Реферат: Эрмитовы операторы
🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Пусть M
и N
— линейные множества. Оператор L
,
преобразующий элементы множества M
в элементы множества N
,
называется линейным,
если для любых элементов f
и g
из M
и комплексных чисел λ и μ
справедливо равенство
При этом множество M
=
M L
называется областью определения
оператора L
.
Если Lf
=
f
при всех f
Є M
,
то оператор L
называется тождественным (единичным)
оператором. Единичный оператор будем обозначать через I.
Пусть L
— линейный оператор с областью определения M L
.
Уравнение
называется линейным неоднородным
уравнением. В уравнении (2) заданный элемент F
называется свободным членом
(или правой частью),
а неизвестный элемент и
из M L
— решением
этого уравнения.
Если в уравнении (2) свободный член F
положить равным нулю, то полученное уравнение
называется линейным однородным уравнением,
соответствующим уравнению (2).
В силу линейности оператора L
совокупность решений однородного уравнения (3) образует линейное множество; в частности, и =
0 всегда является решением этого уравнения.
Всякое решение и
линейного неоднородного уравнения (2) (если оно существует) представляется в виде суммы частного решения и о
этого уравнения и общего решения ŭ,
соответствующего линейного однородного уравнения (3)
Отсюда непосредственно выводим: для того чтобы решение уравнения (2) было единственным в M L
,
необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение (3) имело только нулевое решение в M L
.
Пусть однородное уравнение (3) имеет только нулевое решение в M L
.
Обозначим через R l
область значений оператора L
,
т.е. (линейное) множество элементов вида {L f
}, где f
пробегает M L
.
Тогда для любого F
Є R l
уравнение (2) имеет единственное решение и
Є M L
,
и, таким образом, возникает некоторый оператор, сопоставляющий каждому элементу F
из R l
соответствующее решение уравнения (2). Этот оператор называется обратным оператором к
оператору L
и обозначается через L
-1
, так что
Оператор L -1
, очевидно, является линейным и отображает R l
на M L
. Непосредственно из определения оператора L
-1
,
а также из соотношений (2) и (4) вытекает:
L
L
-1 F
=
F
,
F
Є R l
;
L
-1
Lu
=
u
, и Є
M L
,
Если линейный оператор L
имеет обратный L
-
1
, то системы функций { φ
k
} и {
L
φ
k
}
одновременно линейно независимы. (При этом, естественно, предполагается, что все φ
k
принадлежат M L
.
)
Рассмотрим линейное однородное уравнение
где λ — комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое решение при всех λ. Может случиться, что при некоторых λ оно имеет ненулевые решения из M L
. Те комплексные значения λ, при которых уравнение (5) имеет ненулевые решения из M L
,
называются собственными значениями
оператора L
,
а соответствующие решения — собственными элементами
(функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число r
, 1 ≤
r
≤
∞
, линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собственному значению λ, называется кратностью
этого собственного значения; если кратность r
= 1, то λ называется простым
собственным значением.
Если кратность r
собственного значения λ оператора L
конечна и u
1
,...,и 2
—
соответствующие линейно независимые собственные элементы, то любая их линейная комбинация
u
0
=
c
1
u
1
+
c
2
u
2
+ ... +
c r
u r
также является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и приведенная формула дает общее решение уравнения (5). Отсюда вытекает: если решение уравнения
существует, то его общее решение представляется формулой
где и*
— частное решение (6) и с
k
, k = l,2,...,r, — произвольные постоянные.
Линейный оператор L
,
переводящий M L
С L
2
(
G
)
в L 2
(G), называется эрмитовым,
если его область определения M L
плотна в L 2
(G) и для любых f
и g
из M l
справедливо равенство
Выражения (
Lf
,
g
)
и (
Lf
,
f
) называются соответственно билинейной
и квадратичной формами,
порожденными оператором L
.
Для того чтобы линейный оператор L
был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма (
Lf
,
f
), f
Є M l
,
где M l
плотна в L 2
(G) ,
принимала только вещественные значения.
Линейный оператор L
,
переводящий M l
С L 2
(G) в L 2
(G) ,
называется положительным,
если M l
плотна в L 2
(G) и
В частности, всякий положительный оператор эрмитов.
Теорема. Если оператор
L
эрмитов (положительный), то все его собственные значения вещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны
.
Доказательство. Пусть λ 0
— собственное значение, u
0
— соответствующая нормированная собственная функция эрмитова оператора L
,
L
u
0
= λ 0
u
0
. Умножая скалярно это равенство на u
0
,
получим
(
L
u
0
,
u
0
)
= (
λ 0
u
0
,
u
0
)
= λ 0
( u
0
, u
0
) λ 0
|| u
0
|| 2
= λ 0
. (8)
Но для эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма (
Lf
,
f
)
принимает только вещественные (неотрицательные) значения, и, стало быть, в силу (7) λ 0
— вещественное (неотрицательное) число.
Докажем, что любые собственные функции и
1
и и
2
,
соответствующие различным собственным значениям λ 1
и λ 2
,
ортогональны. Действительно, из соотношений
Lu
1
=
λ 1
и
1
,
Lu
2
=
λ 2
и
2
,
из вещественности λ 1
и λ 2
и из эрмитовости оператора L
получаем цепочку равенств
λ 1
(и
1
,и
2
) = (
λ и
1
,и
2
) = (
L
и
1
,и
2
) = (и
1
,
Lu
2
)
= (и
1
,λ
2
и
2
) = =λ
2
(и
1
,и
2
),
т.е. λ 1
(и
1
,и
2
) = λ
2
(и
1
,и
2
).
Отсюда, поскольку λ 1
≠ λ
2
,
вытекает, что скалярное произведение (и
1
,и
2
)
равно нулю. Теорема доказана.
Предположим, что множество собственных значений эрмитова оператора L
не более чем счетно, а каждое собственное значение конечной кратности. Перенумеруем все его собственные значения: λ 1
,λ 2
,..., повтори λ k
столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через и
1
,и
2
,… так, чтобы каждому собственному значению соответствовала только одна собственная функция и
k
:
Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбрать ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта. Всякая ортонормальная система { φ
k
} состоит из линейно независимых функций. Всякая система ψ
1
, ψ
2
,... линейно независимых функций из L 2
(G) преобразуется в ортонормальную систему φ
1
, φ
2
, — следующим процессом ортогонализации Шмидта:
φ
1
= ψ
1
/|| ψ
2
|| , φ
2
= ψ
2
– ( ψ
2,
φ
1
) φ
1
/ || ψ
2
– ( ψ
2,
φ
1
) φ
1
||
φ
k
= ψ
k
– ( ψ
k
,
φ
k
-1
) φ
k
-1
– … – ( ψ
k
,
φ
1
) φ
1
/ || ψ
k
– ( ψ
k
,
φ
k
-1
) φ
k
-1
– … – – ( ψ
k
,
φ
1
) φ
1
||
При этом опять получаются собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По доказанной теореме собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Таким образом, если система собственных функций { и к
} эрмитова оператора L
не более чем счетна, то ее можно выбрать ортонормальной:
(
Lu
k
,
u
i
) = λ
k
(и
k
,
u
i
) = λ
k
δ ki
1 .
Владимиров B.C., Жаринов В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. — М.: Физмат-лит, 2000.
2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 5-е. — М.: Наука, 1985.
3. Никольский СМ. Математический анализ.—Изд. 5-е. — М.: Физмат-лит, 2000.
Название: Эрмитовы операторы
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 12:50:56 11 августа 2010 Похожие работы
Просмотров: 82
Комментариев: 15
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно Скачать
Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.
Реферат: Эрмитовы операторы
Курсовая работа по теме Карьерная разработка руд Комаровского месторождения
Сочинение Мой Пушкин 10 Класс
Курсовая Техническая Эксплуатация И Обслуживание
Контрольная Работы 5 Класс Афанасьева Ответы
Реферат по теме Дом и кров в славянофильской концепции
Курсовая Работа На Тему Трубчатые Вращающиеся Печи
Расчетно Кассовые Операции Реферат
Педагогическая Деятельность Эссе
Реферат На Тему Экологическая Проблема, Причины Возникновения И Возможные Пути Решения
Короткое Сочинение Про Осенний Лес
Реферат: Порус В. Н. Рациональность. Наука. Культура
Реферат: 300 лет испытаний, походов, побед К 300-летию регулярной армии, созданной Петром I
Курсовая работа: Административно-территориальное устройство среднего жуза по «Уставу» 1822 года
Реферат На Тему Сравнение Как Метод Анализа. Виды И Уровни Сравнительных Исследований
Реферат: Система органів Держави Ізраїль, що діють у сфері внутрішніх справ
Реферат На Тему Конкурентные Действия
Курсовая работа по теме Эффективность инвестиционных проектов
Реферат: становление рынка в России
Реферат Пожарной Части
Доклад: Московская школа иконописи
Реферат: Исковое заявление в хозяйственный суд
Контрольная работа: Гражданское право
Контрольная работа: Определение производительности труда в энергосистемах