Реферат: Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне
⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Санкт-Петербургский Государственный Технологический Институт
Тема: «Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне»
В решении любой прикладной задачи можно выделить три основных этапа:
- построение математической модели исследуемого объекта
- выбор способа и алгоритма решения полученной модели
Цель данной работы – на примере исследования распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне освоить основные методы приближённых вычислений, приобрести практические навыки самостоятельных исследований, существенно опирающихся на использование методов прикладной математики.
2. Обработка результатов эксперимента
2.1 Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.
2.2 Гипотеза об адекватности модели задачи регрессии
3. Нахождение коэффициента теплоотдачи a
3.1 Вычисление интеграла методом трапеций
3.2 Вычисление интеграла методом парабол (Симпсона)
4. Вычисление времени Т 0
установления режима
4.1 Решение уравнения комбинированным методом
4.2 Решение уравнения методом итерраций
5. Решение краевой задачи (метод малого параметра)
В ряде практических задач возникает необходимость исследования распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня, помещённого в высокотемпературный поток жидкости или газа. Это исследование может проводиться либо на основе обработки эксперимента (измерение температуры в различных точках стержня), либо путём анализа соответствующей математической модели.
В настоящей работе используются оба подхода.
Тонкий цилиндрический стержень помещён в тепловой поток с постоянной температурой q, на концах стержня поддерживается постоянная температура q 0
.
Совместим координатную ось абсцисс с продольной осью стержня с началом в середине стержня. Будем рассматривать задачу (распределения температуры по стержню) мосле момента установления режима Т 0
.
Задача сводится к отысканию оценок неизвестных параметров, т.е. коэффициентов a 0
, a 1
и a 2
, например, методом наименьших квадратов.
Вторая математическая модель, также использующая экспериментальные данные, состоит в применении интерполяционных формул и может употребляться, если погрешность измерений температуры Ui пренебрежимо мала, т.е. можно считать, что U(x i
)=U i
где l - коэффициент теплопроводности, a - коэффициент теплоотдачи, D – диаметр стержня, q - температура потока, в который помещён стержень.
на отрезке [-L|/2;L/2], где L – длина стержня, q 0
- постоянная температура, поддерживаемая на концах стержня.
Коэффициент теплопроводности lзависит от температуры:
где l 0
- начальное значение коэффициента теплопроводности, s l
- вспомогательный коэффициент.
за некоторый отрезок времени от 0 до Т, здесь a 0
- значение a при t стремящемся к бесконечности, b – известный коэффициент.
2
. Обработка результатов эксперимента.
2.1 Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.
При построении доверительных интервалов для оценок коэффициентов определяем предварительно точечные оценки.
Где S k
– минор соответствующего диагонального элемента матрицы нормальной системы;
D - главный определитель нормальной системы.
Имеют распределения Стьюдента, а r = 3.
2.2 Проверка статистической гипотезы об адекватности модели задачи регрессии.
Где r 1
= 4 (количество точек – 6, параметра – 2).
Чем лучше функция регрессии описывает эксперимент, тем меньше для неё должна быть оценка дисперсии отдельного измерения Ui, т.к. при плохом выборе функции в дисперсию войдут связанные с этим выбором дополнительные погрешности. Поэтому для того, чтобы сделать выбор между функциями U(x) и U(1)(x) нужно проверить значимость различия между соответствующими оценками дисперсии, т.е. проверить гипотезу:
Т.е. проверить, значимо ли уменьшение дисперсии при увеличении степени многочлена.
имеющую распределение Фишера с(r ; r 1
) степенями свободы.Выбираем уровень распределения Фишера, находим критическое значение F *
a
, удовлетворяющее равенству: p(F>F *
a
)=a
В нашем случае F=349.02, а F *
a
=10,13.
, коэффициенты в котором неодинаковы.
3. Нахождение коэффициента теплопроводности
a
.
Т.е. в качестве предельно допустимой абсолютной погрешности вычисления интеграла I возьмём d=0,001Т (3.4)
Т=218 о
С, следовательно, d=0,218 о
С.
3.1 Вычисление интеграла
I
методом трапеции
Использование теоретической оценки погрешности
, где M 2
=[f”(t)], t e [0;T], f(t)=e -bt3
Далее вычисляем значения f’’(t) при t=t 1
, t=t 2
, t=0 и t=T, получаем:
Итак: M 2
=1,5886 10 -4
, откуда n=25.66; принимаем N=26.
3.2 Вычисление интеграла I
методом парабол
Нахождение М 4
можно провести аналогично нахождению М 2
в предыдущем пункте, но выражение для f IV
(t) имеет довольно громоздкий вид. Поэтому правило Рунге – наиболее простой способ.
Обозначим через I n
и I 2n
значение интеграла I, полученное при разбиении промежутка интегрирования соответственно на n и 2n интервалов. Если выполнено равенство: |I 2n
-I n
| = 15d (*1), то |I-I 2n
|=d
Результаты вычислений сведём в таблицу:
По формуле (3.7) I = 101,61 что в пределах погрешности совпадает со значением, полученным по методу трапеций
4. Вычисление времени Т 0
установления режима
4.1 Решение уравнения комбинированным методом
Время установления режима определяется по формулам (1.6) и (1.7).
Проведём сначала отделение корней. Имеем y = ctg(x) и y = Ax. Приведём уравнение к виду: A x sin(x)-cos(x) = 0. Проведём процесс отделения корня.
Убедимся, что корень действительно существует и является единственным на выбранном интервале изоляции.
f(a) f(b)<0 – условие существования корня выполняется
f’(x) на [a;b] – знакопостоянна: f’(x)>0 – условие единственности также выполняется. Проведём уточнение с погрешностью не превышающей e=10 -4
Строим касательные с того конца, где f(x) f”(x)>0
Результаты вычислений заносим в таблицу:
4.2 Решение уравнения комбинированным методом
Приведём f(x) = 0 к виду x = j(x). Для этого умножим обе части на произвольное число m, неравное нулю, и добавим к обеим частям х:
где М
= max [f’(x)] на [a;b], а m
= min [f’(x)] на [a’b]
В силу монотонности f’(x) на [a;b] имеем m
= f’(а), М
= f’(b). Тогда m = 0,045.
j’(x) на [a’b] монотонно убывает, поэтому максимум его модуля достигается на одном из концов.
j’(0,05) = 0,3322 j’(0,1) = -0,3322, следовательно, q = 0.3322 < 1. В этом случае выполняется условие сходимости и получается последовательность:
Итак, с погрешностью, меньшей 10 -4
, имеем:
где y 0
с тильдой – частное решение данного неоднородного уравнения; y (1)
и y (2)
– линейно независимые решения однородного уравнения.
y 0
общ
= 1 + c 1
ch(px)+c 2
sh(px), где p = 0.01953
откуда с 1
= 0, с 2
= -0,57; т.е. имеем функцию:
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получим:
А 1
= 0; А 2
= -0,1083; В 1
= 0; В 2
= 17,1569;
Тогда общее решение для y 1
имеет вид:
Перейдя к старой переменной U, получим:
Пользуясь этой формулой, составим таблицу значений функции U(x):
Используя данную таблицу, строим график функции U(x).
Решение задачи на ЭВМ при помощи вычислительной системы ManhCad 7.0 дало результаты (функцию распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне), полученные по решению практического задания и обработкой эксперимента (функции регрессии), которые практически (в пределах погрешности) совпадают с экспериментальными значениями.
1. Методические указания «Методы приближённых вычислений. Решение нелинейных уравнений»
2.Методические указания «Приближённые методы ислисления определённых интегралов»
3. Методические указания «Изучение распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне»
Название: Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 08:56:30 04 августа 2005 Похожие работы
Просмотров: 145
Комментариев: 15
Оценило: 5 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно Скачать
Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.
Реферат: Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне
Автореферат На Тему Маркетинг На Ринку Інноваційних Товарів
Темы Эссе По Социологии
Реферат по теме Использование табличного симплекс-метода для решения задач линейного программирования для оптимизации экономических задач
Сколько Слов В Сочинении 9 Класс
Реферат по теме Сопротивление изменениям в системе образования
Реферат: Удивительная мерзлота. Скачать бесплатно и без регистрации
Сочинение На Первое Сентября 1
Сочинение По Картине Аркадия Пластова
Реферат: Исследование способов введения белковых компонентов в синтетический полиизопрен
Реферат: Витамины группы "В". Скачать бесплатно и без регистрации
Каковы Причины Внутреннего Конфликта Сочинение
Реферат Создание Нато
Мен Баланың Шырағын Жағу Үшін Мектептемін Эссе
Реферат: Модель радиотехнической передачи информации. Источник информации
Реферат: Elwyn Brooks White Essay Research Paper Elwyn
Принять Участие В Конкурсе Сочинений
Курсовая работа по теме Управление текучестью кадров на предприятии (на примере ООО 'Cпектр')
Магистерская Работа На Тему Управление Государственным Имуществом Области На Примере Государственного Учреждения "Фонд Имущества Амурской Области"
Доклад: Оценка сложившегося административно-территориального устройства России
Реферат: Колебательные химические реакции - как пример самоорганизации в неживой природе
Сочинение: «Обыкновенная история» И.А.Гончарова
Реферат: Природные ресурсы России
Реферат: Роль водорослей в освоении космоса