Реферат: Элементы теории устойчивости

👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Анализ устойчивости непосредственно связан с определением условий равновесия. В линейных системах существуют только одно состояние равновесия. Поэтому зависимые переменные, характеризующие состояние системы, с течением времени приближаются либо к состоянию покоя, либо периодического изменения. В нелинейных же системах возможны ситуации, когда существуют несколько состояний равновесия. Причем достаточно малого возмущения, чтобы начался переходный процесс, который приведет систему к новому состоянию равновесия, существенно отличающемуся от первоначального. Следовательно, при рассмотрении подобных систем необходимо проанализировать особенности их поведения в непосредственных окрестностях всех возможных состояний равновесия.
Если достаточно малое (независимо от того, какими причинами оно вызвано) возмущение приводит к существенному отклонению режима от исходного (установившегося) состояния или от невозмущенного движения, то говорят о нестабильности или неустойчивости положения равновесия или невозмущенного движения. Если же после прекращения действия возмущения система не отклоняется существенно от своего исходного состояния, то такой режим называют устойчивым.
Таким образом, в нелинейной теории недостаточно только получить весь спектр возможных решений. Необходимо еще провести исследование всех решений на устойчивость.
Исследованию вопросов устойчивости посвящено множество работ. Широко известны первые работы в этой области Лагранжа, Рауса, Жуковского и Пуанкаре. Значительным вкладом в теорию устойчивости явилось исследование выдающегося русского математика А. М. Ляпунова « Общая задача об устойчивости движения» (1892), которая еще и сегодня представляет собой основу всех исследований в этой области. А. М. Ляпунов дал строгое математическое определение устойчивости. Рассматривая нелинейные задачи небесной механики, А. М. Ляпунов доказал несколько теорем, решающих в общем виде задачу устойчивости. Он показал, что при малых отклонениях от состояния равновесия правильное суждение об устойчивости можно получить, используя линеаризацию исходного нелинейного уравнения.
Прежде чем перейти к методам исследования устойчивости или неустойчивости движения введем определение устойчивости.
Определение устойчивости и асимптотической устойчивости.

Здесь y ν
(t)
являются какими – либо зависимыми переменными, связанными с «движением» (в свете механики), т. е. С временным (динамическим) протеканием процесса; например, в электрических системах это могут быть напряжения, токи, заряды и т. п. Точка сверху означает производную от этих величин по времени: формула
Ляпунов дал следующее определение устойчивости. Невозмущенное движение называется устойчивым, если для всякого небольшого положительного числа δ
>
0
может быть найдено другое такое число ε(δ)
, чтобы для всех возмущенных движений y ν
(t)
для начального момента времени t = t 0

выполнялось неравенство (4), а во все последующие моменты времени t > t 0

было справедливо неравенство (5). В противном случае невозмущенное движение неустойчиво. Иными словами невозмущенное движение устойчиво, если, будучи возмущено в начальный момент времени оно в дальнейшем целиком проходит в непосредственной окрестности своего первоначального состояния и не покидает эту соседнюю область.
Из данного определения устойчивости движения получается устойчивость положения равновесия как частный случай, когда все f ν
(t)=С­­ ν

, т.е. являются постоянными величинами.
Более жестким, чем только что данное определение, является определение асимптотической устойчивости. А именно, невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым, если оно, во-первых, устойчиво в смысле вышеуказанного определения (4), (5), и, во-вторых, если можно выбрать число δ
такое, чтобы для всех возмущенных движений, которые удовлетворяют неравенству (4) дополнительно выполнялось условие (6). Другими словами это означает, что при возмущенном в начальный момент времени t=t 0

асимптотически устойчивом движении возмущения не только остаются внутри окрестности первоначального состояния ε(δ)
, как при нормальной устойчивости, но и дополнительно с течением времени затухают до нуля.
Итак, возмущенное движение устойчиво, если возмущенное в начальный момент времени движение проходит в его непосредственной окрестности и не покидает определенную соседнюю область. Оно асимптотически устойчиво, если возмущенное движение асимптотически стремится к невозмущенному.
Приведенное определение устойчивости называется устойчивым «в малом». Наряду с ним часто пользуются понятиями об устойчивости «в большом» и «в целом», которые характеризуют поведение движения по отношению к большим начальным возмущениям из определенной области или даже для произвольных начальных возмущений. Такие случаи часто имеют существенное значение в некоторых задачах. Однако во многих практически важных задачах вполне достаточным оказывается исследование устойчивости «в малом». Именно этот вариант и будет рассматриваться в дальнейшем изложении.
Дифференциальные уравнения возмущенного движения; уравнения первого приближения.
где, в соответствии с (1), (2), обозначено
Эту систему называют системой уравнений 1-го приближения.
Вопрос о возможности суждения об устойчивости или неустойчивости первоначальной нелинейной системы на основании рассмотрения уравнений 1-го приближения, т. е. Линеаризованной системы уравнений возмущенного движения, впервые был рассмотрен А. М. Ляпуновым для всех случаев исследования уравнений (7). При этом найденные и доказанные им положения об устойчивости линеаризованной системы получаются из общей теории А. М. Ляпунова об устойчивости и неустойчивости.
Методы А. М. Ляпунова по исследованию устойчивости.

Методы исследования были разделены Ляпунов на две категории.
В первом случае устойчивость или неустойчивость разрешается на основании непосредственного исследования уравнений возмущенного движения. При этом требуется конкретное определение общего или частного решения системы уравнений возмущенного движения. Однако это удается лишь в очень редких случаях, поскольку в настоящее время неизвестны регулярные методы решения нелинейных дифференциальных уравнений.
Во втором случае решения системы уравнений возмущенного движения вообще не требуется. Метод состоит в составлении определенной функции L
, зависящей от t; x 1
,x 2
,...x n

, с особыми свойствами, так называемой функции Ляпунова, из поведения которой и поведения ее производной по времени в окрестности нуля можно сделать вывод об устойчивости или неустойчивости движения.
Положения об устойчивости по методу функции Ляпунова здесь подробно рассматриваться не будут. С ними при желании можно ознакомиться в соответствующей литературе. Ограничимся вытекающими из них положениями об устойчивости линеаризованной системы, которых вполне достаточно для исследования в большинстве практически интересных случаев. Эти положения справедливы стационарных, установившихся состояний или движений, при которых функции X ν

в уравнениях (7) или функции X ν

в уравнениях (11) не зависят от времени t
. Прежде чем приводить положения об устойчивости рассмотрим вкратце для лучшего понимания вопрос об устойчивости непосредственно линейной системы, исследование которой возможно без применения функции Ляпунова, более простым способом.
Положения Ляпунова об устойчивости линеаризованной системы.

где C ν

и λ
- константы, подлежащие определению. Тогда после сокращения на e­­­­ λt
≠0
получим систему алгебраических уравнений:
где постоянные C νi

определяются конкретными начальными условиями задачи, т. е. начальными возмущениями системы.
На основании общего решения задачи о возмущенном движении линейной системы (12), полученного в виде соотношений (19), (18) можно сделать следующие выводы об устойчивости.
то выполняется условие (6). В этом случае линейная система асимптотически устойчива.
то в решении x ν­
(t)
(19) будет присутствовать хотя бы одно слагаемое, которое с течением времени будет неограниченно нарастать. В этом случае линейная система неустойчива.
3. Если среди корней характеристического уравнения нет корней с положительной вещественной частью (21), однако имеются корни с вещественными частями, равными нулю
то выполняется условие (5). В этом случае линейная система просто устойчива.
Положения Ляпунова об устойчивости исходной нелинейной системы.

Обратимся теперь к нелинейной системе (7). А.М. Ляпунову удалось показать, что на основе анализа линеаризованной системы (12) можно сделать довольно существенные выводы и о поведении исходной нелинейной системы. Сформулируем следующие основные положения Ляпунова, которые примем без доказательств.
1. Если все корни характеристического уравнения системы первого приближения имеют отрицательные вещественные части (20), то невозмущенное движение исходной нелинейной системы устойчиво в обычном смысле (4), (5).
2. Если среди корней характеристического уравнения системы первого приближения найдется хотя бы один с положительной вещественной частью (21), то невозмущенное движение исходной нелинейной системы неустойчиво.
3. Если характеристическое уравнение системы первого приближения не имеет корней с положительной вещественной частью, однако имеет такие, у которых вещественные части равны нулю (22), то ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости исходной нелинейной системы дан быть не может на основании линейного анализа. Необходимо более глубокое нелинейное исследование.
Т. о., два первых положения описывают так называемые «некритические» случаи, в которых можно дать ясный ответ на вопрос об устойчивости нелинейной системы на основании исследования системы первого приближения. Третье положение соответствует «критическому» случаю, когда определенный вывод об устойчивости или неустойчивости нелинейной системы можно сделать только при дополнительном исследовании уравнений с учетом нелинейных слагаемых более высоких порядков малости, чем первый.
Методы анализа устойчивости линейных и линеаризованных систем.

Итак, для определения устойчивости такой системы необходимо определение всех корней ее характеристического уравнения до единого. Однако в системах высокого порядка вычисление корней весьма затруднительно. При этом часто приходится прибегать к численным методам, что еще более затрудняет задачу.
Чтобы избежать указанных трудностей и не вычислять вообще корней характеристического уравнения был разработан ряд методов, так называемых критериев устойчивости. При их помощи можно определить характер устойчивости или неустойчивости системы, не вычисляя корней характеристического уравнения.
В настоящее время известно множество критериев устойчивости, позволяющих решать задачу при различных, конкретных условиях. Таковы алгебраический критерий Гурвица, критерий Рауса, частотный критерий Найквиста с различными дальнейшими модификациями, например, Михайлова, и др. Несмотря на формальное различие перечисленных критериев друг от друга, по сути все они основаны на известной теореме теории функций комплексного переменного, а именно, теореме Коши относительно числа нулей и полюсов функции, аналитической в заданной области.
Поскольку критерии устойчивости обстоятельно изложены в литературе, в дальнейшем ограничимся подробным рассмотрением лишь двух из множества критериев: Гурвица и Рауса.
В противном случае уравнение умножают на –1.
Нетрудно доказать следующее необходимо условие устойчивости. Для устойчивости линейной системы любого порядка необходимо, но не достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительными.
Иными словами, если линейная система устойчива, то коэффициенты ее характеристического уравнения положительны, но не наоборот.
Характеристическое уравнение (17), как известно, можно записать в виде:
Тогда, подставляя (24) в (25), получим
Последнее соотношение можно записать в следующей форме:
Тем самым доказано утверждение, что все коэффициенты характеристического уравнения положительны (28), (23), если система устойчива.
Гурвиц разработал критерий, который дает необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы. Приведем эту теорему без доказательства.
Общий определитель Гурвица Δ
n

имеет n
столбцов и n
строк и составляется из коэффициентов a ν

(23), (17) характеристического уравнения в соответствии со следующим выражением:
Критерий Гурвица формулируется следующим образом.
Рассмотрим простейшие частные случаи систем 1-го, 2-го и 3-го порядков, имея в виду, что выполняется условие (23).
Т. о., для рассмотренных систем 1-го и 2-го порядков условие, что все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными, является также и достаточным для устойчивости. Иными словами для систем 1-го и 2-го порядков необходимое и достаточное условие устойчивости, сформулированное на основании критерия Гурвица, совпадает с необходимым условием устойчивости, доказанном выше (28), (23), (17).
Отсюда следует, что для линейных систем третьего порядка необходимое и достаточное условие, сформулированное с помощью критерия Гурвица, не совпадает с необходимым условием устойчивости, доказанным выше.
Таким образом, данные, полученные с помощью критерия Гурвица, позволяют судить об устойчивости систем 1-го и 2-го порядков непосредственно по виду их характеристических уравнений и знаку его коэффициентов; проведения других дополнительных исследований не требуется. Это очень часто весьма облегчает задачу. Для систем же, описываемых уравнениями 3-го и более высоких порядков, проведение специального исследования устойчивости является совершенно неизбежным.
Во многих случаях при анализе устойчивости решение характеристического уравнения (17) системы является длительным и трудным. Раусом был предложен метод, позволяющий определить характер корней характеристического уравнения (18) без непосредственного нахождения их. Этот метод позволяет получить важные сведения об устойчивости системы (12), не прибегая к громоздким математическим операциям.
Кратко метод заключается в следующем. Из коэффициентов характеристического уравнения составляется так называемая таблица Рауса в соответствии с записанным далее выражением.
В общем виде элементы таблицы Рауса по мере повышения номера ее строки представляются соотношениями чрезвычайно громоздкими. Однако, как будет показано ниже, при численных расчетах анализ значительно упрощается.
Завершив процесс построения таблицы, исследуем первый ее столбец. Если знаки всех элементов этого столбца одинаковые, то характеристическое уравнение (17) не имеет корней с положительными вещественными частями. Если члены первого столбца не все имеют одинаковые знаки, то число корней с положительными вещественными частями равно числу изменений знаков.
Следует отметить, что критерий Рауса неприменим в двух случаях. Во-первых, когда какой-либо элемент первого столбца, начиная со второго, равен нулю. Тогда все члены следующей строки будут равны бесконечности. Во-вторых, когда все элементы второй или любой из следующих строк равны нулю. В этих специальных случаях необходимо использовать для анализа другие методы.
Следует иметь в виду, что для упрощения вычислений можно разделить (или умножить) все элементы любой строки на положительное число, прежде чем использовать их для получения следующей строки. Очевидно, что такая операция не изменит знака членов следующей строки и не отразится на конечном результате. Например, элементы третьей строки таблицы (45) можно было бы разделить на 8 для упрощения последующих вычислений.
Анализ результатов устойчивости в нелинейных системах.

При исследовании устойчивости в цепях постоянного тока при малых возмущениях обнаружение неустойчивости возможно только при наличии элементов с отрицательным дифференциальным сопротивлением. Элементы с «падающими» участками на вольт - амперной характеристике, как известно, разделяются на две группы.
К первой группе относятся элементы с S
– образной ВАХ, например, электрическая дуга. У них ток относительно напряжения является неоднозначной функцией, т. е. при определенных напряжениях при их плавных изменениях теоретически возможны резкие изменения, так называемые «скачки» тока. Однако, опыт показывает, что при этом в такой цепи всегда присутствует небольшая паразитная индуктивность, которая «сглаживает» скачкообразные изменения, не допуская скачкообразного изменения энергии магнитного поля, поскольку оно в реальной системе невозможно.
По этой причине при исследовании устойчивости в таких цепях нелинейное сопротивление с S
– образной ВАХ представляют в виде последовательного соединения его дифференциального сопротивления и малой начальной индуктивности.
У элементов с N
– образной ВАХ напряжение является неоднозначной функцией тока. Здесь при определенных токах при их плавных изменениях теоретически возможны скачкообразные изменения напряжения, которые, однако, в реальных системах предовращаются наличием малой паразитной емкости. Поэтому при исследовании устойчивости в таких цепях нелинейное сопротивление с ВАХ N
– типа заменяют эквивалентной схемой с параллельным соединением дифференциального сопротивления и малой паразитной емкости.
Устойчивость точки равновесия электрической дуги.

Обозначим величину дифференциального сопротивления нелинейного сопротивления R d

в точке i=I 0

:
Последнее выражение представляет собой известный критерий Кауфмана для устойчивой рабочей точки электрической дуги.
Устойчивость решений уравнения Дуффинга.
Запишем уравнение движения неконсервативного нелинейного осциллятора, находящегося под гармоническим внешним воздействием, для случая среды с вязким трением (7.2), (11.1)
1) Формулы с двойными номерами здесь – (7.2), (11.1) - и ниже – (7.5), (3.20), (9.5), (11.3), (11.5) – цитируются по книге [4].
где символом δ
обозначена в соответствии с (7.5) удельная вязкость среды; ω 0

, μ
– (3.20), F
– (9.5).
где F 1

, F 2

определяются выражениями (11.3) и справедливы формулы (11.5).
где a(t)
, b(t)
– медленно изменяющиеся функции. Вычислим первую и вторую производные функции y(t)
по времени t
:
Подставив последние выражения и (63) в уравнение (61), получим:
Тригонометрический двучлен третьей степени в левой части равенства без учета всех компонент, кроме колебаний с основной частотой ω
может быть представлен в следующем виде:
совпадающие, как и следовало ожидать, с (11.9). Тогда. Использую (11.5), (73) можно записать формулу (11.10):
Определяющую резонансную зависимость рассматриваемого осциллятора |
a 0

|
(
ω
)
или его «управляющую» характеристику |
a 0

|
(F)
.
Последнее выражение легко преобразовать к виду:
Следовательно, все точки управляющей характеристики осциллятора с положительным наклоном касательной соответствует устойчивым режимам колебаний. На рисунках?????????????? и 12.3 эти ветви изображены сплошными кривыми. «Падающей» ветви характеристики соответствуют неустойчивые колебания. На рис?????????? Эта ветвь представлена пунктиром, а на рис. 12.3 вообще отсутствует.
имеет место упомянутый ранее «критический» случай, поскольку можно показать, что появляются корни характеристического уравнения с равными нулю вещественными частями. Анализа устойчивости на основе линейного приближения здесь оказывается недостаточно. Устойчивость или неустойчивость в этих точках определяют слагаемые высших порядков малости в уравнениях возмущенного движения.

Название: Элементы теории устойчивости
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 16:56:35 22 сентября 2005 Похожие работы
Просмотров: 782
Комментариев: 16
Оценило: 4 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Если Вам нужна помощь с учебными работами, ну или будет нужна в будущем (курсовая, дипломная, отчет по практике, контрольная, РГР, решение задач, онлайн-помощь на экзамене или "любая другая" учебная работа...) - обращайтесь: https://clck.ru/P8YFs - (просто скопируйте этот адрес и вставьте в браузер) Сделаем все качественно и в самые короткие сроки + бесплатные доработки до самой сдачи/защиты! Предоставим все необходимые гарантии.
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Элементы теории устойчивости
Реферат: Сущность и теории дивидендной политики
Реферат На Тему Дезинфекция И Стерилизация
Реферат: Частно-государственное партнерство в области общественного транспорта г. Перми: проблемы взаимодействия сторон
Реферат: О выполнении индивидуального задания по организации
Контрольные Работы 9 Класс Афанасьева Михеева
Сочинение: Образ Кутузова в романе Война и мир
Реферат: Дискретная задача оптимального управления
Доклад: Летописание на Руси
Морально Волевые Качества Личности Юриста Реферат
Сочинение По Дубровскому И Маше История Любви
Реферат: Внематочная беременность . Скачать бесплатно и без регистрации
Контрольная Работа По Математике 9 Класс Никольский
Формы И Виды Социального Обслуживания Курсовая
Доклад: Сергий Радонежский, преподобный всея Руси
Реферат: Online Gambling Essay Research Paper Online GamingThere
Аудит Расчетов С Покупателями И Заказчиками Курсовая
Доклад: Радиационная безопасность АЭС
Курсовая работа по теме Ценностные ориентации современного российского журналиста
Реферат по теме Озоносфера и климат
Курсовая работа: Розрахунок собівартості деталі Перехідник
Реферат: Теология и философия о природе человека: проблемы антропогенеза и онтогенеза
Реферат: Московские газеты 19 века
Реферат: Юридические и финансовые аспекты хозяйствования