Реферат: Иррациональные уравнения
🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
В школьном курсе алгебры рассматриваются различные виды уравнений – линейные, квадратные, биквадратные, кубические, рациональные, с параметрами, иррациональные и другие. Данная курсовая работа посвящена иррациональным уравнениям, методам их решения. Кроме того, в работе введены понятия уравнений следствий и равносильных уравнений, а также приведены примеры задач, математическими моделями которых служат иррациональные уравнения. В данной работе содержится небольшая историческая справка, посвященная введению иррациональных чисел.
Термин «рациональное» (число) происходит от латиноамериканского слова ratio – отношение, которое является переводом греческого слова “логос”в отличие от рациональных чисел, числа, выражающие отношение несоизмеримых величин, были названы еще в древности иррациональными, т.е. нерациональными (по-гречески “алогос”) правда, первоначально термины “рациональный” и “иррациональный” относились не к числам, а к соизмеримым и соответственно не соизмеримым величинам, которые пифагорейцы называли выразимыми и невыразимыми, Теодор Киренский же симметричными и ассимметричными. В V-VI вв. римские авторы Капелла и Кассиодор переводили эти термины на латынь словами rationalis и irrationalis. Термин «соизмеримый» (commensurabilis) ввел в первой половине VI в. другой римский автор- Боэций.
Древнегреческие математики классической эпохи пользовались только рациональными числами (вернее целыми, дробными и положительными). В своих «Началах» Евклид излагает учение об иррациональностях чисто геометрически.
Математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, развивая алгебру, тригонометрию и астрономию, не могли обойтись без иррациональных величин, которые, однако, длительное время не признавали за числа. Греки называли иррациональную величину, например, корень из квадратного числа, «алогос» – невыразимое словами, а позже европейские переводчики с арабского на латынь перевели это слово латинским словом surdus – глухой. В Европе термин surdus- глухой впервые появился в середине XII в. у Герарда Кремонского, известного переводчика математических прозведений с арабского на латынь, затем у итальянского математика Леонардо Фабоначчи и других европейских математиков, вплоть до XVIII в. Правда уже в XVI в. Отдельные ученые, в первую очередь итальянский математик Рафаэль Бомбелли и нидерландский математик Симон Стевин считали понятие иррационального числа равноправным с понятием рационального числа. Стевин писал: «Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью.»
Еще до Бомбелли и Стевина многие ученые стран Среднего Востока в своих трудах употребляли иррациональные числа как полноправные объекты алгебры. Более того, комментируя «Начала» Евклида и исследуя общую теорию отношения Евдокса, Омар Хайям уже в начале XII в. теоретически расширяет понятие числа до положительного действительного числа. В том же направлении много было сделано крупнейшим математиком XIII в. ат-Туси.
Математики и астрономы Ближнего и Среднего Востока вслед за астрономами древнего Вавилона и эллинистической эпохи широко пользовались шестидесятеричными дробями, арифметические действия с которыми они называли «арифметикой астрономов». По аналогии с шестидесятеричными дробями самаркандский ученый XV в. ал-Каши в работе «Ключ арифметики» ввел десятичные дроби которыми он пользовался для повышения точности извлечения корней. Независимо от него по такому же пути шел открывший в 1585 г. десятичные дроби в Европе Симон Стевин, который в своих «приложениях к алгебре» (1594 г.) показал, что десятичные дроби можно использовать для бесконечно близкого приближения к действительному числу. Таким образом, уже в XVI в. зародилась идея о том, что естественным аппаратом для введения и обоснования понятия иррационального числа являются десятичные дроби. Появление «Геометрии» Декарта облегчило понимание связи между измерением любых отрезков (и геометрических величин вообще) и необходимости расширения понятия рационального числа. На числовой оси иррациональные числа, как и рациональные, изображаются точками. Это геометрическое толкование позволило лучше понять природу иррациональных чисел и способствовало их признанию.
В современных учебных руководствах основа определения иррационального числа опирается на идеи ал-Каши, Стевина и Декарта об измерении отрезков и о неограниченном приближении к искомому числу с помощью бесконечных десятичных дробей. Однако обоснованием свойств действительных чисел и полная теория их была разработана лишь в XIX в.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Равносильные уравнения. Следствия уравнений.
При решении уравнений выполняются различные тождественные преобразования над выражениями, входящими в уравнение. При этом исходное уравнение изменяется другими, имеющими те же корни. Такие уравнения называются равносильными.
Определение: Уравнение f(x)=g(x) равносильно уравнению f1(x)=g1(x), если каждый корень первого уравнения является корнем второго и обратно, каждый корень второго уравнения является корнем первого, т.е. их решения совпадают.
Например, уравнения 3x-6=0; 2х–1=3 равносильны, т.к. каждое из уравнений имеет один корень х=2.
Любые два уравнения, имеющие пустое множество корней, считают равносильными.
Тот факт, что уравнения f(x)=g(x) и f1(x)=g1(x) равносильны, обозначают так:
В процессе решения уравнений важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.
Теорема 1: Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак, то получим уравнение, равносильное данному.
Доказательство: Докажем, что уравнение f(x) = g(x)+q(x) (1) равносильно уравнению
Пусть х=а – корень уравнения. Значит имеет место числовое равенство f(a)=g(a)+q(a) . Но тогда по свойству действительных чисел будет выполняться и числовое равенство f(a)-q(a)=g(a) показывающее, что а – корень уравнения (2). Аналогично доказывается, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1).
Теорема 2: Если обе части уравнения умножить или разделить на отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.
Доказательство: докажем, что уравнение 6х–3=0 равносильно уравнению 2х–1=0
решим уравнение 6х–3=0 и уравнение 2х–1=0
так как корни уравнений равны, то уравнения равносильны.
ОДЗ этого уравнения {х ≠ 1, х ≠ -3}
Мы знаем, что дробь равна нулю в том случае, когда ее числитель равен нулю, т.е. х²+х–2=0, а знаменатель не равен 0. Решая уравнение х²+х–2=0, находим корни х1=1, х2 = –2 . Но число 1 не входит в ОДЗ данного уравнения и значит, исходное уравнение имеет один корень х=-2.
В этом случае говорят, что уравнение х²+х–2=0, есть следствие уравнения
Если каждый корень уравнения (3) является корнем уравнения (4), то уравнение (4) называют следствием уравнения (3).
В том случае, когда уравнение (3) - есть также следствие уравнения (4), эти уравнения равносильны.
Два уравнения равносильны в том, и только в том случае, когда каждое из них является следствием другого.
В приведенном выше примере уравнение – следствие х²+х–2=0, имеет два корня x1=1 и х2 =-2, а исходное уравнение имеет один корень х=-2. В этом случае корень х=1 называют посторонним для исходного уравнения
В общем случае корни уравнения-следствия, не являющиеся корнями исходного уравнения, называют посторонними.
Итак, если при решении уравнения происходит переход к уравнению – следствию, то могли появиться посторонние корни. В этом случае все корни уравнения-следствия нужно проверить, подставляя их в исходное уравнение. В некоторых случаях выявление посторонних корней облегчается знанием ОДЗ исходного уравнения – корни, не принадлежащие ОДЗ, можно сразу отбросить. Так, в приведенном примере посторонний корень х=1 не входит в ОДЗ уравнения и потому отброшен.
Иногда посторонние корни могут появиться и при тождественных преобразованиях, если они приводят к изменению ОДЗ уравнения. Например, после приведения подобных членов в левой части уравнения
получим уравнение следствие х²-4=0 имеющее два корня х1 = 2, х2 = -2 корень х2 = -2 – посторонний, так как не входит в ОДЗ исходного уравнения.
В тех случаях, когда в результате преобразований произошел переход от исходного уравнения к уравнению, не являющемуся его следствием, возможна потеря корней.
Например, уравнение (х+1)(х+3)= х+1 (5)
Имеет два корня. Действительно, перенося все члены уравнения в левую часть и вынося х+1 за скобки, получим (х+1)(х+2)=0, откуда находим х1=-1, х2=-2 .
Если же обе части уравнения (5) разделить («сократить») на х+1, то получим уравнение х+3=1, имеющее один корень х=-2. В результате такого преобразования корень х=-1 потерян. Поэтому делить обе части уравнения на выражение, содержащее переменную, можно лишь в том случае, когда это выражение отлично от нуля.
Для того, чтобы в процессе решения уравнения избежать потери корней, необходимо следить за тем, чтобы переход осуществлялся либо к равносильным уравнениям, либо к уравнениям-следствиям.
2.2. Определение иррациональных уравнений.
Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.
3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
3.1. Решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
Проверка: Подставив х=5 в уравнение (1), получим – верное равенство. Подставив х= 4 в уравнение (1), получим – верное равенство. Значит оба найденных
и применим метод возведения в квадрат:
Разделим обе части последнего уравнения почленно на 2:
еще раз применим метод возведения в квадрат:
по теореме, обратной теореме Виета, х1=14, х2 = -1
Проверка: подставив значение х=-14 в уравнение (2), получим–
- не верное равенство. Поэтому х = -14 – не корень уравнения (2).
Подставив значение x=-1 в уравнение (2), получим-
- верное равенство. Поэтому x=-1- корень уравнения (2).
3.2 Метод введения новых переменных.
Конечно, можно решить это уравнение методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Но можно решить и другим способом – методом введения новых переменных.
Введем новую переменную Тогда получим 2y²+y–3=0 – квадратное уравнение относительно переменной y. Найдем его корни:
Т.к. , то – не корень уравнения, т.к. не
может быть отрицательным числом . А - верное равенство, значит x=1- корень уравнения.
Искусственные приёмы решения иррациональных уравнений.
Умножим обе части заданного уравнения на выражение
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом известен. Тогда x1=0.Остаётся решить уравнение:
Сложив уравнения (1) и (2), придём к уравнению
Решая уравнение (3) методом возведения в квадрат, получим:
x1=0, x2=4, x3= -4 подставим в уравнение
- не верное равенство, значит x1=0- не корень уравнения.
- верное равенство, значит x2=4- корень уравнения.
- не верное равенство, значит x3= -4- не корень уравнения.
Итак, уравнения, которые содержат переменную под знаком корня, называются иррациональными. Иррациональные уравнения решаются в основном возведением обеих частей уравнения в квадрат (или n-ую степень) или введением новой переменной. Кроме того, пользуются и искусственными приемами решения иррациональных уравнений.
1) А.Г.Мордкович. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений - Москва: Издательство «Мнемозина», 1999.
2) М.Я.Выгодский. Справочник по элементарной математике - Москва: Издательство «Наука», 1986.
3) А.П.Савин. Энциклопедический словарь юного математика – Москва: Издательство «Педагогика», 1989.
4) А.И.Макушевич. Детская энциклопедия – Москва: Издательство «Педагогика», 1972.
5) Н.Я.Виленкин. Алгебра для 9 класс. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением изучением математики – Москва: Издательство «Просвещение», 1998.
Название: Иррациональные уравнения
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 02:52:28 21 марта 2003 Похожие работы
Просмотров: 7276
Комментариев: 23
Оценило: 20 человек
Средний балл: 3.3
Оценка: 3 Скачать
Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.
Реферат: Иррациональные уравнения
Реферат: Процессоры. Назначение. Основные характеристики
Курсовая Работа На Тему Учет Краткосрочных Кредитов Займов
Сочинение Любовь По Тексту Алексина
Курсовая работа по теме Заимствования в русском языке
Курсовая работа по теме Интервью
Доклад: Национальные особоенности: брэнд для внутреннего употребления
Курсовая работа по теме Виды маркетинга и их сравнительная характеристика
Курсовая работа: Смета затрат на ТО и ТР автомобиля
Реферат: Русско-турецкая война 1787–1791 гг.
Әдеби Эссе Мысал
Реферат по теме Социальная структура общества
Вектора Практическая Работа
Реферат Отчета
Сочинение: Художественное мастерство Чехова-прозаика
Сочинение Эпоха Классицизма Властителям И Судьям
Реферат по теме Культура речи
Реферат: Этическая мысль в Беларуси в эпоху Возрождения. Скачать бесплатно и без регистрации
Гражданское Право Как Отрасль Права Курсовая Работа
Курсовая Экспресс Анализ Финансового Состояния Ооо
Реферат: Judges Essay Research Paper Qualifications for judges
Реферат: Принципы квантовой механики
Реферат: Защитные тактики при конфликтных переговорах с руководством
Сочинение: "В его романах душа человеческая изображается с реальностью, еще небывалой в нашей литературе” (Н.Н. Cтрахов)