Реферат: Интегральные преобразования

💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Операционное исчисление и некоторые его приложения

Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям :
2) Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).
3) Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0³0 такие, что выполняется условие : |f(t)|S 0
интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р
:
Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом.
f(t) ÜF(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу.
Смысл введения интегральных преобразований.

Этот смысл состоит в следующем : с помощью перехода в область изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений.
Теорема единственности
: если две функции j(t) и Y(t) имеют одно и то же изображение F(p), то эти функции тождественно равны.
Смысл теоремы : если при решении задачи мы определим изображение искомой функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы единственности можно утверждать, что найденная функция является решением в области оригинала и причем единственным.
Изображение функций
s
0

(
t
),
sin
(
t
),
cos
(
t
).

Определение: называется единичной функцией.
Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это изображение :
Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t) :
Аналогично можно доказать, что cos (t) переходит в функцию в области преобразований. Откуда :
Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного.

Теорема
: изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные.
Теорема смещения : если функция F(p) это изображение f(t), то F(a+p) является изображением функции e -
a
t
f(t) (4)

Применим оператор Лапласа к левой части равенства (4)
Теорема. Если , то справедливо выражение :
Подставляя (3) в (2) и учитывая третье условие существования функции Лапласа имеем :
Пример
: Решить дифференциальное уравнение :
Предположим, что x
(t) – решение в области оригиналов и , где - решение в области изображений.
Теорема о интегрировании оригинала
. Пусть находится в области оригиналов, , тогда также оригинал, а его изображение .
Таким образом операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления в области изображений.
Теорема о интегрировании изображений
: Пусть – функция оригинал, которая имеет изображение и также оригинал, а - является сходящимся интегралом, тогда .
Толкование теоремы : операция деления на аргумент в области оригиналов соответствует операции интегрирования в пределах от р до ¥ в области изображений.
Понятие о свертке функций. Теорема о свертке.

Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция :
Свертка обозначается следующим образом :
Свертка функции подчиняется переместительному закону.
Теорема о умножении изображений
. Пусть и , тогда произведение изображений представляется сверткой оригиналов .
Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно переменных t и t . Изменим порядок интегрирования. Переменные t и t входят в выражение симметрично. Замена переменной производится эквивалентно.
Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F 2
(p).
Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфроса.
Теорема Эфроса
. Пусть функция находится в области оригиналов, , а Ф
(р) и q
(р) – аналитические функции в области изображений, такие, что , тогда .
В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке, наз. интеграл Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются, тогда
Соотношение (2) применяется при решении дифференциальных уравнений.
- Это прямое преобразование Лапласа.
Обратное преобразование есть возможность получить функцию-оригинал через известную функцию-изображение :
Пользоваться формулой для обратного преобразования можно при определенном виде функции F(p), либо для численного нахождения функции-оригинала по известному изображению.
Известная методика разложения дробно-рациональных функций на сумму элементарных дробей (1)-(4) может быть представлена в виде двух теорем разложения.
Первая теорема разложения
. Пусть F(p) – изображение некоторой функции, тогда эта функция представляется в виде , k – постоянная, может быть сколь угодно большим числом, , то возможен почленный переход в пространство оригиналов с помощью формулы : .
Вторая теорема разложения
. Если изображение представляется дробно-рациональной функцией . Степень числа s меньше степени знаменателя n, знаменатель имеет корни a 1
, a 2
, …, a n
соответствующий кратности k 1
, k 2
, …, k n
, при этом k 1
+ k 2
+…+ k n
= n. В этом случае оригинал функции определяется по формуле :
Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа.

1) f
(
t
)
определена и непрерывна на всем интервале: (-¥ ; ¥ )
3) При M, S 0
>0 , для всех t > 0 выполняется условие |f(t)|0
и преобразование для этой функции существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, что F
(
p
)
не обращается в число справа от мнимой оси.
Функция (6) называется спектральной плотностью
В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности :
2) Использование преобразования Лапласа или Фурье.
Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции.
Функция F
(
iu
)
может быть представлена, как комплексная функция действительной переменной
| F
(
iu
)|
- амплитудное значение спектральной плотности, y (u) – фазовый угол.
В алгебраической форме : F
(
iu
) =
a
(
u
) +
ib
(
u
)

Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл (6), а затем по формулам (8) и (9) определяется амплитудное значение | F
(
iu
)|
и фазовый угол y (u).
Найти спектральную плотность импульса :
Отыскание спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций.
Прямое преобразование Фурье для таких функций не существует, существует преобразование Лагранжа.
Прямое преобразование Фурье необходимо :
1) Для облегчения процесса решения дифференциальных и интегральных уравнений.
2) Для исследования амплитудной и частотной характеристик спектральной плотности, определенной всюду на числовой оси.
Введем следующее определение спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций:
Если для заданной функции y
=
f
(
t
) существует непрерывное изображение по Лапласу F
(
p
),
то спектральной плотностью функции называется изображение функции по Лапласу при p
=
iu
.

Спектральной плотностью F
1

(
iu
)
неабсолютно интегрируемой функции называется предел от спектральной плотности F
2

(
iu
a
)
абсолютно интегрируемой функции.

Название: Интегральные преобразования
Раздел: Рефераты по медицине
Тип: реферат
Добавлен 11:06:51 14 ноября 2010 Похожие работы
Просмотров: 107
Комментариев: 15
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Интегральные преобразования
Денежные Знаки В Разных Странах Реферат
Реферат: Blood Pressure Essay Research Paper Blood pressure
Реферат: Научное познание
Реферат: Пространственные различия в эффективности избирательных компаний на выборах в Законодательное собрание Санкт-Петербурга 3-го созыва
Дипломная работа по теме Психологическое обеспечение оперативно-служебной деятельности сотрудников пограничных органов Федеральной Службы Безопасности Российской Федерации
Курсовая Работа Содержание Образец Xls
Забвению Не Подлежит Сочинение Бородино
Сочинение Анализ Стихотворения Пушкина Няне
Декарт Реферат По Философии
Реферат: Cloning Essay Research Paper Cloning Humans Is
Сочинение по теме Николай Степанович Гумилев и эпоха Серебряного века
Лабораторная Работа На Тему Двумерная Графика Системы Maple
Реферат по теме Текстильное оформление интерьера
Контрольная работа: Подземные воды зоны многолетней мерзлоты и реки
Курсовая работа по теме Учет и оценка основных фондов предприятия
Дипломная работа: Крестовый поход детей. Скачать бесплатно и без регистрации
Пример Эссе По Английскому Егэ 2022
Реферат: Привлечь и удержать! Основы ресторанного маркетинга
Правильные Курсовые Работы Образец Курсовых
Сочинение Ученика Как Я Провел Лето
Доклад: Маслаченко Владимир Никитович
Доклад: Бесконечность в философии
Реферат: Учет начисления налогов и платежей в не бюджетные фонды