Реферат: Экзаменационные вопросы и билеты по линейной алгебре за весенний семестр 2001 года

⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

примерный перечень экзаменационных вопросов
1. Прямоугольная матрица, ее порядок, главная и побочная диагонали. Единичная, нулевая, треугольная, симметричная, транспонированная матрицы. Примеры.
2. Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Свойства ассоциативности и коммутативности матриц. Примеры.
3. Приведение матриц к ступенчатому виду методом Гаусса. Элементарные преобразования над строками матрицы. Пример. Ранг матрицы.
4. Система из “m” линейных уравнений с “n” неизвестными. Векторно-матричная форма записи. Расширенная матрица системы. Пример.
5. Однородные и неоднородные системы уравнений. В каком случае они имеют единственное решение? Пример.
6. Решение однородной и неоднородной систем методом Гаусса. Пример.
7. Однородные системы и их свойства. Эквивалентные системы.
8. Свободные и несвободные переменные однородной системы. Частное и общее решение. Пример.
9. Совместные системы уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Пример.
10. Вектор решения линейной системы уравнений. Общее и частное решение неоднородной системы уравнений. Основные свойства решений.
11. Модель Леонтьева межотраслевого баланса. Ее математическая модель.
12. Определитель матрицы. Его порядок. Понятие определителя применительно к матрицам второго и третьего порядков. Алгебраическое дополнение элемента. Разложение определителя по строке или столбцу.
13. Сформулировать свойства определителя.
14. Какую матрицу называют обратной? Условие ее существования.
15. Вычисление определителя с использованием метода Гаусса.
16. Построение обратной матрицы с использованием алгебраических дополнений и методом Гаусса.
17. Даны матрицы А= и В= . Найти АВ - ВА.
20. Исследовать сколько решений может иметь система уравнений: .
21. Найти общее решение однородной системы: .
22. Исследовать и решить в случае совместности систему уравнений: .
23. Вычислить определитель матрицы det A, где А = методом Гаусса.
24. Что называется линейным пространством? Элемент линейного пространства. Какое множество функций на отрезке [
a
,
b
]
образует пространство C
[

a

,

b

]
?
25. Свойства коммутативности и ассоциативности сложения векторов.
26. Арифметическое пространство R n

. Что называют компонентами вектора?
27. Определите понятие подпространства Н
в пространстве V
. Приведите примеры линейных подпространств в линейном пространстве V
, в пространстве R n

.
28. Определите понятие линейной комбинации векторов u
и v
линейного пространства. Какая система векторов называется линейно независимой?
29. Запишите свойства линейно зависимой системы векторов и линейно независимой системы векторов.
30. Приведите примеры линейно независимых векторов и функций в линейном пространстве.
31. Базис линейного пространства, разложение вектора по базису, координаты вектора u
в базисе е 1
, е 2
… е
n

. Примеры стандартных базисов в прстранстве R n

.
32. Размерность линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов. Размерность линейного подпространства W
линейного пространства V
.
33. Линейные операции над свободными векторами в координатной форме в произвольном линейном пространстве.
34. Как определяется матрица перехода от старого базиса b
к новому c
?
35. Какими свойствами обладает матрица перехода от старого базиса b
к новому c
?
36. Сформулируйте теорему о разложении любого вектора линейного пространства по базису.
37. Запишите формулы преобразования координат вектора x
линейного пространства L
при переходе от старого базиса b
к новому c
.
38. Как определяется скалярное произведение двух векторов? Какое пространство называется евклидовым? Неравенство Коши-Буняковского.
39. Ортогональные векторы линейного пространства.
40. Понятие нормы вектора. Каким аксиомам подчиняется норма вектора?
41. Ортогональная система векторов. Является ли она линейно зависимой?
42. Понятие ортогонального и ортонормированного базисов линейного пространства.
43. Какую матрицу называют матрицей Грама и как вычисляются ее элементы?
44. Что называется процессом ортогонализации?
45. Сформулируйте необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов.
46. Составьте матрицу Грама для системы векторов е 1

=(1, -1, 2), е 2

=(1, 1, 1), е 3

=(1, 0, 1) трехмерного пространства.
47. Докажите, что для любых двух векторов а
и с
векторное уравнение a
+
x
=
c
относительно x
имеет решение, и при этом единственное.
48. Запишите матрицу перехода от базиса b
к новому с
, если b 1
=-2с 1
-3с 2
-2с 3
, b 2
=7с 1
+8с 2
+9с 3
, b 3
=3с 1
+4с 2
+5с 3

.
49. Выясните, образует ли линейное пространство множество всех векторов данной плоскости, не параллельных данной прямой, если в качестве операций взяты операции сложения векторов и умножения вектора на число.
50. Выясните, образует ли множество функций вида а cos t +b sin t, t Î(-¥,¥), a,b ÎR, линейное пространство относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число.
51. Образует ли линейное пространство множество многочленов степени n относительно обычных операций сложения многочленов и умножения многочлена на число?
52. Образует ли линейное пространство множество функций, непрерывных на отрезке [a,b], относительно операций сложения функций и умножения функции на число?
53. Докажите, что множество матриц-столбцов высоты n образует линейное пространство относительно матричных операций сложения и умножения на число.
54. Докажите, что dim V 2
= 2, dim V 3
= 3.
55. Не проводя вычислений, выясните, является ли система векторов а 1

=(-4, 2, 3), а 2

= (-3, 5, 1), а 3

= (1,-7, 3), а 4

= (12,-5,4) линейно независимой?
56. Выясните, образуют ли векторы а 1

=(1, 0, 0, 0), а 2

= (1, 1, 0, 0), а 3

= (1,1, 1, 0), а 4

= (1,1,1, 1) базис в линейном арифметическом пространстве R 4
?
57. Может ли матрица А = быть матрицей перехода от одного базиса трехмерного пространства к другому?
58. Какой вид имеет матрица перехода от старого базиса к новому, если матрица перехода от нового базиса к старому является треугольной? Симметрической?
59. Для каких векторов евклидова пространства неравенство Коши-Буняковского превращается в равенство?
60. Дайте понятие линейного оператора, действующего в линейном пространстве L
. Приведите примеры.
61. Какая матрица называется матрицей линейного оператора?
62. Какую матрицу имеет нулевой оператор, действующий в пространстве L
? Какой вид у матрицы тождественного оператора, действующего в пространстве L
?
63. Сформулируйте теорему о связи координат вектора-прообраза с координатами вектора-образа оператора А
, действующего в пространстве L
?
64. В каком случае совпадают матрицы двух различных линейных операторов?
65. Какое соответствие существует между квадратными матрицами порядка n
и линейными операторами, действующими в n
-
мерном линейном пространстве?
66. Напишите зависимость, связывающую матрицы А b
и А е
в различных базисах b
и e
линейного пространства.
67. Определение характеристического уравнения матрицы А.
68. Дайте определение понятия собственное число линейного оператора А
. Какой вектор называется собственным вектором оператора? Как его найти?
69. Что означает понятие «собственное подпространство», отвечающее данному собственному значению?
70. Составьте характеристическое уравнение для оператора А
, если его матрица А= . Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора А.
71. Скольким собственным значениям может соответствовать один и тот же собственный вектор?
72. Известно, что собственные значения l 1
, l 2
,..,l n
линейного оператора попарно различны. Что можно сказать о линейной зависимости соответствующей им системы собственных векторов?
73. Известно, что базис е
состоит из собственных векторов оператора А
. Что можно сказать о матрице оператора в этом базисе?
74. Когда матрица оператора А
подобна некоторой диагональной?
75. Пусть l 1
, l 2
,.., l n
- собственные значения оператора А
. Найдите собственные значения линейного оператора, матрицей которого является матрица А 2
, А -1
.
76. Дайте определение оператора, сопряженного к данному линейному оператору А
. Сколько сопряженных операторов может быть у оператора А
в евклидовом пространстве?
77. Какая матрица является матрицей оператора сопряженного линейному оператору А
с матрицей А в ортонормированном базисе?
78. Дайте определение самосопряженного оператора. Приведите пример самосопряженного оператора.
79. Какова матрица самосопряженного оператора в ортонормированном базисе?
80. Что можно сказать об операторе А
, если известно, что его матрица в некотором ортонормированном базисе является симметрической?
81. Каковы корни характеристического уравнения самосопряженного оператора?
82. Сколько собственных значений имеет симметрическая матрица порядка n
?
83. Каким свойством обладают собственные векторы самосопряженного оператора?
84. Когда в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором матрица линейного оператора имеет диагональный вид?
85. Докажите, что (А+ В) *
= А *
+ В *
и (АВ) *
= В *
А *
.
86. В ортонормированном базисе оператор А
имеет матрицу А = . Найдите матрицу сопряженного ему оператора в этом же базисе.
87. Какая матрица называется ортогональной матрицей и чему равен ее определитель?
89. Что такое квадратичная форма? Дайте понятие матрицы квадратичной формы.
90. Запишите квадратичную форму в координатах в некотором базисе.
91. Что такое канонический вид квадратичной формы? Найти ее для x 2
+ xy + y 2
.
92. Какая квадратичная форма называется положительно определенной? Неотрицательно определенной?
93. Сформулируйте критерий Сильвестра.
94. Запишите закон инерции для квадратичной формы.
95. Что представляет собой метод итераций?
97. Составьте Гессиан для функции f ( x 1
,....,x n
)= x 1
2
+x 1
x 2
+ .... + x 1
x n
.
98. Приведите квадратичную форму х 1
2
- 4х 1
х 2
к каноническому виду методом выделения квадратов.
99. Какую квадратичную форму можно привести к каноническому виду?
100. Как изменяется характеристическое уравнение матрицы при ортогональном преобразовании квадратичной формы?
101. Выясните, является ли квадратичная форма с матрицей А = положительно определенной?
102. Когда диагональные элементы симметрической матрицы ― положительные числа?
103. Найдите ранг квадратичной формы трех переменных 2ху+ 2уz +2хz.
104. Какой ранг может иметь положительно определенная форма от n
переменных?
105. Запишите матрицу перехода от базиса е
к базису е
¢
, если е
¢
1

= е 1
+ е 2
+7е 3

, е
¢
2

=(7/6) е 1
- е 2
, е
¢
3

=- е 1
+ е 2
+ е 3

.
106. Является ли линейным преобразование Ах
= (6х 1
- 5х 2
,-2х 2
, х 3
- х 1
)?
107. Чему равно скалярное произведение векторов в арифметическом пространстве R n

?
108. Что можно сказать о собственных векторах, если они соответствуют различным собственным значениям?
109. Определите, каким является базис а
=(1/ , 1/ ,1/ ), b
=(1/ , -1/ , 0), с
=(1/ , 1/ ,-2/ ).
110. Нормируйте вектор х
= 3 i
+ 4 j
+ 5 k
+ 7 m
.
1. Описать модель Леонтьева межотраслевого баланса.
2. Найти общее решение однородной системы: .
3. Как записывается свойство ассоциативности сложения векторов?
4. Когда в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором матрица линейного оператора имеет диагональный вид?
5. В ортонормированном базисе оператор А
имеет матрицу А = . Найдите матрицу сопряженного ему оператора в этом же базисе.
--------------------------------------------------
1. Какие прямоугольные матрицы можно привести к ступенчатому виду? Метод приведения матрицы к ступенчатому виду. Пример.
2. Найти матрицу А -1
, обратную к матрице А и с ее помощью решить систему А = , где А = , = , .
3. Образует ли линейное пространство множество многочленов степени n относительно обычных операций сложения многочленов и умножения многочлена на число?
4. Какая матрица называется ортогональной матрицей?
5. Запишите матрицу перехода от базиса b
к новому с
, если b 1
=3с 1
-с 2
+2с 3
, b 2
=-6с 1
+5с 2
-2с 3
, b 3
=4с 1
+с 2
-с 3

.
--------------------------------------------------
6. Дать определение системы из «m» линейных уравнений с «n» неизвестными. Векторно-матричная форма записи системы линейных уравнений.
7. Исследовать и решить в случае совместности систему уравнений: .
8. Дайте определение понятия арифметического пространства R n
.
9. Какой матрицей является матрица, транспонированная к ортогональной?
10. Докажите, что для любых двух векторов а
и с
векторное уравнение а+х = с
относительно х
имеет решение, и притом единственное.
--------------------------------------------------
11. Какой метод используется при решении системы линейных уравнений (на примере)?
12. Исследовать и решить в случае совместности систему уравнений: .
13. Запишите свойства линейно зависимой системы векторов.
15. Составьте Гессиан для функции f ( x 1
,....,x n
)= x 1
2
+x 1
x 2
+ .... + x 1
x n
.
--------------------------------------------------
16. Неоднородные системы уравнений. Основные свойства решений.
17. Найти матрицу А -1
, обратную к матрице А и с ее помощью решить систему А = , где А = , = , .
18. Сформулируйте теорему о связи координат вектора-прообраза с координатами вектора-образа оператора А
, действующего в пространстве L .
19. Какая матрица является матрицей оператора сопряженного линейному оператору А
с матрицей А в ортонормированном базисе?
20. Выясните, является ли квадратичная форма с матрицей А = положительно определенной.
--------------------------------------------------
21. Правило построения обратной матрицы на примере матрицы 2-го порядка с использованием алгебраических дополнений.
22. Совместна ли система уравнений: ?
23. Выясните, образует ли линейное пространство множество всех векторов данной плоскости, не параллельных данной прямой, если в качестве операций взяты операции сложения векторов и умножения вектора на число.
24. Скольким собственным значениям может соответствовать один и тот же собственный вектор?
25. Составьте Гессиан для функции f ( x 1
,....,x n
)= x 1
2
+ 2x 2
2
+ .... + nx n
2
.
--------------------------------------------------
26. Что называют определителем матрицы. Порядок определителя. Понятие определителя применительно к матрице второго порядка. Пример.
28. Как записывается свойство коммутативности сложения векторов?
29. Какую квадратичную форму можно привести к каноническому виду?
30. Найдите ранг квадратичной формы трех переменных х 2
+ у 2
+2хz.
--------------------------------------------------
31. Подчиняется ли умножение матриц свойству ассоциативности и перестановки сомножителей? Привести пример некоммунитативных матриц. Пример перестановочных матриц.
32. Найти общее решение однородной системы: .
33. Что называется линейным пространством?
34. Чему равен определитель ортогональной матрицы?
35. В ортонормированном базисе оператор А
имеет матрицу А = . Найдите матрицу сопряженного ему оператора в этом же базисе.
--------------------------------------------------
36. Дать определение ранга матрицы. Пример.
37. Убедиться, что система имеет единственное решение, и найти это решение методом Гаусса: , , .
38. Какая система векторов называется линейно независимой?
39. Какой матрицей будет матрица, обратная к ортогональной?
40. Докажите, что (А+ В) *
= А *
+ В *
.
--------------------------------------------------
41. Какие преобразования можно выполнить над строками матрицы? Пример.
42. Найти общее решение однородной системы уравнений .
43. Какой базис линейного пространства называется ортогональным?
44. Сколько сопряженных операторов может быть у оператора А
в евклидовом пространстве?
45. Чему равно скалярное произведение векторов в арифметическом пространстве R n
?
--------------------------------------------------
46. При решении однородной системы какие переменные называют свободными, а какие несвободными? Чему равно число свободных переменных?
47. Исследовать и решить в случае совместности систему уравнений: .
48. Докажите, что множество матриц-столбцов высоты n образует линейное пространство относительно матричных операций сложения и умножения на число.
49. Сколько собственных значений имеет симметрическая матрица порядка n?
50. Запишите матрицу перехода от базиса b
к новому с
, если b 1
=-2с 1
-3с 2
-2с 3
, b 2
=7с 1
+8с 2
+9с 3
, b 3
=3с 1
+4с 2
+5с 3

.
--------------------------------------------------
51. Элементарные преобразования над строками матрицы. Пример.
52. Убедиться, что система , имеет единственное решение, и найти это решение методом Гаусса: .
53. Для каких векторов евклидова пространства неравенство Коши – Буняковского превращается в равенство?
54. Чему равна матрица, обратная к ортогональной?
55. Найдите ранг квадратичной формы трех переменных 2ху+ 2уz +2хz.
--------------------------------------------------
56. Решение однородной системы методом Гаусса. Пример.
57. Найти матрицу А -1
, обратную к матрице А и с ее помощью решить систему А = , где А = , = , .
58. Определите понятие подпространства Н в пространстве V.
59. Дайте понятие матрицы квадратичной формы.
60. Какой нормированный вектор соответствует вектору х
= -5 i
+ 3 j
+ 7 k
?
--------------------------------------------------
61. Какую систему уравнений называют неоднородной? В каком случае она имеет единственное решение?
62. Найти матрицу А -1
, обратную к матрице .
63. Что называется разложением вектора по базису?
64. Когда диагональные элементы симметрической матрицы ― положительные числа?
65. Докажите, что (АВ) *
= В *
А *
.
--------------------------------------------------
66. Какую систему уравнений называют однородной? В каком случае она имеет единственное решение?
67. Сколько решений может иметь система уравнений: ?
68. Что называют координатами вектора u
в базисе е 1

, е 2

... е n

.
69. Запишите закон инерции для квадратичной формы.
70. В ортонормированном базисе оператор А
имеет матрицу А = . Найдите матрицу сопряженного ему оператора в этом же базисе.
--------------------------------------------------
71. Сформулировать теорему Кронекера-Капелли. Проиллюстрировать ее примером.
72. Вычислить определитель матрицы detA, где А = методом Гаусса.
73. Определите понятие линейной комбинации векторов u
и v
линейного пространства.
74. Каким свойством обладают собственные векторы самосопряженного оператора?
75. Выясните, образует ли множество функций вида а cos t +b sin t, t Î(-¥,¥), a,b ÎR, линейное пространство относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число.
--------------------------------------------------
76. Решение неоднородной системы методом Гаусса (на примере).
77. Совместна ли следующая система: ? Найти ее решение.
78. Дайте определение размерности линейного подпространства W линейного пространства V.
79. Какой многочлен называется характеристическим многочленом матрицы?
80. Является ли линейным преобразование Ах
= (6х 1
- 5х 2
,-2х 2
, х 3
- х 1
)?
--------------------------------------------------
81. Какие матрицы называют равными? Сложение матриц. Пример. Умножение матрицы на число. Пример.
82. Сколько линейно независимых решений имеет система: ?
83. Какие векторы линейного пространства называются ортогональными?
84. Что такое канонический вид квадратичной формы?
85. Докажите, что dim V 2
= 2, dim V 3
= 3.
--------------------------------------------------
86. В чем заключается прямой и обратный ход метода Гаусса при решении системы уравнений (на примере)?
87. Существует ли матрица А -1
, обратная ?
88. Как определяется матрица перехода от старого базиса b
к новому с
?
89. Какая матрица называется симметрической?
90. Составьте Гессиан для функции f ( x 1
,....,x n
) = x 1
2
+ x 2
+ .... + x n-1
+x n
2
.
--------------------------------------------------
91. Какие системы линейных уравнений называют совместными? В каком случае система является несовместной?
92. Совместна ли система уравнений: ? Найти ее решение.
93. Как называется элемент линейного пространства?
94. Известно, что базис е
состоит из собственных векторов оператора А
. Что можно сказать о матрице оператора в этом базисе?
95. Запишите матрицу перехода от базиса b
к новому с
, если b 1
=-с 1
-7с 2
+2с 3
, b 2
=-9с 1
+ 8с 2
-с 3
, b 3
=с 1
+2с 2
+5с 3

.
--------------------------------------------------
96. Какое решение неоднородной системы линейных уравнений называют общим? Какое – частным?
97. Сколько решений может иметь система уравнений: ?
98. Запишите свойства линейно независимой системы векторов.
99. Что можно сказать об операторе А
, если известно, что его матрица в некотором ортонормированном базисе является симметрической?
100. Что можно сказать о собственных векторах, если они соответствуют различным собственным значениям?
--------------------------------------------------
101. Построение обратной матрицы с использованием метода Гаусса (на примере).
102. Вычислить определитель матрицы detA, где А = методом Гаусса.
103. В каком случае совпадают матрицы двух различных линейных операторов?
104. В каком базисе матрица линейного оператора А
является диагональной?
105. Является ли линейно зависимой система векторов а
=(5,4,3), b
=(3,3,2), с
=(8,1,3)?
--------------------------------------------------
106. Основные свойства определителя.
107. Сколько решений может иметь система уравнений: ?
108. Какой вид имеет матрица перехода от старого базиса к новому, если матрица перехода от нового базиса к старому является треугольной?
109. Запишите квадратичную форму в координатах в некотором базисе.
110. Может ли матрица А = быть матрицей перехода от одного базиса трехмерного пространства к другому?
--------------------------------------------------
111. Чему равен определитель треугольной матрицы? Меняют ли элементарные преобразования величину определителя? В каком случае определитель матрицы не равен нулю?
112. Исследовать и решить в случае совместности систему уравнений: .
113. Запишите формулы преобразования координат вектора х
линейного пространства L при переходе от старого базиса b
к новому с
.
114. Какова матрица самосопряженного оператора в ортонормированном базисе?
115. Запишите матрицу перехода от базиса b
к новому с
, если b 1
= 4с 1
-5с 2
+с 3
, b 2
=с 1
-3с 2
-2с 3
, b 3
=5с 1
+с 2
+с 3

.
--------------------------------------------------
116. Какое решение однородной системы уравнений называют общим, частным? Пример.
117. Найти матрицу А -1
, обратную к матрице А и с ее помощью решить систему А = , где А = , = , .
118. Какое множество функций на отрезке [a,b] образует пространство С [a,b]
?
119. Дайте определение понятия собственного числа линейного оператора А
.
120. Определите, каким является базис а
=(1/ , 1/ ,1/ ), b
=(1/ , -1/ , 0), с
=(1/ , 1/ ,-2/ ).
--------------------------------------------------
121. Приведение матрицы к ступенчатому виду методом Гаусса. Пример.
122. Вычислить определитель матрицы detA, где А = методом Гаусса.
123. Образует ли линейное пространство множество функций, непрерывных на отрезке [a,b], относительно операций сложения функций и умножения функции на число?
124. Какая квадратичная форма называется неотрицательно определенной?
125. Найдите ранг квадратичной формы трех переменных х 2
+ 2ху +z 2
.
--------------------------------------------------
126. Какой вектор называют решением линейной системы уравнений? Что значит решить систему линейных уравнений? Какие системы называют эквивалентными?
127. Найти матрицу А -1
, обратную к матрице А и с ее помощью решить систему А = , где А = , = , .
128. Дайте определение размерности линейного пространства.
129. При каком условии существует базис, в котором матрица линейного оператора является диагональной?
130. В ортонормированном базисе оператор А
имеет матрицу А = . Найдите матрицу сопряженного ему оператора в этом же базисе.
--------------------------------------------------
131. Какую матрицу называют невырожденной? При каком значении определителя строки матрицы являются зависимыми, а при каком – независимыми?
133. Сформулируйте необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов.
134. Какой вектор называется собственным вектором оператора?
135. Составьте характеристическое уравнение для оператора А, если его матрица А= . Найдите собственные значения оператора А.
--------------------------------------------------
136. Какую матрицу называют матрицей системы уравнений? Какая матрица называется расширенной матрицей системы? Как записываются вектор неизвестных и вектор правых частей уравнений?
137. Сколько решений может иметь система уравнений: ?
138. Напишите зависимость, связывающую матрицы А b
и А е
в различных базисах b
и e
линейного пространства.
139. Сколько собственных значений имеет самосопряженный оператор, действующий в n-мерном евклидовом пространстве?
140. Не проводя вычислений, выясните, является ли система векторов а 1

=(-4, 2, 3), а 2

= (-3, 5, 1), а 3

= (1,-7, 3), а 4

= (12,-5,4) линейно независимой.
--------------------------------------------------
141. Какую матрицу называют единичной, нулевой, треугольной? Пример.
142. Сколько решений может иметь система уравнений: ?
143. Какой вид у матрицы тождественного оператора, действующего в пространстве L?
144. Дайте определение оператора, сопряженного к данному линейному оператору А
.
145. Запишите матрицу перехода от базиса b
к новому с
, если b 1
=с 1
-3с 2
+2с 3
, b 2
=-2с 1
+с 2
- с 3
, b 3
=с 1
+2с 2
-2с 3

.
--------------------------------------------------
146. Как записывается формула разложения определителя по строке или столбцу? Пример.
147. Найти матрицу , обратную к матрице А и с ее помощью решить систему , где , , .
148. Запишите неравенство Коши - Буняковского.
149. Дайте определение самосопряженного оператора.
150. Приведите квадратичную форму х 1
2
+ 4х 1
х 2
+ x 2
x 3
+ x 3
2
к каноническому виду методом выделения квадратов.
--------------------------------------------------
151. Неоднородная система линейных уравнений. Ее общее и частное решения. Пример.
153. Дайте понятие ортонормированного базиса линейного пространства.
154. Как находятся собственные векторы линейного оператора?
155. Пусть l 1
, l 2
,.., l n
- собственные значения оператора А
. Найдите собственные значения линейного оператора, матрицей которого является матрица А 2
.
--------------------------------------------------
156. Однородные системы уравнений и их основные свойства.
157. Сколько решений может иметь система уравнений: ?
158. Каким аксиомам подчиняется норма вектора?
159. Какая квадратичная форма называется положительно определенной?
160. Запишите матрицу перехода от базиса b
к новому с
, если b 1
= 4с 1
- с 2
+9с 3
, b 2
=-с 1
+6с 2
-11с 3
, b 3
=5с 1
+3с 2
-2с 3

.
--------------------------------------------------
161. Понятие «определитель» применительно к матрице третьего порядка. Какую величину называют алгебраическим дополнением элемента? Пример.
162. Даны матрицы и . Найти АВ-ВА.
163. Какое пространство называется евклидовым?
164. Когда матрица оператора А
подобна некоторой диагональной?
165. Выясните, образуют ли векторы а 1

=(1, 0, 0, 0), а 2

= (1, 1, 0, 0), а 3

= (1,1, 1, 0), а 4

= (1,1,1, 1) базис в линейном арифметическом пространстве R 4
.
--------------------------------------------------
166. Задача межотраслевого баланса. Ее математическая модель.
167. Исследовать и решить в случае совместности систему уравнений: .
170. Пусть l 1
, l 2
,.., l n
- собственные значения оператора А
. Найдите собственные значения линейного оператора, матрицей которого является матрица А -1
.
--------------------------------------------------

Название: Экзаменационные вопросы и билеты по линейной алгебре за весенний семестр 2001 года
Раздел: Рефераты по истории
Тип: реферат
Добавлен 06:52:58 23 августа 2010 Похожие работы
Просмотров: 739
Комментариев: 16
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Экзаменационные вопросы и билеты по линейной алгебре за весенний семестр 2001 года
Дипломная Приложение
Реферат по теме Антропогенез – процесс исторического развития биологического вида 'человек'
Реферат На Тему Магматические Породы Скачать
Реферат: Обязательное резервирование в РБ
Дипломная работа по теме Автоматизация производства платформы с арретиром оптического устройства
Реферат: Механизмы психической защиты
Реферат: Электронный банкинг
Шпаргалка: Билеты по химии 10 класс
Дипломная работа: Проектирование котельной. Скачать бесплатно и без регистрации
Курсовая работа по теме Особенности создания электронного портфолио студента
Инновационный Менеджмент На Предприятии Курсовая Работа
Контрольная работа по теме Педагогическая теория Иоганна Гербарта
Терминология Науки Реферат
Реферат: Важнейшие критерии и показатели безопасности государства и общества
Курсовая работа по теме Государственное регулирование экономики в Республике Беларусь
Отчет По Практике В Молочном Заводе
Реферат: Great Gatsby And Life And Loves Of
Курсовая Работа На Тему Финансирование Медицинских Учреждений В Условиях Бюджетно-Страховой Модели Функционирования Здравоохранения
Реферат: Влияние экологии водоемов на биологическое разнообразие фауны
Курсовая работа: Происхождения и сущность государства. Скачать бесплатно и без регистрации
Доклад: Стрекозы
Реферат: HTML в Internet
Реферат: Реформы в экономике России в 60-х - 80-х годах, достижения и неудачи