Реферат: Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения

🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Определение
1 : Кривая Г называется
гладкой ,если
она имеет непрерывно
изменяющуюся
касательную.
Определение
2 : Кривая называется
кусочно-гладкой
,если она состоит
из конечного
числа гладких
дуг.
Основные
свойства : Пусть
на комплексной
плоскости Z
задана кусочно-гладкая
кривая С длиной
 ,
используя
параметрическое
задание кривой
С зададим  t  и 
(t), где  и  являются
кусочно-гладкими
кривыми от
действительной
переменной
t. Пусть  <=
t<=  причем
 и
 могут
быть бесконечными
числами . 
Пусть 
и  удовлетворяют
условию : [  ‘(t)] 2
+ [  ‘(t)] 2

0. Очевидно,
что задание
координат 
=  t  и   
(t), равносильно
заданию комплексной
функции 
(t)=  (t)
 i  (t).
Пусть
в каждой точке

(t) кривой
С определена
некоторая
функция f
( 
). Разобьем
кривую С на n
– частичных
дуг точками
деления  0
,  1
,  2
, …,  n-1
соответствующие
возрастающим
значениям
параметра t,
т.е. t 0 ,
t 1 ,
…, t
i+1 >
t i .

i = 
i –

i-1 .
Составим
интегрируемую
функцию S
=  f
(  *)  
i .
(1) где
 *–
производная
точки этой
дуги.
Если
при стремлении
max |  
i | 
0 существует
предел частных
сумм не зависящий
ни от способа
разбиения
кривой С на
частичные дуги,
ни от выбора
точек 
i , то этот
предел называется
интегралом
от функции f
( 
) по кривой С.
f
(  i *
) = u
(P i *)
+ iv (P i *)
(3)
где
 
i =
  (t)
 i   (t)
(  (t)
и   (t)
- действительные
числа)
Очевидно,
что (4) состоит
из суммы двух
частных сумм,
криволинейных
интегралов
действительной
переменной.
Переходя в (4)
к пределу при
 
и  
 0
и предполагая,
что данные
пределы существуют,
получаем :
Заметим,
что для существования
криволинейного
интегралов,
входящих в (5),
а тем самым и
для существования
интеграла (2)
достаточно
кусочной
непрерывности
функций u
и v . Это
означает, что
(2) существует
и в случае
неаналитичности
функции f
( 
).
Сформулируем
некоторые
свойства интеграла
от функции
комплексной
переменной.
Из равенства
(5) следуют свойства
:
7.)
Пусть Cp –
окружность
радиуса  ,
с центром в
точке Z 0 .
Обход вокруг
контура Cp
осуществляется
против часовой
стрелки. Cp
: 
= Z 0 +
 e i  ,
0 


2  ,
d 
= i  e i 
d 
.
К усочно-гладкую
замкнутую
кривую будем
называть замкнутым
контуром, а
интеграл по
замкнутому
контуру – контурным
интегралом.
В
качестве
положительного
обхода контура
выберем направление
при котором
внутренняя
область, ограниченная
данным замкнутым
контуром остается
слева от направления
движения :
Д ля
действительной
переменной
имеют место
формулы Грина.
Известно, что
если функции
P(x, y) и Q(x, y)
являются
непрерывными
в некоторой
заданной области
G, ограниченны
кусочно-гладкой
кривой С, а их
частные производные
1-го порядка
непрерывны
в G, то имеет
место формула
Грина:
ТЕОРЕМА
: Пусть в односвязной
области G
задана
аналитическая
функция f(Z),
тогда интеграл
от этой функции
по замкнутому
контуру Г целиком
лежащему в G
, равен нулю.
Доказательство
: из формулы
(5) следует:
Т .к.
f( 
) аналитическая
всюду, то U(x,
y), V(x, y) - непрерывны
в области,
ограниченной
этим контуром
и при этом
выполняются
условия Коши-Римана.
Используя
свойство
криволинейных
интегралов:
По
условию Коши-Римана
в последних
равенствах
скобки равны
нулю, а значит
и оба криволинейных
интеграла равны
нулю. Отсюда
:
ТЕОРЕМА
2 (Вторая формулировка
теоремы Коши)
: Если функция
f(  )
является
аналитической
в односвязной
области G,
ограниченной
кусочно-гладким
контуром
C, и непрерывна
в замкнутой
области G,
то интеграл
от такой функции
по границе С
области G
равен нулю.
TEOPEMA
3 (Расширение
теоремы Коши
на многосвязную
область) :
П усть
f (  )
является
аналитической
функцией в
многосвязной
области G,
ограниченной
извне контуром
С 0 , а изнутри
контурами С 1 ,
С 2 , .. ,С n
(см. рис.). Пусть
f (  )
непрерывна
в замкнутой
области G,
тогда :
, где
С – полная граница
области G,
состоящая
из контуров
С 1 , С 2 , .. , С n .
Причем обход
кривой С осуществляется
в положительном
направлении.
С ледствием
формулы Коши
является следующее
положение :
пусть f(Z)
аналитична
в односвязной
области G,
зафиксируем
в этой области
точку Z 0
и обозначим:
интеграл
по какой-либо
кривой, целиком
лежащей в области
G, содержащей
Z 0 и Z, в силу теории
Коши этот интеграл
не зависит от
выбора кривой
интегрирования
и является
однозначной
функцией Ф(Z).
Аналитическая
функция Ф(Z)
называется
первообразной
от функции f(Z)
в области G,
если в этой
области имеет
место равенство
: Ф 
(Z) = f( Z).
Определение :
Совокупность
всех первообразных
называется
неопределенным
интегралом
от комплексной
функции f(Z).
Так же как и
в случае с функцией
действительного
переменного
имеет место
равенство :
Р анее
была сформулирована
теорема Коши,
которая позволяет
установить
связь между
значениями
аналитической
функции во
внутренних
точках области
ее аналитичности
и граничными
значениями
этой функции.
П усть
функция f(Z)
– аналитическая
функция в односвязной
области G,
ограниченной
контуром С.
Возьмем внутри
этой области
произвольную
точку Z 0
и в области
G вокруг
этой точки
построим замкнутый
контур Г. Рассмотрим
вспомогательную
функцию 
(Z). Эта
функция аналитична
в области G
всюду, кроме
точки Z=Z 0 .
Проведем
контур 
с достаточным
радиусом,
ограничивающий
точку Z 0 ,
тогда функция
будет аналитична
в некоторой
двусвязной
области, заключенной
между контурами
Г и  .
Согласно теореме
Коши имеем :
Т ак
как левый интеграл
в (2) не зависит
от выбора контура
интегрирования,
то и правый
интеграл также
не будет зависеть
от выбора контура.
Выберем в качестве

окружность
 
с радиусом 
. Тогда:
Уравнение
окружности
 
:  = Z 0
+  e i  
(4)
Тогда
т.к. функция
f(  )
аналитична
в точке Z=Z 0
и всюду в области
G, а следовательно
и непрерывна
в G, то для
всех  >0
существует
 >0,
что для всех
 из
 –окрестности
точки Z0 выполняется
| f(  )
– f(Z 0 )
| <  .
Подставив
( 7) в ( 6) с учетом
( 8) получаем :
П одставляя
в ( 5) и выражая
f(Z0) имеем :
Интеграл,
стоящий в (9) в
правой части
выражает значение
аналитической
функции f(  )
в некоторой
точке Z 0
через ее значение
на произвольном
контуре 
, лежащем в области
аналитичности
функции f(  )
и содержащем
точку Z 0
внутри.
Очевидно,
что если бы
функция f(  )
была аналитична
и в точках контура
С, то в качестве
границы 
в формуле (9) можно
было использовать
контур С.
Приведенные
рассуждения
остаются
справедливыми
и в случае
многосвязной
области G.
Следствие
: Интеграл Коши,
целиком принадлежащий
аналитической
области G
имеет смысл
для любого
положения Z 0
на комплексной
плоскости при
условии, что
эта точка есть
внутренней
точкой области
Г. При этом если
Z 0
принадлежит
области с границей
Г, то значение
интеграла равно
(9), а если т.
Z 0
принадлежит
внешней области,
то интеграл
равен нулю :
П ри
Z 0

Г указанный
интеграл не
существует.
Рассматривая
интеграл Коши,
видим, что
подинтегральная
функция зависит
от 2-х комплексных
переменных
: переменной
интегрирования
 и
Z 0 .
Таким образом
интеграл Коши
может быть
рассмотрен
как интеграл,
зависящий от
параметра, в
качестве которого
выбираем точку
Z 0 .
Пусть
задана функция
двух комплексных
переменных
 (Z, 
), причем Z= x + i y в
точке, принадлежащей
некоторой
комплексной
плоскости G.  =
 + i 
 С.
(С - граница G).
Взаимное
расположение
области и кривой
произвольно.
Пусть функция
 (Z, 
) удовлетворяет
условиям : 1) Функция
для всех значений

С является
аналитической
в области G.
2) Функция 
(Z,  )
и ее производная

являются непрерывными
функциями по
совокупности
переменных
Z и 
при произвольном
изменении
области G
и переменных
на кривой С.
Очевидно, что
при сделанных
предположениях
:
И нтеграл
существует
и является
функцией комплексной
переменной.
Справедлива
формула :
Эта
формула устанавливает
возможность
вычисления
производной
от исходного
интеграла путем
дифференцирования
подинтегральной
функции по
параметру.
ТЕОРЕМА.
Пусть f(Z)
является
аналитической
функцией в
области G
и непрерывной
в области G
(G включая граничные
точки ), тогда
во внутренних
точках области
G существует
производная
любого порядка
от функции f(Z)
причем для
ее вычисления
имеет место
формула :
С
помощью формулы
(3) можно получить
производную
любого порядка
от аналитической
функции
f (Z) в любой точке
Z области
ее аналитичности.
Для доказательства
этой теоремы
используется
формула (2) и
соответственные
рассуждения,
которые привели
к ее выводу.
ТЕОРЕМА
МОРЕРА . Пусть
f(Z) непрерывна
в односвязной
области G
и интеграл
от этой функции
по любому замкнутому
контуру, целиком
принадлежащему
G равен
0. Тогда функция
f (Z) является
аналитической
функцией в
области G.
Эта теорема
обобщается
и на случай
многосвязной
области G.

Разложение
функции комплексного
переменного
в ряды.
Если
функция f(x,
y) определена
и непрерывна
вместе с частными
производными
(до n-го порядка
), то существует
разложение
этой функции
в ряд Тейлора
:
Итак,
если задана
функция f (z) комплексного
переменного,
причем f (z) непрерывная
вместе с производными
до n-го порядка,
то:
Формула
(2) записана для
всех Z принадлежащих
некоторому
кругу | Z-Z 0 |

Функция
f (z), которая
может быть
представлена
в виде ряда (2)
является
аналитической
функцией.
Неаналитическая
функция в ряд
Тейлора не
раскладывается.
Применим
разложение
(3) положив, что
Z = i x
и Z= - i x;
Из
(6) и (7) можно выразить
т.н. формулы
Эйлера :
Тогда
из (9) и (10) вытекает
связь между
тригонометрическими
и гиперболическими
косинусами
и синусами:
Пусть
функция f(z) является
аналитической
функцией в
некотором круге
радиусом R, тогда
ее можно разложить
в ряд Тейлора
(2). Получим тот
же ряд другим
путем.
Однозначная
функция f(Z) аналитическая
в круге радиусом
|Z-Z 0 | < R раскладывается
в сходящийся
к ней степенной
ряд по степеням
Z-Z 0 .
Опишем
в круге радиусом
R окружность
r, принадлежащую
кругу с радиусом
R.

Возьмем
в круге радиуса
r точку Z,
а на границе
области точку
 ,
тогда f(z) будет
аналитична
внутри круга
с радиусом r
и на его границе.
Выполняется
условие для
существования
интеграла Коши
:
,
то выражение

можно представить
как сумму бесконечно
убывающей
геометрической
прогрессии
со знаменателем
,
т.е. :
Представим
равномерно
сходящимся
рядом в круге
радиуса r,
умножая (12) на
1/(2  i )
и интегрируя
по L при
фиксированном
Z, получим
: слева интеграл
(13) который равен
f (Z), а справа
будет сумма
интегралов
:
Это
разложение
функции f
(Z) в круге R в ряд
Тейлора. Сравнивая
(14) с рядом (2) находим,
что


(15)
Если
однозначная
функция f(Z)
аналитична
вне круга с
радиусом r с
центром в точке
Z 0 для всех Z
выполняется
неравенство
r < |Z-Z 0 |, то она
представляется
рядом :
где
h - ориентированная
против часовой
стрелки
окружность
радиуса r
(сколь угодно
большое число).
Если обозначить

(17) , получим :
Если
однозначная
функция f(Z)
аналитическая
в кольце Z< |Z-Z 0
| 
Z 
, то она раскладывается
в сходящийся
степенной ряд
:
f 1
и f 2
можно представить
в виде двух
рядов :
Ряд
(19) – ряд Лорана,
при этом ряд
(20) сходится в
круге радиуса
R, ряд (21) сходится
вне круга радиуса
R функции
f 2 (Z). Общая область
сходимости
ряда – кольцо
между r и R.
Ряд
Тейлора – частный
случай ряда
Лорана при
отсутствии
главной его
части.

Классификация
изолированных
особых точек.
Вычеты.
Определение
1. Особой точкой
функции f(Z) определенной
в области (замкнутой)
G, ограниченной
Жордановой
кривой, называется
точка Z=Z 0 
G в которой
аналитичность
функции f1(Z) нарушается.
Рабочая точка
Z=Z 0 функции
f(Z), ограниченной
в круге |Z-Z0| 0.
В зависимости
от поведения
функции f(Z)
в окрестности
изолированных
особых точек
последние
классифицируются
на :
Устранимые
особые точки.
Ими называются
особые точки,
для которых
существует
,
где А – конечное
число.
Если
для особой
точки существует
предел
,
то такая особая
точка называется
полюсом.
Если

не существует,
то точка Z=Z 0
называется
существенной
особой точкой.
Если
С - n =0,
то особая
точка есть
устранимая
особая точка.
Пусть
f(Z 0 )=C 0
и C -n для
всех n=1,2,3,..,m отличного
от 0, а для всех
n  m+1
C -n =0, тогда
Z=Z 0 будет
являться полюсом
порядка m.
При
m>1 такой полюс
будет называться
простым.
,
если m 
, то в этом случае
в точке Z=Z 0
имеем существенную
особенность.
Определение
2. Вычетом функции
f(Z) в круге
|Z-Z 0 |
, где L – ориентированный
против часовой
стрелки контур
целиком расположенный
в круге радиуса
R, содержащем
Z 0 .
Вычет существует
только для
изолированных
особых точек.
Очевидно, что
вычет функции
f(z) при Z=Z 0
равен первому
коэффициенту
ряда главной
части Лорана
:

Если
полюс имеет
кратность m

1, то для
определения
вычетов используется
формула :
Пусть
f(z) аналитическая
в области G
кроме конечного
числа полюсов
Z = a 1 ,
a 2 ,
…, a k .

–произвольный,
кусочно-гладкий
замкнутый
контур содержащий
внутри себя
эти точки и
целиком лежащий
внутри области
G. В этом
случае интеграл
равен
сумме вычетов
относительно
a 1 ,
a 2 ,
…, a k
и т.д. умноженный
на 2  i
:
Определим
порядок полюсов
– все полюсы
первого порядка.
Операционное
исчисление
и некоторые
его приложения.

Пусть задана
функция действительного
переменного
t, которая
удовлетворяет
условиям :

Функция f(t)
кусочно-непрерывная
(имеет конечное
число точек
разрыва первого
рода).

Для любого
значения параметра
t>0 существует
M>0 и S0  0
такие, что
выполняется
условие : |f(t)| S 0 t



Рассмотрим
функцию f(t)  e -pt
, где р – комплексное
число р = ( а +
i b).

Применим к
этому соотношению
формулу Эйлера
:

Проинтегрировав
это равенство
получим :

А согласно
свойству (3) |f(t)|
< Me S 0 t

Аналогично
можно доказать,
что существует
и сходится
второй интеграл
в равенстве
(2).

Таким образом
при a>S 0
интеграл, стоящий
в левой части
равенства (2)
также существует
и сходится.
Этот интеграл
определяет
собой функцию
от комплексного
параметра р
:


Функция F(p)
называется
изображением
функции f(t)
по Лапласу,
а функция f(t)
по отношению
к F(p) называется
оригиналом.

f(t) 
F(p), где F(p) – изображение
функции f(t)
по Лапласу.
Смысл
введения интегральных
преобразований.

Этот смысл
состоит в следующем
: с помощью перехода
в область изображения
удается упростить
решение многих
задач, в частности
свести задачу
решения многих
задач дифференциального,
интегрального
и интегро-дифференциального
уравнения к
решению алгебраических
уравнений.

Теорема единственности :
если две функции

t  и    t 
имеют одно и
то же изображение
F(p), то эти
функции тождественно
равны.

Смысл теоремы
: если при решении
задачи мы определим
изображение
искомой функции,
а затем по
изображению
нашли оригинал,
то на основании
теоремы единственности
можно утверждать,
что найденная
функция является
решением в
области оригинала
и причем единственным.

Изображение
функций  0 (t),
sin (t), cos (t).

Определение:


называется
единичной
функцией.


Единичная
функция удовлетворяет
требованиям,
которые должны
быть наложены
на функцию для
существования
изображения
по Лапласу.
Найдем это
изображение
:

Рассуждая
аналогичным
образом получим
изображение
для функции
sin(t) :

Аналогично
можно доказать,
что cos (t) переходит
в функцию
в
области преобразований.
Откуда :

Изображение
функции с измененным
масштабом
независимого
переменного.

Теорема :
изображение
суммы нескольких
функций умноженное
на постоянные
равны сумме
изображений
этих функций
умноженных
на те же постоянные.

Теорема смещения
: если функция
F(p) это изображение
f(t), то F(  +p)
является
изображением
функции e -  t
f(t) (4)

Применим оператор
Лапласа к левой
части равенства
(4)

Теорема. Если
,
то справедливо
выражение :

Подставляя
(3) в (2) и учитывая
третье условие
существования
функции Лапласа
имеем :

Пример : Решить
дифференциальное
уравнение :

Предположим,
что x (t)
– решение в
области оригиналов
и
,
где
-
решение в области
изображений.

Теорема о
интегрировании
оригинала .
Пусть

находится в
области оригиналов,
,
тогда
также
оригинал, а его
изображение
.

Таким образом
операции
интегрирования
в области оригиналов
соответствует
операция деления
в области
изображений.

Теорема о
интегрировании
изображений
: Пусть

– функция
оригинал, которая
имеет изображение
и

также оригинал,
а
-
является сходящимся
интегралом,
тогда
.

Толкование
теоремы : операция
деления на
аргумент в
области оригиналов
соответствует
операции
интегрирования
в пределах от
р до 
в области
изображений.
Понятие
о свертке функций.
Теорема о свертке.

Пусть заданы
две функции
a(t) и b(t),
удовлетворяющие
условиям
существования
изображения
по Лапласу,
тогда сверткой
таких функций
называется
следующая
функция :

Свертка обозначается
следующим
образом :

Свертка функции
подчиняется
переместительному
закону.

Теорема о
умножении
изображений .
Пусть
и
,
тогда произведение
изображений

представляется
сверткой оригиналов
.

Интеграл (1)
представляет
собой повторный
интеграл относительно
переменных
t и 
. Изменим порядок
интегрирования.
Переменные
t и 
входят в выражение
симметрично.
Замена переменной
производится
эквивалентно.

Если в последнем
интеграле
сделать замену
переменной,
то после преобразований
последний
интеграл
преобразуется
в функцию F 2 (p).

Операция умножения
двух функций
в пространстве
изображений
соответствует
операции свертки
их оригиналов
в области оригиналов.
Обобщением
теоремы о свертке
есть теорема
Эфроса.


Теорема Эфроса .
Пусть функция

находится в
области оригиналов,
,
а Ф (р) и q (р)
– аналитические
функции в области
изображений,
такие, что
,
тогда
.

В практических
вычислениях
важную роль
играет следствие
из теоремы о
свертке, наз.
интеграл Дюамеля.
Пусть все условия
теоремы выполняются,
тогда

Соотношение
(2) применяется
при решении
дифференциальных
уравнений.

Обратное
преобразование
есть возможность
получить
функцию-оригинал
через известную
функцию-изображение
:

Пользоваться
формулой для
обратного
преобразования
можно при
определенном
виде функции
F(p), либо для
численного
нахождения
функции-оригинала
по известному
изображению.

Известная
методика разложения
дробно-рациональных
функций на
сумму элементарных
дробей (1)-(4) может
быть представлена
в виде двух
теорем разложения.

Первая теорема
разложения .
Пусть F(p) –
изображение
некоторой
функции, тогда
эта функция
представляется
в виде
,
k – постоянная,
может быть
сколь угодно
большим числом,
,
то возможен
почленный
переход в
пространство
оригиналов
с помощью формулы
:
.

Вторая теорема
разложения .
Если изображение
представляется
дробно-рациональной
функцией
.
Степень числа
s меньше
степени знаменателя
n, знаменатель
имеет корни
 1 ,
 2 ,
…, 
n
соответствующий
кратности k 1 ,
k 2 , …,
k n ,
при этом k 1 +
k 2 +…+
k n =
n. В этом случае
оригинал функции
определяется
по формуле :
Связь
между преобразованиями
Фурье и Лапласа.

f(t) определена
и непрерывна
на всем интервале:
(-  ;

)

При M,
S 0 >0
, для всех t
> 0 выполняется
условие |f(t)| S 0 t

Если отказаться
от условий 2 и
3, и считать, что
f(t) принимает
произвольное
значение при
t < 0, то вместо
(1) можно рассмотреть
следующий
интеграл :

Формула (2) –
двустороннее
преобразование
Лапласа.

Пусть в (1) и (2)
p =a + in ,
где a
и n
– действительные
числа.

Предположим,
что Re (p)
= a = 0, т.е.

и (5) соответственно
односторонние
и двусторонние
преобразования
Фурье.

Для существования
преобразования
Фурье, функция
должна удовлетворять
условиям :

Должна быть
определена
на промежутке
(-  ;

) , непрерывна
всюду, за исключением
конечного
числа точек
разрыва первого
рода.

Любой конечный
промежуток
оси t можно
разделить на
конечное число
промежутков,
в каждом из
которых функция
либо кусочно-гладкая,
либо кусочно-монотонная.

Функция абсолютно
интегрируема
:
,
это условие
выполняется,
если |f(t)| S 0 t

Из существования
преобразования
Лапласа не
следует преобразование
Фурье. Преобразования
Фурье существуют
для более узкого
класса функций.
Преобразования
Фурье не существуют
для постоянной
и ограниченной
функции : f(t)
= C

Аналогично
преобразования
Фурье не существуют
и для гармоничных
функций :

Если f(t)
= 0 при t>0
и преобразование
для этой функции
существует,
то оно может
быть получено
из таблицы
оригиналов
и изображений
для преобразования
Лапласа путем
замены параметра
t на iu,
но при этом
необходимо
убедиться, что
F(p) не
обращается
в число справа
от мнимой оси.

Функция (6) называется
спектральной
плотностью

В связи с изложенным
можно указать
два пути отыскания
спектральной
плотности :

Использование
преобразования
Лапласа или
Фурье.
Непосредственное
вычисление
спектральной
плотности для
абсолютно
интегрируемой
функции.

Функция F(iu)
может быть
представлена,
как комплексная
функция действительной
переменной

| F(iu)| -
амплитудное
значение спектральной
плотности, 
(u) – фазовый
угол.

В алгебраической
форме : F(iu) =
a(u) +ib(u)

Для непосредственного
вычисления
спектральной
плотности
вычисляется
интеграл (6), а
затем по формулам
(8) и (9) определяется
амплитудное
значение | F(iu)|
и фазовый угол

(u).

Найти спектральную
плотность
импульса :
Отыскание
спектральной
плотности для
неабсолютно
интегрируемых
функций.

Прямое преобразование
Фурье для таких
функций не
существует,
существует
преобразование
Лагранжа.

Прямое преобразование
Фурье необходимо
:

Для облегчения
процесса решения
дифференциальных
и интегральных
уравнений.

Для исследования
амплитудной
и частотной
характеристик
спектральной
плотности,
определенной
всюду на числовой
оси.

Введем следующее
определение
спектральной
плотности для
неабсолютно
интегрируемых
функций:


Если для заданной
функции y=f(t )
существует
непрерывное
изображение
по Лапласу
F(p ), то
спектральной
плотностью
функции называется
изображение
функции по
Лапласу при
p = iu .

Спектральной
плотностью
F 1 (iu)
неабсолютно
интегрируемой
функции называется
предел от
спектральной
плотности
F 2 (iu  )
абсолютно
интегрируемой
функции.

Название: Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 03:36:20 13 июля 2005 Похожие работы
Просмотров: 650
Комментариев: 15
Оценило: 5 человек
Средний балл: 4.4
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения
Курсовая работа по теме Проект абсорбционной установки с клапанными тарелками для поглощения паров из газовой смеси ацетилен-воздух при давлении 0,1 МПа
Дипломная работа по теме Анализ подачи новой информации в тексте на примере романа Айрис Мердок "Под сетью"
Реферат по теме Первые четыре Государственные Думы
Учебное пособие: Правила игры в футбол в вопросах и ответах
Теория Инвестиции Курсовая
Курсовая работа по теме Вербалізація образу України
Доклад по теме Музичний керівник: нова формація
Отчет По Практике Крс
Курсовая работа по теме Измеримые множества
Контрольная Работа По Функциям 10 11 Класс
Задача На Тему Термодинамика
Реферат: Методы в возрастной психологии
Сочинение На Тему Моя Любимая Мама
Реферат: Социальные институты и их функции
Реферат: The Tragedy Of Hamlet 3 Essay Research
Реферат: Социология знания и современное Общество знания
Реферат: Специфика дальневосточных транспортных узлов на примере портов Восточного и Владивостока
Курсовая работа по теме Экстремальный досуг как сфера самореализации молодежи
Реферат: на тему «Борьба добра и зла в героях романа М. А. Булгакова «Мастер и Маргарита»
Реферат: Потенциал лесопромышленного комплекса России
Реферат: Глобальные проблемы человечества
Реферат: Порівняльна характеристика система освіти України та Південної Кореї \укр\
Реферат: Особенности организации работы ресторанов в предприятиях гостиничного хозяйства