Реферат: Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

обыкновенных дифференциальных уравнений (4 часа)
При решении многих физических и геометрических задач приходится искать неизвестную функцию по данному соотношению между неизвестной функцией, ее производными и независимыми переменными. Такое соотношение называется дифференциальным уравнением

, а отыскание функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению, называется решением дифференциального уравнения.


Обыкновенным дифференциальным уравнением

называется равенство
в котором - независимая переменная, изменяющаяся в некотором отрезке , а - неизвестная функция y
(
x
)
и ее первые n
производные.
Число называется порядком уравнения

.
Задача заключается в нахождении функции y, удовлетворяющей равенству (1). Более того, не оговаривая это отдельно, будем предполагать, что искомое решение обладает той или иной степенью гладкости, необходимой для построения и «законного» применения того или иного метода.
Различают два типа обыкновенных дифференциальных уравнений
- уравнения с начальными условиями.
Уравнения без начальных условий - это уравнение вида (1).
Уравнение с начальными условиями
- это уравнение вида (1), в котором требуется найти такую функцию , которая при некотором удовлетворяет следующим условиям:
т.е. в точке функция и ее первые производных принимают наперед заданные значения.
При изучении способов решения дифференциальных уравнений приближенными методами основной задачей
считается задача Коши.

Рассмотрим наиболее популярный метод решения задачи Коши – метод Рунге-Кутта. Этот метод позволяет строить формулы расчета приближенного решения практически любого порядка точности.
Выведем формулы метода Рунге-Кутта второго порядка точности. Для этого решение представим куском ряда Тейлора, отбрасывая члены с порядком выше второго. Тогда приближенное значение искомой функции в точке x
1

можно записать в виде:
Вторую производную y
"(
x
0

)
можно выразить через производную функции f
(
x
,
y
)
, однако в методе Рунге-Кутта вместо производной используют разность
соответственно подбирая значения параметров
y
1

=
y
0

+
h
[
β
f
(
x
0

,
y
0

) +
α
f
(
x
0

+
γh
,
y
0

+
δh
)],
(3)
где α
,
β
,
γ
и δ
– некоторые параметры.
Рассматривая правую часть (3) как функцию аргумента h
,
разложим ее по степеням h
:

y
1

=
y
0

+(
α
+
β
)
h
f
(
x
0

,
y
0

) +
αh
2

[
γ
f x

(
x
0

,
y
0

) +
δ
f y

(
x
0

,
y
0

)],

и выберем параметры α
,
β
,
γ
и δ
так, чтобы это разложение было близко к (2). Отсюда следует, что
α
+
β
=1,
αγ
=0,5,
α
δ
=0,5
f
(
x
0

,
y
0

).

С помощью этих уравнений выразим β
,
γ
и δ
через параметры α
,
получим
y
1

=
y
0

+
h
[(1 -
α
)
f
(
x
0

,
y
0

) +
α
f
(
x
0

+ ,
y
0

+
f
(
x
0

,
y
0

)],
(4)
Теперь, если вместо ( x
0

,
y
0

) в (4) подставить ( x
1

,
y
1

), получим формулу для вычисления y
2

–
приближенного значения искомой функции в точке x
2

.

В общем случае метод Рунге-Кутта применяется на произвольном разбиении отрезка [
x
0

,
X
]
на n
частей, т.е. с переменным шагом
x 0
, x 1
, …,x n
; h i
= x i+1
– x i
, x n
= X.
(5)
Параметры α
выбирают равными 1 или 0,5. Запишем окончательно расчетные формулы метода Рунге-Кутта второго порядка с переменным шагом для α
=1:

y i+1
=y i
+h i
f(x i
+

, y i
+

f(x i
, y i
)),
(6.1)
y i+1
=y i
+ [f(x i
, y i
) + f(x i
+ h i
, y i
+ h i
f(x i
, y i
))],
(6.2)
Наиболее употребляемые формулы метода Рунге-Кутта – формулы четвертого порядка точности:
y i+1
=y i
+

(k 1
+ 2k 2
+ 2k 3
+ k 4
),

k 1
=f(x i
, y i
), k 2
= f(x i
+

, y i
+

k 1
),
(7)
k 3
= f(x i
+

, y i
+

k 2
), k 4
= f(x i
+h, y i
+hk 3
).

Для метода Рунге-Кутта применимо правило Рунге для оценки погрешности. Пусть y
(
x
;
h
)
– приближенное значение решения в точке x
,
полученное по формулам (6.1), (6.2) или (7) с шагом h
,
а p
–
порядок точности соответствующей формулы. Тогда погрешность R
(
h
)
значения y
(
x
;
h
)
можно оценить, используя приближенное значение y
(
x
; 2
h
)
решения в точке x
,
полученное с шагом 2
h
:

где p
=2
для формул (6.1) и (6.2) и p
=4
для (7).
В алгоритмах с автоматическим выбором шага предварительно задают погрешность в виде положительного параметра ε, и на каждом этапе вычисления следующего значения y i

+1

подбирают такой шаг h
,
при котором выполняется неравенство
Метод Рунге-Кутта применим и к задаче Коши для системы m
дифференциальных уравнений первого порядка с m
неизвестными функциями
y 1
(x 0
)=y 1,0
, y 2
(x 0
)=y 2,0
,…, y m
(x 0
)=y m,0
.
(12)
Приведем для задачи (11), (12) расчетные формулы метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Пусть требуется найти систему m
функций y
1

(
x
),
y
2

(
x
),…,
y m

(
x
),
удовлетворяющих в интервале (
x
0

,
X
)
дифференциальным уравнениям (11), а в точке x
0

– начальным условиям (12). Предположим, что отрезок [
x
0

,
X
]
разбит на N
частей:
Тогда каждую l
-ю функцию y l

(
x
)
можно приближенно вычислять в точках x i

+1

по формулам Рунге-Кутта
K l,1
=f l
(x i
, y 1,i
, y 2,i
,…,y m,i
), i=1, 2, …, m,

K l,2
=f l
(x i
+ , y 1,i
+ K 1,1
, y 2,i
+ K 2,1
,…,y m,i
+ K m,1
), i=1, 2, …, m,

K l,3
=f l
(x i
+ , y 1,i
+ K 1,2
, y 2,i
+ K 2,2
,…,y m,i
+ K m,2
), i=1, 2, …, m,
(13)
K l,4
=f l
(x i
+ h, y 1,i
+ hK 1,3
, y 2,i
+ hK 2,3
,…,y m,i
+ hK m,3
), i=1, 2, …, m,

Y l,i+1
= y l,i
+ ( K l,1
+ 2 K l,2
+ 2 K l,3
+ K l,4
), i=1, 2, …, m,

Здесь через y l

,

i

обозначается приближенное значение функции y l

(
x
)
в точке x i

.
Обратите внимание
на порядок вычислений по формулам (13). На каждом шаге сначала вычисляются коэффициенты K l

,

i

в следующем порядке:
и лишь затем приближенные значения функций y
1,

i

+1

,
y
2,

i

+1

,…,
y m

,

i

+1

.

Задачи Коши для дифференциальных уравнений n
-го порядка
y (n)
=f(x, y, y', …, y (n-1)
), x (x 0
, X),
(14)
y(x 0
)=y 0
, y'(x 0
)=y 1,0
, …, y (n-1)
(x 0
)=y n-1,0

(15)
сводятся к задаче Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка с помощью замены переменных
z
0

=
y
,
z
1

=
y
',…
,
z n-1

=
y (n-1)

.
(16)
Учитывая (16), из уравнения (14) получим систему дифференциальных уравнений
Начальные условия (15) для функций z l

переписываются в виде
z 0
(x 0
)= y 0
, z 1
(x 0
)= y 1,0
,…, z n-1
(x 0
)= y
п

-1,0

.
(18)
Запишем для полученной системы метод Рунге-Кутта:
z l,i+1
= z l,i
+

(K l,1
+ 2K l,2
+ 2K l,3
+ K l,4
),
(19)
i
=0, 1, …,
N
,
l
=0, 1, …,
n
-1.

Для вычисления коэффициентов K l

,1

,
K l

,2

,
K l

,3

и K l

,4

имеем следующие формулы:
K n-1,1
= f(x i
, z 0,i
, z 1,i
,…, z n-1,i
,),

K 1

,2

=
z 2

,

i

+
K 2

,1

,

K n-1,2
= f(x i
+ , z 0,i
+ K 0,1
, z 1,i
+ K 1,1
,…, z n-1,i
+ K n-1,1
),

K n-1,3
= f(x i
+ , z 0,i
+ K 0,2
, z 1,i
+ K 1,2
,…, z n-1,i
+ K n-1,2
),

K n-1,4
= f(x i
+ h, z 0,i
+ hK 0,2
, z 1,i
+ hK 1,2
,…, z n-1,i
+ hK n-1,2
).

1. Написать файл-функции для решения поставленных далее задач.
2. Сохранить их в отдельных m-файлах (среда Матлаб)
3. Выполнить и оформить в виде отчета поставленные далее задачи.
Задача №
1
. Решить задачу Коши на отрезке [x 0
,X] методом Рунге-Кутта четвертого порядка, применяя деление отрезка на N частей. Оценить погрешность.
Задача №
2
. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения сведением к задачи Коши для системы уравнений первого порядка.
Найти методом Рунге-Кутта с точностью ε = 10 -8

решение задачи Коши y
'(
x
)=2
x
(1+
y
2

),
y
(0)=0
в точке x
=1
.
(Точным решением является функция y
(
x
)=
tg
(
x
2

)
)
Решить методом Эйлера на отрезке [1, 2] задачу Коши
(Точным решением данной задачи является функция y
(
x
)=
tg
(
ln
).

1. Какое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением?
2. Какие методы решения задач для дифференциальных уравнений вы знаете?
3. В каком случае решение дифференциального уравнения единственно?
4. Рассказать правило Рунге для оценки погрешности.

Название: Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 01:55:00 23 июня 2011 Похожие работы
Просмотров: 435
Комментариев: 13
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Доклад по теме Методы исследования в социологии
Реферат по теме Литература - Гигиена (ПОЧВА)
Характеристики По Педагогической Практике
Дипломная Работа На Тему Антифеодальні Виступи Селян В Україні У Другій Половині Xvi – Першій Половині Xvii Ст.
Курсовая работа: Хозяйственная деятельность предприятия
Отчет По Практике На Тему Практика На Торговом Предприятии
Курсовая Работа На Тему Продуктивность Коров В Зависимости От Метода Подбора
Декабристы Дискуссия В Исторической Науке Реферат
Обучающее Сочинение По Картине Золотая Осень
Жизненные Ценности Сочинение 9.3 Шахназаров
Дипломная работа по теме Использование статистических функций в математическом пакете MathCAD
Профилактика Тромбозов И Эмболий Реферат
Профессиональная Деятельность Эссе
Курсовая работа по теме Эмоции (виды, особенности, подходы к изучению)
Гипотезы Происхождения Нефти Реферат
Реферат по теме Сутність факторингу
Реферат На Тему Искусственные Клапаны Сердца
Дипломная работа по теме Специфика политики А. Македонского в восточном походе
Курсовая работа: Когнитивные основания формирования системы культурных концептов в управленческой коммуникации
Реферат: Базы данных Microsoft Access. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Технологический процесс сборки и сварки изделия СУШИЛКА
Реферат: Зарубежные субъекты инвестиционной деятельности
Реферат: Особенности метода генетического анализа Менделя