Реферат: Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Министерство общего и профессионального образования

Донской Государственный Технический Университет

_______________________________________________________

Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

Доклад посвящен теме, которой,по мнению автора, в курсе дифференциального исчисления уделено недостаточное внимание, "СЛДУ с периодическими коэффициентами".
Приведены основные определения, теоремы, на основе которых можно искать решения (периодические) подобных систем.
Рассмотрены несколько примеров на тему.
1. Однородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами…………………….…….…………..4
2. Неоднородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами..…………………………………………6
Примечания………………………………………………...…………………..7
Примеры………………………………………………………………….…….8
1. Однородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.
Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений
где F(t) — непрерывная периодическая матрица с периодом w:
Пусть z 1


(t), …, z n

(t)
— фундаментальная система решений для системы уравнений (1), определяемая начальными условиями
где с­­ j
k
(j, k = 1, …, n)
— постоянные. Последние соотношения можно записать в виде
где Z(t)
— фундаментальная матрица решений z j­


(t) (j = 1, …, n),
а С
= (с j
k
)
— постоянная матрица.
В силу (1) и (2) матрица Z(t) удовлетворяет условиям
Полагая в равенстве (3) t = 0
, получим Z(
w ) = C
.
Таким образом, Z(t +
w ) = Z(t)Z(
w ).
(4)
Матрица Z(
w )
называется матрицей монодромии

системы уравнений (1). Очевидно ç
Z(
w )
ç
¹
0
. Собственные значения матрицы Z(
w )
называются мультипликаторами системы уравнений

(1).
Отметим, что если матрица F(t) действительная, то матрица монодромии также действительная, однако мультипликаторы будут, вообще говоря, комплексными числами.
Теорема 1. Для того чтобы комплексное число
r
было мультипликатором системы уравнений (1), необходимо и достаточно, чтобы существовало такое нетривиальное решение
j

(t) системы (1), для которого

Доказательство. Пусть r — мультипликатор системы уравнений (1), тогда существует такой вектор z 0


¹
0
, что
Рассмотрим следующее нетривиальное решение системы уравнений (1):
j

(t +
w ) = Z(t +
w ) z 0

= Z(t)Z(
w ) z 0

= Z(t)
r
z 0


=
r
Z(t) z 0

=
r
j

(t)
.
Необходимость условия сформулированного в теореме, доказана. Докажем достаточность. Из соотношения (5) при t = 0
получим
причем j

(0)
¹
0
, так как в противном случае решение j

(t)
было бы тривиальным. Из равенства (7) в силу (6) следует то, что
Z(
w )
j

(0) =
j

(
w ) =
r
j

(0).

Таким образом, j

(0)
— собственный вектор матрицы Z(
ω )
, а ρ
— мультипликатор системы уравнений (1). Теорема доказана.
Из доказанной теоремы непосредственно вытекает
Следствие. Линейная однородная система уравнений (1) имеет нетривиальное решение с периодом
ω в том и только в том случае, когда один из ее мультипликаторов равен единице.

Теорема Флоке. Фундаментальная матрица Z(t) допускает следующее представление
:
где Ф(t)
— периодическая матрица с периодом ω, а А
— постоянная матрица.
откуда непосредственно следует, что замена переменных z

= Ф(t) y

переводит систему уравнений (1) в систему уравнений с постоянными коэффициентами (см. примечание 3)

2. Неоднородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.
Рассмотрим система дифференциальных уравнений
ż

= F(t) z
+ g
(t)
(- ¥ < t
< + ¥), (8)
где F(t)
— непрерывная периодическая матрица с периодом ω, g

(t)
— непрерывная периодическая вектор-функция с периодом ω. Нас будут интересовать периодические решения этой системы уравнений с периодом ω.
Теорема 2. Пусть однородная система уравнений (1) (соответствующая неоднородной системе (8)) не имеет нетривиальных периодических решений с периодом
ω (то есть все ее мультипликаторы отличны от единицы). Тогда система уравнений (8) имеет единственное периодическое решение с периодом
ω .

Доказательство. Любое решение системы уравнений (8) может быть представлено в виде
где Z(t)
— фундаментальная матрица системы уравнений (1). Выберем фундаментальную матрицу Z(t)
так, чтобы было
В этом случае формула (9) примет вид (при t 0
= 0
)
Потребуем, чтобы решение z

(t)
имело период ω:
Оказывается, что если для некоторого решения z

(t)
выполнено условие (12), то оно имеет период ω. В самом деле, z

(t +
ω )
и z

(t)
— два решения системы уравнений (8), удовлетворяющие в силу (12) одному и тому же начальному условию при t = 0
. В силу теоремы единственности эти решения тождественно совпадают, то есть имеет место соотношение (11). Таким образом, условие того, что решение z

(t)
имеет период ω, можно записать в виде (12). В силу формулы (10) соотношение (12) примет вид
По условию теоремы, все мультипликаторы системы (1) отличны от единицы. Поэтому ç
Z(
w
) - E
ç
¹
0
(характеристическое уравнение ç
Z(
w
) - ρE
ç
= 0
не имеет корня ρ = 1
) и система уравнений (13) однозначно разрешима отностильно z 0


. Теорема доказана.
Замечание. В случае, когда однородная система уравнений (1) имеет нетривиальное периодическое решение с периодом ω, линейная неоднородная система уравнений (8) может или вообще не иметь периодических решений с периодом ω (если система уравнений (13) несовместна), или иметь несколько линейно независимых периодических решений с периодом ω (если система уравнений (13) имеет бесконечное множество решений).
1.
d
j

1

= {1;0; …;0}, …,
d
j

n

= {0;0; …;1}.

2.
Любое решение x(t) однородной системы уравнений есть линейная комбинация решений фундаментальной системы решений x 1
(t), …,x n
(t).

3.
Все выводы получаются следующим образом:

из Ż = F(t)Z и Z(t) = Ф(t)e At
следует то, что, подставляя второе выражение в первое, получим

Теперь рассмотрим несколько примеров на применение рассмотренных в докладе теорем и следствий к ним:
Пример 1
: Показать, что линейное уравнение второго порядка
где f
(
t
)
— непрерывная периодическая функция с периодом ω, имеет единственное периодическое решение с периодом ω, если
Сведем дифференциальное уравнение к системе и применемтеорему 2:
2. Для применения теоремы 2 нам необходимо составить матрицу монодромии однородной системы и все собственные значения этой матрицы должны быть отличны от единицы; для начала найдем фундаментальную матрицу для однородной системы,соответствующей неоднородной системе (*):
3. Находим мультипликаторы однородной системы:
все мультипликаторы системы уравнений (**) отличны от единицы.Таким образом, выполнены все условия теоремы 2. Из этого следует, что система (*),а значит и исходное дифференциальное уравнение, имеет единственное периодическое решение с периодом ω.
Пример 2:
Показать, что линейное уравнение второго порядка
при a
≠2
πk
/
ω (
k
Î
R
)
имеет единственное периодическое решение с периодом ω (см. пример 1); при a
=
±
2
π
/
ω
не имеет периодических решений с периодом ω, а при a
=2
πk
/
ω ( k
— любое целое число, не равное ±
1
и 0
) все его решения — периодические с периодом ω.
Очевидно, что здесь необходимо воспользоваться теоремой 2 и замечанием к ней. Решение данного примера необходимо разбить на 3 части (для каждого из условий). Поскольку при нахождении матрицы монодромии в предыдущем примере мы свободный член исходного дифференциального уравнения не использовали и учитывая одинаковые правые части дифференциальных уравнений обоих примеров, можно будет сразу воспользоваться некоторыми выкладками примера 1.
1.[ a
≠2
πk
/
ω (
k
Î
R
)
] Как мы установили в примере 1, любое линейное уравнение вида при указанных ограничениях действительно имеет единственное периодическое решение с периодом ω.
2-3.[ a
=
±
2
π
/
ω
;
a
=2
πk
/
ω ( k
— любое целое число, не равное ±
1
и 0
)]
При данных значениях а
однородная система (**) из 1-го примера имеет нетривиальное периодическое решение с периодом ω, тогда в соответствии с замечанием к теореме 2 линейная неоднородная система уравнений, соответствующая заданному дифференциальному уравнению , может или вообще не иметь периодических решений с периодом ω (для случая 2 необходимо установить несовместность системы уравнений (13)), или иметь несколько периодических решений с периодом ω (для случая 3 необходимо установить, что система уравнений (13) имеет бесконечное множество решений).
Сначала мы будем случаи 2 и 3 рассматривать совместно:
Неоднородная система, соответствующая заданному дифференциальному уравнению:
Далее решать систему будем отдельно для каждого заданного значения а
: если в системе (***) справа будет получена нулевая матрица, то она имеет множество решений, если нет – не имеет их вообще.
2. Подставляем в систему (***) a
=
±
2
π
/
ω
:

3. Подставляем в систему (***) a
=2
πk
/
ω ( k
— любое целое число, не равное ±
1
и 0
) :

Таким образом,система (13') имеет бесконечное множество решений для данных значений а
Þ исходное дифференциальное уравнение имеет несколько линейно независимых периодических решений с периодом ω.
Замечание. Отдельно стоит рассмотреть случай, когда а=0
(этому случаю соответствует k
=0
, если a
=2
πk
/
ω).
Если а=0
, то матрицы, обратной фундаментальной матрице системы (**), не существует, отсюда сразу следует несовместность системы (13'), а значит исходное линейное уравнение второго порядка не имеет периодических решений.

Название: Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 18:51:22 02 сентября 2005 Похожие работы
Просмотров: 1004
Комментариев: 18
Оценило: 4 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
Физкультурный Реферат
Реферат: Товарная политика 6
Дипломная работа по теме Учет производственно-хозяйственной деятельности предприятия
Неисправность Курсовой Устойчивости
Примеры Эссе Магистратура
Доклад по теме Древнеегипетская письменность
Новгородская И Псковская Феодальные Республики Реферат
Контрольная Работа На Тему Издержки И Рентабельность Производства
Класс хрящевые рыбы - Chondrichthyes
Реферат по теме Антигельминтные препараты
Реферат На Тему Бизнес-Планирование В Спорте И Спортивной Индустрии
Реферат На Тему История Науки
Объект Дипломной Работы Пример
Реферат по теме Полимерные материалы, пластмассы
Понятие И Сущность Образования Реферат
Реферат по теме Неметаллические материалы
Доклад: Особенности клиринга и расчетов на фондовом рынке
Кора Больших Полушарий Реферат Физиология
Юридическая Наука В Новое Время Реферат
Реферат по теме Управление проектом 'Расширение производства и внедрение новой технологии выпуска сыра' предприятия 'Молочный комбинат Благовещенский'
Реферат: У колыбели искусства
Реферат: Керамика – один из видов народных художественных промыслов
Доклад: Константинопольская православная церковь