая Марфа
Курсовая работа: Теория риторики
Реферат: Анализ хозяйственной деятельности