Реферат: Геометрия в пространстве

💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул. Раздел геометрии, в котором изучаются такие задачи, называется стереометрией (от греческого «стереос»- объемный, пространственный).
Может показаться парадоксальным, но фактически понятие «плоскость» в планиметрии- геометрии на плоскости - не нужно. Ведь если мы, например, говорим, что в плоскости многоугольника дана точка, мы тем самым подразумеваем, что такие точки существуют и вне этой плоскости. В планиметрии такое предположение излишние: все происходит в одной и той же единственной плоскости. В стереометрии нам приходится иметь дело уже с несколькими плоскостями. В каждой из них сохраняют свою силу все известные из планиметрии определения и теоремы, относящиеся к точкам, прямым, расстояниям и т.д., но свойства самих плоскостей необходимо описывать отдельно.

I.
Основные аксиомы стереометрии--------------- 4
II
. Прямые, плоскости, параллельность------------ 6

III
. Изображение пространственных фигур------ 7
IV
. Перпендикулярность. Углы. Расстояния----- 12
V
. Несколько задач на построение, воображение, изображение и соображение------------------------ 17

Итак, в стереометрии к основным понятиям планиметрии добавляется еще одно - плоскость, а вместе с ним - аксиомы, регулирующие «взаимоотношения» плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три.
Первая- аксиома выхода в пространство
- придает «театру геометрических действий» новое, третье измерение:
· Имеется четыре точки, не лежащие в одной плоскости (рис. 1)

· Через любые три точки проходит плоскость.

С третьей аксиомой мы сталкиваемся, когда складываем фигурки из бумаги: все знают, что, образующиеся при этом линии сгиба - прямые.
Аксиома пересечения плоскостей
звучит так:
Действительно, если через какие- то три точки проходят две разные плоскости, то через эти точки можно провести прямую, а именно прямую, по которой плоскости пересекаются. Отметим, что последнее свойство само нередко включается в аксиомы.

Третья аксиома играет очень существенную и неочевидную с первого взгляда роль в стереометрии: она делает пространство в точности трехмерным, потому что в пространствах размерности четыре и выше плоскости могут пересекаться по одной точке. К трем указанным так же присоединяются планометрические аксиомы, переосмысленные и подправленные с учетом того, что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями. Например, аксиому прямой - через две различные точки можно провести одну и только одну прямую - переносят в стереометрию дословно, но только она уже распространяется на две точки пространства.

В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное следствие: прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в этой плоскости.

Путем несложных доказательств мы находим, что:

· На каждой плоскости выполняются все утвержде-ния планиметрии.


II


. Прямые, плоскости, параллельность.



Уже такое основное понятие, как параллель­ность прямых, нуждается в новом определении:

две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадай­тесь в одну из излюбленных экзаменаторами ловушек — не пытайтесь «доказывать», что через две параллельные прямые можно про­вести плоскость: это верно по определению параллельности прямых! Знаменитую плани­метрическую аксиому о единственности парал­лельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её помощью доказывают главное свойство параллельных прямых в пространстве:
· Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую параллельно данной.

Сохраняется и другое важное свойство па­раллельных прямых, называемое транзитив­ностью параллельности:
· Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они параллель­ны друг другу.


Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости непараллельные прямые обязаны пересекаться и потому не могут быть одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В про­странстве существуют непараллельные и при­том непересекающиеся прямые — если они лежат в разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они скрещиваются.

· Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны между собой.

· Если прямая и плоскость параллельны некоторой прямой( или плоскости), то они параллельны друг другу.

Наиболее важный частный случай второй теоремы- признак параллельности прямой и плоскости:
· Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой прямой в этой плоскости.

А вот признак параллельности плоскостей:
· Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то и плоскости параллельны.

Часто используется и такая простая теорема:
· Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются третьей, параллельны друг другу.

Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака параллельности прямой и плоскости следует, например, что прямая А¹В¹ параллельна плоскости АВСD (так как она параллельна прямой АВ в этой плоскости), а противоположные грани куба, в частности А¹В¹С¹D¹ и ABCD, параллельны по признаку параллельности плоскостей: прямые A¹B¹ и B¹С¹ в одной грани соответственно параллельны прямым АВ и ВС в другой. И чуть менее простой пример. Плоскость, содержащая параллельные прямые AA¹ и СС¹, пересекают параллельные плоскости АВСD и A¹B¹C¹D¹ по прямым АС и А¹С¹, значит, эти прямые параллельны: аналогично, параллельные прямые В¹С и А¹D. Следовательно, параллельные плоскости АВ¹С и А¹DC, пересекающие куб по треугольникам.
III

. Изображение пространственных фигур.


Есть такой афоризм «Геометрия — это искус­ство правильно рассуждать на неправильном чертеже». Действительно, если вернуться к из­ложенным выше рассуждениям, то окажется:
единственная польза, которую мы извлекли из сопровождавшего их рисунка куба, состоит в том, что он сэкономил нам место на объясне­нии обозначений. С тем же успехом можно было изобразить его, как тело на рис. 4, я, хотя, очевидно, представленное на нём «нечто» не только не куб, но и не многогранник. И всё же в приведённом афоризме заключена лишь часть правды. Ведь прежде, чем «рассуждать» — излагать готовое доказательство, надо его при­думать. А для этого нужно ясно представлять себе заданную фигуру, соотношения между её элементами. Выработать такое представление помогает хороший чертёж. Более того, как мы увидим, в стереометрии удачный чертёж мо­жет стать не просто иллюстрацией, а основой решения задачи.
Выберем плоскость а и пересекающую её прямую
l
. Проведём через точку Х прямую, па­раллельную
l
. Точка X', в которой эта прямая встречается с а, и есть параллельная проекция Х на плоскость, а вдоль прямой
l
(рис. 7). Про­екция фигуры состоит из проекций всех её точек. В геометрии под

В частности, изображение прямой линии — это прямая линия или (в исключительном слу­чае, когда прямая параллельна направлению проекции) точка. На изображении параллель­ные прямые так и остаются параллельными, сохраняется здесь и отношение длин парал­лельных отрезков, хотя сами длины и изменя­ются. Всё вышесказанное можно уложить в одну короткую формулировку основного свой­ства параллельной проекции:

· Если АВ =
k
CD, а
A¹,
B¹,
C¹ и
D¹- проекции точек
A,
B,
C и
D, то
A¹
B¹=
k
C¹
D¹.

Черта здесь означает направленные отрезки (векторы), а равенство — совпадение не толь­ко длин, но и направлений (рис. 7). Таким об­разом, если задать изображения точек А и В, то будут однозначно определены и изображения всех точек Х прямой АВ, поскольку множитель
k
в равенстве
AX
=
kAB
на параллельной про­екции и оригинале одинаков. Аналогично, по изображениям трёх точек, не лежащих на од­ной прямой, однозначно восстанавливаются изображения всех точек проходящей через них плоскости, а задав изображения четырёх точек, не находящихся в одной плоскости, мы предопределяем изображения всех точек про­странства.

В то же время изображением данной трой­ки точек, т. е. треугольника, может служить тре­угольник любой заданной формы. В этом легко убедиться: проведём через сторону Поданного треугольника

Правильно выбранное изображение помо­гает решать задачи. Найдём, например, отно­шения, в которых треугольное сечение A¹BD нашего куба (рис. 9, а) делит отрезок, соединяющий середины Р и Q рёбер AD и В¹С¹. По­смотрим на куб со стороны бокового ребра ВВ¹, а точнее говоря, спроектируем куб вдоль прямой BD па плоскость АА¹С¹С. Понятно,чтопроекцией будет сам прямоугольник АА¹С¹С с проведённым в нём отрезком, соединяющим середины оснований (точки В и D совпадут;
Ещё эффектнее решения планиметриче­ских задач, которые получают, «выходя в про­странство», т. е. представляя данную плоскую фигуру в виде изображения некоего пространственного объекта. Вот одна из таких задач, требуется построить треугольник с вершина­ми на трёх данных лучах ОА, 0В и ОС с общим началом О так, чтобы его стороны проходили через три данные внутри углов АОВ, ВОСк СОАточки Р, Q и
R
.

До сих пор мы, по существу, нигде не пользовались такими важными геометрическими понятиями, как расстояния и углы. Даже в нашем кубе нам достаточно было только того, что его грани- параллелограммы, равенства всех их сторон и углов на самом деле не требовалось. Чтобы иметь возможность изучать свойства куба и других пространственных фигур во всей полноте, нужны соответствующие определения. Прежде всего, расширим понятие перпендикулярности, известное из планиметрии.
Если прямая пересекает плоскость в этой плоскости, проходящей через точку Р, то говорят , что данные прямая и плоскость перпендикулярны.
Например, ясно, что ребро АА¹ нашего куба перпендикулярно основанию АВСD. Но как проверить, что это ребро действительно перпендикулярно любой прямой, лежащей в основе и проходящей через А? Оказывается, достаточно того, что АА¹ составляет прямые углы с двумя из них – АВ и АD: согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости,
· Если прямая
l перпендикулярна двум пересекающимся прямым
a и
b, то она перпендикулярна плоскости, содержащей
a и
b.

Причём здесь не обязательно предполагать, что прямые a и b пересекают l: считают, что скрещивающиеся прямые перпендикулярны, если перпендикулярны параллельные им пря­мые, проходящие через произвольно взятую точку, в частности через точку пересечения l с плоскостью. Так что теперь можно сказать, что прямая, перпендикулярная плоскости, перпен­дикулярна любой лежащей в этой плоскости прямой. Справедлива такая теорема:
· Через данную точку в пространстве можно провести одну и только одну плоскость, перпендикулярную дан­ной прямой, а также одну и только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости.

Параллельная проекция на плоскость вдоль перпендикулярной ей прямой называется ортогональной (т. е. прямоугольной) проекцией на данную плоскость. Обычно, когда говорят просто «проекция», имеют в виду именно ор­тогональную проекцию. Она обладает всеми общими свойствами параллельной проекции. Но у неё есть и специфические свойства, их можно использовать при решении задач о расстояниях и углах в пространстве.

Из признака перпендикулярности прямой и плоскости выводится очень простая, но важная теорема о трёх перпендикулярах (рис. 11):
Наклонной к плоскости называют любую пересекающую её, но не перпендикулярную ей прямую. Оба условия в этой теореме равно­сильны тому, что плоскость, содержащая а и а', перпендикулярна прямой /.

Найдём, например, угол между диагоналями А¹В и В¹С граней нашего куба (рис. 14). Заме­ним прямую В¹С на параллельную ей диагональ
A
¹
D
противоположной грани; искомый угол равен углу
BA
¹
D
, т. е. 60° (треугольник
BA
¹
D
равносторонний). Угол между диагональю АС¹ и основанием куба равен углу САС¹ между прл* мой ас¹ и её проекцией АС на основание, т.е.
arctg
(
C
¹
C
/
AC
) =
arctg
(1/√2]. А угол между пло­скостями
BDA
¹ и
BDC
¹ (рис. 14) равен углу А¹МС¹, где М — середина
BD
, так как прямые МА¹ и МС¹ лежат в этих плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения BD (несложное вычисление даёт
arccos
(1/3)).

Расстоянием между двумя любыми фигура­ми называют наименьшую длину отрезка, концы которого принадлежат данным фигу­рам. Значит, расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенно­го из точки на плоскость, — он короче любой наклонной, так как гипотенуза прямоугольно­го треугольника короче катета. Расстояние между параллельными плоскостями, очевидно, равно расстоянию от любой точки в одной из них до другой плоскости (рис. 15, а).

Более интересен вопрос о расстоянии между двумя скрещивающимися прямыми а и b. Проведём через прямую а плоскость α, параллельную прямой b (рис. 15, б), найдем точку пересечения А ортогональной проекции b¹ прямой b на α и точку В прямой b, которая проектируется в точку А. Отрезок АВ перпендикулярен плоскости а и потому является общим перпендикуляром к прямым а и b. Его длина и
а * а√2 (проекция на диагональную плоскость АСС¹А¹ или, что то же, вдоль диагонали
BD
ос­нования): и правильный шестиугольник со сто­роной а√2/3 (проекция вдоль диагонали куба АС¹; мы видели, что прямая АС¹ перпендику­лярна плоскости
BDA
¹, а потому правильный треугольник
BDA
, со стороной а√2 в такой проекции не искажается). С помощью первой проекции можно найти, например, угол между
плоскостями
BDA
¹ и
BDC
¹ — он равен углу меж­ду красными прямыми, в которые проектиру­ются эти плоскости. А расстояние
r
между двумя скрещивающимися диагоналями граней BD и В¹С равно расстоянию на рис. 16, а от точки В до прямой В¹С (В и
B
¹
C
— изображения первой и второй диагоналей соответственно). Поду­майте почему. (Здесь важно, что общий перпендикуляр диагоналей параллелен плоскости про­екции.) Легко найти, что
r
= а/√3. Нетрудно вычислить на той же проекции и расстояние между прямыми BD и АС¹ Ещё проще найти его с помощью рис. 16, б, на котором АС¹ превра­щается в точку: расстояние от последней — центра шестиугольника — до BD равно половине стороны шестиугольника, т. е. а/√6.

· Площадь

Sпр

ортогональной проекцией многоугольника равна площади

S

многоугольника, умноженной на

cos

φ, где φ- угол между его плоскостью и плоскостью проекции:


По правилам черчения принято изображать пунктиром ребра многоугольника, расположенные на его обратной стороне. Некоторый многоугольник спереди и сверху выглядит одинаково, как показано на рис 18. Пунктиров на изображении нет- значит нет и невидимых ребер. Как предмет выглядит сбоку?
На рисунке 20 изображена треугольная пирамида, в которой проведены два отрезка, соединяющие точку на противоположных ребрах. Можно ли по рисунку определить, пересекаются эти отрезки в пространстве или нет? А если можно, то как?
2. Нет. Прямые AD, BE, CF должны пересекаться в одной точке.

Название: Геометрия в пространстве
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 20:13:40 06 сентября 2005 Похожие работы
Просмотров: 6155
Комментариев: 17
Оценило: 14 человек
Средний балл: 3.3
Оценка: 3   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Геометрия в пространстве
Чехов Собрание Сочинений В 8 Томах
Курсовая работа: Документирование трудовых правоотношений и его законодательная и нормативная регламентация. Скачать бесплатно и без регистрации
Написать Сочинение На Тему Жизнь Гаража Средневековье
Юридическая Практика В Организации Отчет
Реферат: Urban Poverty Essay Research Paper Poverty is
Реферат: Формирование и использование финансовых ресурсов организации
Реферат: Coliform Bacteria Essay Research Paper Coliform bacteria
Отчет по практике по теме Характеристика ООО 'Фенко-Авто'
Реферат: Международное отношение русского государства XV-XVI веков
Реферат На Тему Деятели Культуры
Реферат: Качество и надежность автомобиля
Курсовая Работа На Тему Парниковый Эффект
Курсовая работа по теме Традиции воспитания в современных семьях
Курсовая работа по теме Формирование умения младших школьников с нарушением интеллекта изображать форму предмета
Реферат по теме Просторічна лексика в романі Володимира Лиса 'Соло для Соломії'
Реабилитация После Переломов И Травм Реферат Бесплатно
Реферат по теме Отчет по геофизическим работам на месте "Дома Ипатьева"
Реферат по теме Государственное регулирование трудовых отношений
Люби И Охраняй Природу Мини Сочинение
Отчет По Производственной Практике Молочный Завод
Реферат: Религия и мифы древней Месопотамии
Сочинение: Русский народ в изображении Н.А.Некрасова
Реферат: Идеи Ньютона и Линея