Реферат: Кольца и полукольца частных

👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

В настоящее время теория полуколец активно развивается и находит своё применение в теории автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики.
В работе построены полное и классическое полукольца частных, а так же рассмотрена их связь.
Прежде чем начать рассмотрение этих структур, определим коммутативное полукольцо частных следующим образом.
Непустое множество с определёнными на нём бинарными операциями и называется коммутативным полукольцом, если выполняется следующие аксиомы:
A1. - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом , т.е.
А2. - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1, т.е.
А3. умножение дистрибутивно относительно сложения:
Таким образом, можно сказать, что полукольцо отличается от кольца тем, что аддитивная операция в нём необратима.
Для построения классического полукольца частных можно воспользоваться следующим методом:
Рассмотрим пары неотрицательных целых чисел .
Будем считать пары и эквивалентными, если , получим разбиение множества пар на классы эквивалентности.
Затем введём операции на классах, превращающие множество классов эквивалентных пар в полуполе, которое содержит полукольцо неотрицательных чисел.
Определение 1
.

Элемент назовём мультипликативно сокращаемым, если для из равенства следует, что .
Обозначим через множество всех мультипликативно сокращаемых элементов.
Утверждение 1
.

Мультипликативно сокращаемый элемент является неделителем нуля.
Пусть - делитель нуля, т.е. для некоторого . Тогда , но не является мультипликативно сокращаемым.▲
Пусть - коммутативное полукольцо с возможностью сокращения на элементы из . Рассмотрим множество упорядоченных пар . Введём отношение ~ на

: для всех и .
Предложение 1


.
Отношение ~ является отношением эквивалентности на .
Покажем, что ~ является отношением рефлективности, симметричности и транзитивности.
1.Рефлективность: в силу коммутативности полукольца ;
3.Транзитивность: Таким образом, отношение ~ является отношением эквивалентности на .
Полукольцо разбивается на классы эквивалентности; в каждом классе находятся те элементы, которые находятся в отношении ~. Обозначим класс эквивалентности пары . Введём операции на множестве всех классов эквивалентности:
т.к. для , , выполнено отсюда т.к. получаем и поскольку то следовательно .
Покажем корректность введённых операций:
Теорема 1
.

- коммутативное полукольцо с 1. .
Чтобы доказать, что множество всех классов эквивалентности является коммутативным полукольцом с 1, нужно показать замкнутость на нём операций:
Так как правые части равны, то левые части тоже равны:
Для составляет отдельный класс, играющий в роль нуля.
Из равенства правых частей следует, что
Класс является нейтральным по умножению (единицей полукольца), т.к. , поскольку из равенства тогда .
4. умножение дистрибутивно относительно сложения:
Следовательно, правосторонний дистрибутивный закон выполняется:
Аналогично доказывается левосторонний закон дистрибутивности.
Таким образом, доказано, что является коммутативным полукольцом с 1.
Полукольцо называется классическим полукольцом частных полукольца .▲
Для построения полного полукольца частных можно воспользоваться следующим методом. Рассмотрим дробь как частичный эндоморфизм аддитивной полугруппы неотрицательных целых чисел. Его область определения – идеал , и он переводит в , где . Аналогично, дробь определена на идеале и переводит в . Эти две дроби эквивалентны, т.е. они согласованы на пересечении своих областей определений, равном идеалу , поскольку та и другая дробь переводят в . Отношения определяются как классы эквивалентных дробей. Варьируя этот метод, можно выбрать в каждом классе эквивалентности одну «несократимую» дробь. Рассмотренный выше класс содержит несократимую дробь .
Данный метод можно применить к произвольному коммутативному полукольцу для построения «полного полукольца частных», где в качестве областей определения допускаются лишь идеалы определённого типа – плотные идеалы.
Определение 2
.

Идеал коммутативного полукольца называется плотным, если для и выполняется равенство тогда и только тогда, когда .
Свойства плотных идеалов полукольца :
Пусть для выполнено . Положим , тогда . Таким образом - плотный идеал по определению. ▲
2 0
Если - плотный идеал и , то идеал плотный.
Если - плотный идеал, то для из равенства следует . Пусть для выполнено . Так как по условию возьмём . Тогда т.к. - плотный идеал получаем отсюда . Таким образом - плотный идеал по определению. ▲
3 0
Если и - плотные идеалы, то и - так же плотные идеалы.
Положим для выполняется . Пусть , где , . Элемент т.к. , тогда верно равенство отсюда , т.к. - плотный идеал имеем , , и - плотный, . Таким образом - плотный идеал.
Пусть , тогда по определению идеала: . С другой стороны значит . Тогда по 2 0
- плотный идеал. ▲
4 0
Если , то 0 не является плотным идеалом.
Пусть . Для и выполнено отсюда 0 не является плотным идеалом. ▲
Определение 3
.

Дробью назовём элемент , где - некоторый плотный идеал. ( - сокращение от - гомоморфизм, в данном случае: - гомоморфизм )
Таким образом, - гомоморфизм аддитивных полугрупп, для которого для и .
Введём так же дроби , положив и для .
Сложение и умножение дробей определяются следующим образом:
Покажем, что является идеалом, где т.е. сохраняются операции:
Так как - коммутативное полукольцо, то .
Покажем, что идеал является плотным: надо доказать, что плотный идеал - , т.е. .
По определению сложения и умножения , т.е. содержит плотный идеал значит, по свойству 2 0
идеал является плотным.
Дроби образуют аддитивную коммутативную полугруппу с нулём и полугруппу с единицей. То есть образуют полукольцо.
1. По определению сложения и умножения:
Правосторонняя дистрибутивность аналогично.
Таким образом, дроби образуют полукольцо.
Определение

4


.

Будем писать если и согласованы на пересечении своих областей определений, т.е. для .
Лемма 1.

тогда и только тогда, когда и согласованы на некотором плотном идеале.
Если то и согласованы на . По свойству 3 0
идеал является плотным. Следовательно, и согласованы на плотном идеале.
Обратно, пусть и согласованы на плотном идеале . Тогда если и , то отсюда в силу плотности идеала , для , но это равенство выполняется тогда, когда пересечением областей определений и является отсюда следует, что .▲
Лемма 2.

Отношение является конгруэнцией на системе .
Для того чтобы доказать, что - конгруэнция, нужно показать:
1. отношение - рефлексивно, симметрично, транзитивно.
Рефлективность: и согласованы на плотном идеале .
Симметричность: пусть , т.е. и согласованы на .
Транзитивность: пусть и , т.е. и согласованы на плотном идеале
и согласованы на плотном идеале . Значит и согласованы на идеале , являющемся плотным , и согласована с на , тогда согласована с на плотном идеале по Лемме 1


Таким образом, - отношение эквивалентности.
2. отношение сохраняет полукольцевые операции.
Тогда и определены и согласованы на плотном идеале отсюда по Лемме 1

.
Тогда и определены и согласованы на плотном идеале отсюда по Лемме 1

.▲
Теорема 2
.

Если - коммутативное полукольцо то система так же является коммутативным полукольцом. . (Будем называть полным полукольцом частных полукольца )
- разбивает множество дробей на непересекающихся классов эквивалентности.
По Лемме 2

все тождества выполняющиеся в справедливы и в .
Чтобы убедится, что коммутативное полукольцо остаётся проверить справедливость законов дистрибутивности и коммутативности.
Отображения: и согласованы на идеале покажем, что образы отображений и совпадают на этом идеале:
Областью определения является . По определению идеала: то для , а идеал (свойство 3 0
) то: . Тогда по определению сложения отсюда следует . Покажем . По определению
Таким образом, где . По свойству 3 0
- плотный идеал значит и согласованы на плотном идеале .
Отображения и согласованы на плотном идеале докажем что их образы совпадают на этом идеале: .
Доказано ранее, что пусть элементы тогда
Отсюда следует, что и согласованы на плотном идеале .
Наконец сопоставим дробь: с областью определения при которой переходит в .
Предложение 2


.
Отображение является гомоморфизмом т.е. сохраняет операции:
Нужно показать, что . Покажем равенство образов и .
С другой стороны рассмотрим дроби и , такие что для . (2)
По свойству сложения смежных классов:
Нужно показать, что . Покажем равенство образов и .
С другой стороны рассмотрим дроби и , такие что для . (4)
По свойству умножения смежных классов:
т.е. и согласованы на некотором плотном идеале значит для , так как - плотный идеал, то отсюда - инъективно.
Поэтому, гомоморфизм является мономорфизмом и вкладывается в полное полукольцо частных.
Гомоморфизм будем называть каноническим мономорфизмом в .▲
Определение 5
.

Любому мультипликативно сокращаемому элементу сопоставим плотный идеал . Если , то элемент назовём классической дробью, полагая для .
Теорема 3
.

Множество дробей образует подполукольцо полного полукольца частных, изоморфное классическому полукольцу частных полукольца .
1. Докажем, что - отображение: если и , , где , , то .
Возьмём элемент из пересечения плотных идеалов , т.е. и
Тогда , домножим на получим . Так как и на выполняется коммутативность по умножению, то , отсюда для .
2. Докажем, что является полукольцевым гомоморфизмом, т.е. сохраняются полукольцевые операции.
. Покажем, что дробь согласована с на плотном идеале .
Идеал содержит , покажем, что и согласованы на плотном идеале .
Таким образом - полукольцевой гомоморфизм классического полукольца частных в полное полукольцо частных .
3. Докажем, что - инъективный гомоморфизм.
Пусть для . Предположим, что дроби и согласованы на некотором плотном идеале , т.е. для выполнено . Но , . Тогда . Домножим обе части равенства на получим:
т.к. - плотный идеал , что противоречит условию.
Значит, является инъективным гомоморфизмом или мономорфизмом в .
Так как , то , где - элемент подполукольца полного полукольца частных , т.е. и . Поскольку - инъективный гомоморфизм, то по теореме о гомоморфизме существует изоморфизм отсюда следует .
Мономорфизм называется вложением классического полукольца частных в полное полукольцо частных полукольца .▲
1. Вечтомов, Е. М. Введение в полукольца [Текст] / Е. М. Вечтомов. – Киров.: ВГПУ, 2000.
2. Ламбек, И. Кольца и модули [Текст] / И. Ламбек. – Москва.: Мир, 1971. – 288 с.
3. Чермных, В. В. Полукольца [Текст] / В. В. Чермных. – Киров.: ВГПУ, 1997. – 131 с.

Название: Кольца и полукольца частных
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 06:05:13 25 февраля 2010 Похожие работы
Просмотров: 11
Комментариев: 17
Оценило: 1 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Кольца и полукольца частных
Профессиональный этикет сотрудников ОВД
Реферат по теме Медиальные переломы бедренной кости
Курсовая работа: Вищі державні службовці та політико-адміністративні стосунки
Реферат Водоемы Родного Края
Рефераты И Доклады По Экологии
Реферат: Реформы Петра I 14
Научная Работа На Тему Внешнеэкономические И Некоторые Другие Внешние Связи Санкт-Петербурга
Реферат по теме Эволюция избирательной системы России: взгляд через столетия
Курсовая работа по теме Недостаточность трехстворчатого клапана
Реферат: Энтропия термодинамическая и информационная. Скачать бесплатно и без регистрации
Производственные Структуры Реферат
Реферат по теме Вексель как долговое обязательство
Реферат: Групповая психотерапия
Отчет По Практике На Тему Отчет О Муниципальном Совете Бавлинского Района
Реферат по теме Экономика России в системе международного разделения труда
Реферат по теме Основы программирования и алгоритмические языки
Конструкция Автомобиля Реферат
Дипломная работа по теме Разработка базы данных, создание запросов, создание отчетов
Права И Обязанности Работника И Работодателя Реферат
Реферат: Штурмовик СУ-25. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Масові інфекційні захворювання та отруєння людей
Реферат: Конкордат с нацистской Германией
Доклад: Лёгкая атлетика - королева спорта