Реферат: Интеграл Пуассона

💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Пусть ¦( x
) , g
( x
), x
ÎR 1
–суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f
*
g(x)
будем обозначать свертку
Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p]и
c n
( f*g ) = c n
( f )× c n
( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , ... ( 1 )
где {c n
( f )} -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :
Пусть ¦ÎL 1
(-p,p) . Рассмотрим при 0£r <1 функцию
¦ r
( x ) = n
( f ) r |
n
|
e i n x
, x Î[-p,p] , ( 2 )
где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0£r <1 . Коэффициенты Фурье функции ¦ r
(х)равны
c n
( f r
) = c n
× r |
n
|
, n = 0 , ±1,±2,¼, а это согласно (1) значит, что ¦ r
( x ) можно представить в виде свертки :
Функция двух переменных Р r
(t) , 0 £r<1 , t Î[-p,p] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .
P r
( t ) = , 0£r <1, t Î[-p,p] . ( 5 )
Если ¦Î L 1
( -p,p ) -действительная функция , то , учитывая , что
c -n
( f ) = `c n
( f ) , n = 0,±1,±2,¼,из соотношения (2) мы получим :
F ( z ) = c 0
( f ) + 2 ( z = re ix
) ( 7 )
- аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦ÎL 1
( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция
u ( z ) = ¦ r
(e ix
) , z = re ix
, 0 £ r <1 , x Î [ -p, p ] .
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой
Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге |z |<1+e(e>0)функция и ¦ (x) = u (e ix
) , xÎ[-p, p] . Тогда
u (z) = ( z = re ix
, | z |<1 ) ( 10 ).
Так как ядро Пуассона P r
(t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:
и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).
Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦ r
( x
) при r®1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:
Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ¦(х)º1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство
если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона
Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим
Для данного e>0 найдем d = d (e) такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку
Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства
Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
Пусть функция суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции называется функция
где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.
Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0
Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда
где С - абсолютная константа , а M ( f, x )
- максимальная функция для f (x)
[*]
. Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку
Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора , найдем такую последовательность функций ,что
Учитывая , что по теореме 1 для каждого xÎ [-p,p] и (14)
Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ [-p,p] , когда точка re it
стремится к e ix
по некасательному к окружности пути.
[*]
Мы считаем , что f (x)
продолжена с сохранением периодичности на отрезок [-2p,2p] (т.е. f (x) = f (y)
, если x,y
Î [-2p,2p] и x-y=2
p
) и f (x) = 0
, если | x
|>2p.

Название: Интеграл Пуассона
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 07:01:44 09 сентября 2005 Похожие работы
Просмотров: 95
Комментариев: 17
Оценило: 4 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Интеграл Пуассона
Контрольная работа: Балансовая стоимость
Курсовая Работа На Тему Роль Финансов В Развитии Международных Экономических Отношений
Реферат: Внутренний водопровод и канализация жилого дома. Скачать бесплатно и без регистрации
Дневник Практики Студента Связиста
Курсовая Работа На Тему Антимонопольная Политика Государства
Современные Психологические Технологии В Образовании Эссе
Реферат по теме Вандея
Реферат: Малые дозы ионизирующего излучения и их воздействие на организм человека
Пример Эссе Айлтс
Реферат По Истории Путь Наполеона Бонапарта
Сочинение На Татарском Языке Про Дружбу
Реферат На Тему Философия Политики В Системе Политических Наук
Курсовая работа по теме Дослідження лексико-семантичної групи слів на позначення музичних інструментів в англійській та українській мовах
Реферат по теме Судебная реформа в РФ
Расшифровка Направлений Итогового Сочинения
Контрольная работа по теме Эффективность хозяйственной деятельности предприятия
Спотлайт 8 Класс Контрольные Работы Ответы
Реферат: Hamlet Essay Research Paper William Shakespeare 15641616
Скачать Диссертация По Адаптации Школьников К Учебе
Дипломная работа: Алиментные обязательства родителей и детей в российском и международном праве
Реферат: Основы психологии семейной жизни
Реферат: Понятие обязательства
Доклад: Получено потомство