Реферат Дар Мавзуи Эллипс Гипербола Парабола
Реферат Дар Мавзуи Эллипс Гипербола Парабола
Вы здесь:
Home
Аналитическая геометрия
Эллипс, гипербола, парабола. Директориальное свойство эллипса и гиперболы.
Гипербола с каноническим уравнением \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1, a,b>0, и меет форму изображенную на рисунке.
© 2020 Математический портал. Высшая математика. Математический анализ.. Все права защищены.
Joomla! - бесплатное программное обеспечение, распространяемое по лицензии GNU General Public License.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Эллипс с каноническим уравнением x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , a ≥ b > 0 , и меет форму изображенную на рисунке.
Параметры a и b называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно). Точки A 1 ( − a , 0 ) , A 2 ( a , 0 ) , B 1 ( 0 , − b ) , и B 2 ( 0 , b ) , его вершинами. Оси симметрии O x и O y - главными осями а центр симметрии O − центром эллипса.
Точки F 1 ( − c , 0 ) и F 2 ( c , 0 ) , где c = √ a 2 − b 2 ≥ 0 , называются фокусами эллипса векторы ¯ F 1 M и ¯ F 2 M − фокальными радиус-векторами, а числа r 1 = | ¯ F 1 M | и r 2 = | ¯ F 2 M | − фокальными радиусами точки M , принадлежащей эллипсу. В частном случае a = b фокусы F 1 и F 2 совпадают с центром, а каноническое уравнение имеет вид x 2 a 2 + y 2 a 2 = 1 , или x 2 + y 2 = a 2 , т.е. описывает окружность радиуса a с центром в начале координат.
Число e = c a = √ 1 − b 2 a 2 ( 0 ≤ e < 1 ) называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его "сплюснутости" (при e = 0 эллипс является окружностью.)
Прямые D 1 : x = − a / e и D 2 : x = a / e , перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии a / e от центра, называются директрисами эллипса.
Теорема. ( Директориальное свойство эллипса)
Эллипс является множеством точек, отноше ние расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно и равно e .
2.246. Построить эллипс 9 x 2 + 25 y 2 = 225. Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис.
Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:
9 x 2 + 25 y 2 = 225 | : 225 ⇒ 9 x 2 225 + 25 y 2 225 = 1 ⇒
⇒ x 2 25 + y 2 9 = 1 ⇒ x 2 5 2 + y 2 3 2 = 1.
б) Фокусы найдем по формулам F 1 ( − c , 0 ) и F 2 ( c , 0 ) , где c = √ a 2 − b 2 :
c=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\Rightarrow F_1(-4, 0),\qquad F_2(4, 0).
в) Эксцентриситет e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}.
г) Уравнения директрис находим по формулам D_1: x=-a/e и D_2: x=a/e:
D_1: x=-\frac{5}{4/5}=-\frac{25}{4} и D_2: x=\frac{5}{4/5}=\frac{25}{4}.
Ответ: а) a=5, b=3; б) F_1(-4, 0),\qquad F_2(4, 0); в) e=\frac{4}{5}; г) D_1: x=-\frac{25}{4} и D_2: x=\frac{25}{4}.
2.249 (a). Установить, что уравнение 5x^2+9y^2-30x+18y+9=0 определяет эллипс, найти его центр C, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис.
Приведем уравнение эллипса к каноническому виду, для этого выделим полные квадраты:
5x^2+9y^2-30x+18y+9=(5x^2-30x)+(9y^2+18y)+9=
5(x^2+6x+9-9)+9(y^2+2y+1-1)+9=5(x+3)^2-45+9(y+1)^2-9+9=
5(x+3)^2+9(y+1)^2-45=0\Rightarrow5(x+3)^2+9(y+1)^2=45|:45\Rightarrow
\frac{(x+3)^2}{9}+\frac{(y+1)^2}{5}=1\Rightarrow\frac{(x+3)^2}{3^2}+\frac{(y+1)^2}{(\sqrt 5)^2}=1.
Это уравнение эллипса. Центр имеет координаты C=(x_0, y_0)=(-3, -1); полуоси a=3, b=\sqrt 5.
c=\sqrt{a^2-b^2}\Rightarrow c=\sqrt{9-5}=\sqrt 4=2\Rightarrow e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}.
Уравнения директрис для эллипса с центром в начале координат находим по формулам D_1: x=-a/e и D_2: x=a/e:
D_1: x=-\frac{3}{2/3}=-\frac{9}{2} и D_2: x=\frac{3}{2/3}=\frac{9}{2}. Поскольку у заданного эллипса центр смещен, то директриссы будут иметь уравнения D_1: x=x_0-a/e и D_2: x=x_0+a/e:
D_1: x=3-\frac{9}{2}=\frac{6-9}{2}=-\frac{3}{2}\Rightarrow 2x+3=0 D_2: x=3+\frac{9}{2}=\frac{6+9}{2}=\frac{15}{2}\Rightarrow2x-15=0.
Ответ: C=(x_0, y_0)=(-3, -1); a=3, b=\sqrt 5; e=\frac{2}{3}. D_1:2x+3=0, D_2: 2x-15=0.
2.252. Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными осми, проходят через точки M_1(2, \sqrt 3) и M_2(0, 2). Написать его уравнение, найти фокальные радиусы точки M_1 и расстояния этой точки до директрис.
Поскольку оси эллипса совпадают с координатными осями, то центр эллипса совпадает с началом координат. Следовательно, из того, что точка (0, 2) принадлежит эллипсу, можно сделать вывод, что b=2.
Далее, чтобы найти a, подставим найденное значение b и координаты точки M_1(2, \sqrt 3) в каноническое уравнение эллипса \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1:
\frac{2^2}{a^2}+\frac{(\sqrt 3)^2}{2^2}=1\Rightarrow \frac{4}{a^2}+\frac{3}{4}=1\Rightarrow \frac{4}{a^2}=\frac{1}{4}\Rightarrow a^2=16\Rightarrow a=4.
Таким образом, уравнение эллипса \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1.
c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt 3\Rightarrow F_1(-2\sqrt 3, 0),\,\,\, F_2(2\sqrt 3, 0).
Отсюда находим \overline {F_1M_1}=(2+2\sqrt 3, \sqrt 3), \overline{F_2M_1}=(2-2\sqrt 3, \sqrt 3).
Соответственно, r_1=|\overline {F_1M_1}|=\sqrt{(2+2\sqrt 3)^2+ (\sqrt 3)^2}=\sqrt{4+8\sqrt 3+12+3}= =\sqrt{16+8\sqrt 3+3}=\sqrt{(4+\sqrt 3)^2}=4+\sqrt 3,
r_2=|\overline {F_2M_1}|=\sqrt{(2-2\sqrt 3)^2+ (\sqrt 3)^2}=\sqrt{4-8\sqrt 3+12+3}= =\sqrt{16-8\sqrt 3+3}=\sqrt{(4-\sqrt 3)^2}=4-\sqrt 3.
Чтобы найти расстояния от точки M_1 до директрис, найдем уравнения директрис по формулам D_1: x=-a/e и D_2: x=a/e:
e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt 3}{4}=\frac{\sqrt 3}{2};
D_1: x=-\frac{4}{\frac{\sqrt 3}{2}}=-\frac{8}{\sqrt 3}\Rightarrow \sqrt 3 x+8=0;
D_2: x=\frac{4}{\frac{\sqrt 3}{2}}=\frac{8}{\sqrt 3}\Rightarrow \sqrt 3 x-8=0.
Расстояние от точки P(x_0, y_0) до прямой L: Ax+By+C=0 вычисляется по формуле d=\left|\frac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|.
Таким образом, расстояние от точки M_1(2, \sqrt 3) до прямой D_1: \sqrt 3 x+8=0
d_1=\left|\frac{2\sqrt 3+8}{\sqrt{(\sqrt 3)^2}}\right|=\frac{2\sqrt 3+8}{\sqrt 3};
расстояние от точки M_1(2, \sqrt 3) до прямой D_2: \sqrt 3 x-8=0
d_2=\left|\frac{2\sqrt 3-8}{\sqrt{(\sqrt 3)^2}}\right|=\frac{8-2\sqrt 3}{\sqrt 3}.
Ответ: \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1, r_1=4+\sqrt 3, r_2=4-\sqrt 3, d_1=\frac{8+2\sqrt 3}{\sqrt 3}, d_2=\frac{8-2\sqrt 3}{\sqrt 3}.
Параметры a и b называются полуосями гиперболы. Точки A_1(-a, 0), A_2(a, 0) - ее вершинами. Оси симметрии Ox и Oy - действительной и мнимой осями а центр симметрии O - центром гиперболы.
Прямые y=\pm\frac{b}{a}x являются асимптотами гиперболы.
Точки F_1(-c, 0) и F_2(c, 0), где c=\sqrt{a^2+b^2}\geq 0, называются фокусами гиперболы, векторы \overline{F_1M} и \overline{F_2M} - фокальными радиус-векторами, а числа r_1=|\overline{F_1M}| и r_2=|\overline{F_2M}| - фокальными радиусами точки M, принадлежащей гиперболе.
Число e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} \,\, (10, и меет форму изображенную на рисунке.
Число p называется параметром параболы. Точка O - ее вершиной, а ось Ox - осью параболы.
Точка F\left(\frac{p}{2}, 0\right) называется фокусом параболы, вектор \overline{FM} - фокальным радиус-векторам, а число r=|\overline{FM}| - фокальным радиусом точки M, принадлежащей параболе.
Прямая D: x=-p/2 перпендикулярная оси и проходящая на расстоянии p/2 от вершины параболы, называется ее директрисой.
2.285 (а). Построить параболу y^2=6x и найти ее параметры.
Параметр p параболы можно найти из канонического уравнения y^2=2px:
y^2=6x\Rightarrow y^2=2\cdot 3x\Rightarrow p=2.
2.286 (а). Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси Ox и p=1/2.
Поскольку парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси Ox, то уравнение параболы будет иметь вид y^2=-2px. Подставляя заданное значение параметра, находим уравнение параболы:
2.288 (а). Установить, что уравнение y^2=4x-8 определяет параболу, найти координаты ее вершины A и величину параметра p.
Уравнение параболы, центр которой сдвинут в точку (x_0, y_0), имеет вид (y-y_0)^2=2p(x-x_0)^2.
Приведем заданное уравнние к такому виду:
Таким образом, y^2=4(x^2-2) - парабола с центром в точке (0, 2). Параметр p=2.
2.290. Вычислить фокальный параметр точки M параболы y^2=12x, если y(M)=6.
Чтобы найти фокальный параметр точки M, найдем ее координаты. Для этого подставим в уравнение параболы координату y: 6^2=12x\Rightarrow 36=12x\Rightarrow x=3.
Таким образом, точка M имеет координаты (3, 6).
Из уравнения параболы y^2=12x находим параметр параболы: y^2=2\cdot 6x\Rightarrow p=6. Следовательно фокус параболы имеет координаты F(3, 0).
Далее находим фокальный параметр точки:
2.298. Из фокуса параболы y^2=12x под острым углом \alpha к оси Ox направлен луч света, причем tg\alpha=\frac{3}{4}. Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы.
Найдем координаты фокуса. Из канонического уравнения параболы y^2=2px находим параметр: y^2=12x=2\cdot 6x\Rightarrow p=6.
Координаты фокуса F(p/2, 0)\Rightarrow F(3,0).
Далее находим уравнение прямой, которая проходит через точку (3, 0) под углом \alpha: tg\alpha=\frac{3}{4} к оси OX. Уравнение ищем в виде y=kx+b, где k=tg\alpha=\frac{3}{4}.
Чтобы найти b, в уравнение прямой подставим координаты точки (3, 0):
0=\frac{3}{4}\cdot 3+b\Rightarrow b=-\frac{9}{4}. Таким образом, уравнение луча, направленного из фокуса y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}.
Далее, найдем точку пересечения найденной прямой с параболой:
\left\{\begin{array}{lcl}y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}\\y^2=12x\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}3x-4y-9=0\\x=\frac{y^2}{12}\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}\frac{3y^2}{12}-4y-9=0\\x=\frac{y^2}{12}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{lcl}y^2-16y-36=0\\x=\frac{y^2}{12}\end{array}\right.
y_1=\frac{16+20}{2}=18\qquad y_2=\frac{16-20}{2}=-2.
Поскольку по условию луч падает под острым углом, то мы рассматриваем только положительную координату y=18. Соответствующее значение x=\frac{18^2}{12}=\frac{324}{12}=27.
Таким образом, луч пересекает параболу в точке (27, 18).
Далее найдем уравнение касательной к параболе в найденной точке (27, 18) по формуле (y-y_0)=y'(x_0)(x-x_0):
y=\sqrt{12x}\Rightarrow y'=\sqrt {12}\frac{1}{2\sqrt x}=\frac{\sqrt 3}{\sqrt{x}}\Rightarrow
\Rightarrow y'(27)=\frac{\sqrt 3}{\sqrt{ 27}}=\frac{1}{3}.
Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:
y-18=\frac{1}{3}(x-27)\Rightarrow 3y-54=x-27\Rightarrow x-3y+27=0.
Далее, найдем угол \beta между лучем y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4} и касательной x-3y+27=0. Для этого оба уравнения запишем в виде y=k_1x+b_1 и y=k_2+b_2 угол вычислим по формуле tg(L_1, L_2)=\frac{k_1-k_2}{1+k_1\cdot k_2}
L_1: y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}\Rightarrow k_1=\frac{3}{4};
L_2: x-3y+27=0\Rightarrow y=\frac{1}{3}x+9\Rightarrow k_2=\frac{1}{3}.
tg \beta=tg(L_1, L_2)=\frac{\frac{3}{4}-\frac{1}{3}}{1+\frac{3}{4}\frac{1}{3}}=\frac{\frac{5}{12}}{\frac{5}{4}}=\frac{1}{3}.
Легко увидеть, что угол между лучем L_1, направленным из фокуса и его отражением равен \pi-2\beta, а угол между отраженным лучем и осью Ox \pi-(\pi-2\beta)-\alpha=2\beta-\alpha.
Зная tg\beta=\frac{1}{3} и tg\alpha=k_1=\frac{3}{4} и вспоминая формулы для двойного угла тангенса и тангенс разности, находим tg(2\beta-\alpha):
tg 2\beta=\frac{2tg\beta}{1-tg^2\beta}=\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}}=\frac{3}{4}.
tg(2\beta-\alpha)=\frac{tg2\beta-tg\alpha}{1+tg2\beta tg\alpha}=\frac{\frac{3}{4}-\frac{3}{4}}{1+\frac{3}{4}\frac{3}{4}}=0. Следовательно, прямая, содержащая отраженный луч параллельна оси Ox. Так как она проходит через точку (27, 18), то можно записать ее уравнение y=18.
Эллипс , гипербола , парабола . Директориальное свойство...
Кривые второго порядка. Реферат . Математика. 2010-08-11
Кривые второго порядка. Эллипс , гипербола и
Замечательные кривые: Эллипс , гипербола , парабола ...
Реферат Гипербола (математика)
Темы Итогового Сочинения Я И Другие Примерные
Реферат Достопримечательности Рб
Реферат На Тему Современные Виды Конкуренции
Ана Тили Эссе Казакша
Материал По Направлениям Сочинения 2021