Реферат: Логика высказываний

💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Важнейшей функцией логики является установление того, что из чего следует, а значит установление того, какие формулы являются теоремами, а какие нет. Это достигается с помощью аксиоматического метода. При аксиоматическом построении исчисления высказываний выбирают некоторое, небольшое количество формул, которые включают в систему без доказательства. Это аксиомы системы. Остальные формулы могут быть присоединены к системе только тогда, когда они следуют из аксиом или являются определениями. Существует много эквивалентных систем исчисления высказываний, различающихся аксиомами и исходными терминами. Здесь мы опишем систему Д. Гильберта и В. Аккермана. В исчислении высказываний определение формулы такое же, как и в алгебре высказываний.
В качестве аксиом принимаются следующие четыре высказывания:
В этой системе принимаются три определения:
Здесь символ « » означает равносильные по определению.
Для получения новых формул, как из положенных в основу исходных формул, так и из уже выведенных формул, принимаются два правила:
Вместо переменного высказывания можно везде, где эта буква встречается, подставить одну и ту же формулу исчисления высказывания.
Из двух формул φ и φ → ψ получаем новую формулу ψ.
Из сформулированных правил и аксиом можно вывести новые правила вывода формул.
ПРАВИЛО I. Если φ Ú φ – доказуемая формула, то доказуема также формула φ.
Доказательство: Подставим в α) формулу φ. Получим φ Ú φ→ φ. Поскольку φ Ú φ доказуемая формула, то, по правилу β) доказуема и формула φ.
ПРАВИЛО II. Если φ – доказуемая формула, а ψ – любая другая формула, то формула φ Ú ψ является также доказуемой.
Доказательство: Подставим в в) вместо р формулу φ, а вместо q - формулу ψ. Получаем φ ® φ Ú ψ. Схема заключения дает φ Ú ψ.
ПРАВИЛО III. Если φÚ ψ – доказуемая формула, то доказуема и формула ψ Úφ.
Доказательство: Получаем из с) заменой р на φ, q на ψ и применяем схемы заключения.
ПРАВИЛО IV. Если φ→ ψ доказуемая формула, то формула γÚφ→ γ Ú ψ также доказуема.
Доказательство : Получаем из α) заменой р на φ, q на ψ, r на γ и применяем схемы заключения.
Из аксиом, принятых и выведенных правил можно выводить новые формулы и правила.
Доказательство: Заменим в d) r на`r. Получаем (p→q)→ ((`rÚp)→(`rÚq)), но по Д1 эта формула есть иная запись доказываемой формулы.
Доказательство: Подставим в формулу вместо р формулу ψ, вместо q формулу γ, вместо r формулу φ. Получаем: (ψ → γ )→(( φ→ ψ)→( φ→ γ)) .
Применяя два раза схему заключения, получаем: φ→ γ.
Легко доказать, что в предложенной аксиоматической системе выводимы формулы алгебры высказываний. Докажем например, что формула `рÚp выводима.
Доказательство: Подставляем в в) вместо q переменную р , получаем формулу р→ рÚp. Из а) той же подстановкой получаем рÚp→ р. По правилу У выводим формулу p→ р. По Д1 эта формула представляет собой иную запись формулы`рÚp.
Аналогичным образом можно доказать остальные формулы алгебры высказываний.
Предложенное аксиоматическое исчисление высказываний удовлетворяет всем требованиям аксиоматического метода: система аксиом этого исчисления высказываний полна, независима и противоречива. Доказательство этого факта читатель может найти в любом учебнике по математической логике.
Система исчисления высказываний может быть построена методом допущений. Этот метод ближе к обычным содержательно очевидным представлениям в том отношении, что доказательства в системах, построенных этим методом, почти не отличаются от математических доказательств и от рассуждений в других науках. Здесь оно излагается по книге Е. Слупецкого, Л. Борковского «Элементы математической логики и теории множеств».
В натуральном исчислении высказываний принимается определение формулы алгебры высказываний и следующие правила:
1) Правило отделения (обозначает ПО):
Читается эта схема так: «Если в доказательстве имеются уже формула φ→ ψ и формула φ независимо от порядка, в каком эти формулы входят в доказательство, то к доказательству можно присоединить в качестве строки и формулу ψ».
Способ чтения этой схемы аналогичен.
Правило УК можно записать в виде одной схемы:
5) Правило введения эквивалентности:
6)Правило удаления эквивалентности:
Прямое доказательство выражения φ 1
→(φ 2
→( φ 3
→ …(φ п-1
→φ п
)…) строится следующим образом:
1. В первых n-1 строках выписываются последовательно выражения φ 1
, φ 2
,… φ п-1
в качестве условий теоремы.
2. К доказательству можно присоединить:
a) ранее доказанные теоремы в качестве новых строк;
b) новые строки на основании уже имеющихся строк по правилам ПО, ВК, УК, ВД, УД, ВЭ, УЭ.
1. Доказательство закончено, если его последняя строка есть выражение φ п.
Последняя строка доказательства не нумеруется; тем самым отмечается, что доказательство закончено.
Косвенное доказательство выражения φ 1
→(φ 2
→( φ 3
→ …(φ п-1
→φ п
)…) строится следующим образом:
1. а) В первых n-1 строках выписываются последовательно выражения φ 1
, φ 2
,… φ п-1
в качестве условий теоремы.
b) В n-ой строке выписывается выражение`φ п
в качестве допущения косвенного доказательства.
2. К доказательству можно присоединить:
a) ранее доказанные теоремы в качестве новых строк;
b) новые строки на основании уже имеющихся строк по правилам ПО, ВК, УК, ВД, УД, ВЭ, УЭ.
3. Доказательство закончено, если в нем имеются две противоречащие строки. Окончание доказательства отмечается написанием в последней ненумерованной строке выражения «ПРТВРЧ» (сокращение слова «противоречие») с указанием справа номеров двух противоречащих строк.
Продемонстрируем приемы доказательства на ряде примеров. Их мы будем нумеровать с указанием слева Т і
( теорема номері )
Т 1
(Закон гипотетического силлогизма)
3) `p íДопущения косвенного доказательстваý
Т 3
(Второй закон гипотетического силлогизма)
Докажем теперь аксиомы a), b), c), d):
С помощью таблиц истинности можно убедиться, что ПО исключают случаи, когда его применения к истинным посылкам дает ложные результаты.
По определению импликации φ→ ψ ψ есть следствие φ во всех случаях, кроме такого, когда посылка φ истинна, а заключение ψ ложно. Так, что для доказательства того, что ПО позволяет делать из посылок следствия достаточно доказать, что импликация, антицидент которой является конъюнкция посылок, консеквент – вывод, полученный с помощью этого правила, является всегда истинной формулой.
И с помощью таблицы истинности убеждаемся, что эта формула тождественно истинна
С помощью таблиц истинности можно убедиться, что и остальные правила натурального исчисления высказываний исключают случаи, когда результат их применение к истинным посылкам был бы ложным. С другой стороны, поскольку конъюнкция посылок ложна, когда хотя бы одна из посылок ложна, то по определению импликации из конъюнкции этих посылок следует любое высказывание как истинное, так и ложное. Следовательно, ложные посылки лишены смысла. Так, что и с формальной, и с содержательной точки зрения правила построения доказательств, по видимому, не должны вызывать сильных возражений.
1. Логическое суждение. Руфулаев О.Н. К. – 2005 г.
2. Логика – исскуство мышления. Тимирязев А.К.– К. 2000 г.
3. Философия и жизнь – журнал- К. 2004 г.
4. История логики и мышления – Касинов В.И. 1999.
6. Философия жизни. Матюшенко В.М. – Москва – 2003 г.
7. Философия бытия. Марикова А.В. – К. 2000 г.

Название: Логика высказываний
Раздел: Рефераты по философии
Тип: реферат
Добавлен 05:30:00 18 августа 2010 Похожие работы
Просмотров: 746
Комментариев: 18
Оценило: 4 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Логика высказываний
Химическая Организация Клетки Реферат
Как Написать Реферат Статьи
Реферат: "Группы" по Н.Смелзеру. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат по теме Н. Бердяев 'Новое средневековье'
Контрольная работа по теме Обработка металла на металлообрабатывающем предприятии
Реферат: Холуйская миниатюра. Скачать бесплатно и без регистрации
Уникальность Диссертации
Курсовая работа: Учет кассовых операций в теоретическом и практическом аспектах
Реферат по теме Північно-Східнiй экономический район Украины
Дипломная работа по теме Анализ окупаемости инвестиционного проекта по налаживанию прямых продаж IT-оборудования
75b5c3 50b4c4 Контрольная Работа 8 Класс
Отчет По Производственной Практике Пфр
Дипломная работа: Ревизия и анализ затрат в промышленной организации их роль в повышении эффективности производства
Доклад: Петросянц (Петросян) Евгений Ваганович
Сочинение О Любовном Конфликте Горе От Ума
Реферат: The Crucible The Witchcraft Hysteria Essay Research
Самое Яркое Событие Лета Сочинение
Реферат: Понятые в уголовном процессе
Доклад по теме Стационарная модель Вселенной
Что Почитать К Итоговому Сочинению 2022
Сочинение: Жизнь и творчество Марины Цветаевой
Реферат: Правовые системы в современном обществе
Статья: Рождение фортепианной педагогики