Реферат: Аксиоматика векторного пространства
👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Среди векторных
соотношений
можно выделить
несколько
важных соотношений,
называемых
здесь основными.
Эти основные
соотношения
являются, образно
выражаясь,
ключами к решению
широкого класса
задач.
I Основное
соотношение.
Во
всяком треугольнике
ЛВС выполняется
равенство
Где
М
– центроид
(точка пересечения
медиан) треугольника
АВС .
П усть
М – центроид
треугольника
АВС . Соединим
точку М со
всеми вершинами
треугольника.
Прямая МВ
пересекает
сторону АС
треугольника
АВС в точке
О , являющейся
серединой
стороны АС .
На прямой ВМ
откладываем
МЕ = ВМ и
соединяем точку
Е с вершинами
А и С . очевидно,
что АМСЕ
–параллелограмм.
Поэтому
.
Откуда
.
Так как
,
то
.
Ч.т.д.
Задача. Доказать,
что если М
– центроид
треугольника
АВС
и О
-произвольная
точка пространства,
то выполняется
равенство
Запишем
следующие
векторные
равенства:
Сложив эти
равенства по
частям, получаем:
Доказанное
равенство также
следует отнести
к основным
векторным
соотношениям,
так как оно
часто используется
в решении многих
задач.
II
Основное соотношения.
В
треугольнике
АВС
на стороне АС
взята точка
D
так, что А D
: D С
= m
: n .
Тогда имеет
месть следующее
соотношение:
З адача.
Через середину
Е
медианы СС 1
треугольника
АВС
проведена
прямая АЕ ,
пересекающая
сторону ВС
в точке F .
Вычислить АЕ
: Е F
и С F
: F В .
Введем
векторы
и
.
Пусть
С F
: F В
= m
: n .
Тогда по формуле
(II)
имеем:
С другой
стороны, учитывая,
что Е
– середина
медианы СС 1
получаем для
АЕ
следующее
выражение:
В силу единственности
разложения
вектора по двум
векторам из
(1) и (2) получаем
систему:
Разделив
по частям первое
уравнение
системы (3) на
второе, получаем,
что m
: n
= 1 : 2, т.е. С F
: F В
= 1 : 2.
Сложив
по частям уравнение
системы (3), находим,
что
,
т.е. AE : EF = 3
: 4
I II
Основное соотношение.
Если точки М
и N
делят отрезки
АВ
и CD
соответственно
в равных отношениях
так, что AM
: MB
= CN
: ND
= m
: n ,
то выполняется
равенство.
Для
доказательства
равенства
(III) мы
воспользуемся
формулой (II).
Запишем, что
отрезки АВ
и CD
могут произвольно
располагаться
относительно
друг друга
(например, они
могут лежать
на скрещивающихся
прямых и на
прямых, принадлежащих
одной плоскости).
Пусть
О
- произвольная
точка, не принадлежащая
ни отрезку АВ ,
ни отрезку CD .
Соединим точку
О
с точками А ,
М ,
В ,
С ,
N
и D
и раcсмотрим
векторы
и
.
Задача.
На прямой m
даны три точки
Р ,
Q ,
R ,
а на прямой m 1
-три точки P 1 ,
Q 1 ,
R 1
причем
,
.
Доказать,
что середины
отрезков PP 1 ,
QQ 1
и
RR 1
принадлежат
одной прямой.
Пусть
М ,
N
и К
- середины отрезков
РР 1
QQ 1
и RR 1
соответственно.
На
основании
(III)
запишем следующие
векторные
равенства:
Из
(1) и (2) следует,
что векторы
и
коллинеарные.
А так как начало
одного из них
является концом
другого, то
точки М ,
N
и К
принадлежат
одной прямой.
IV
Основное соотношение.
Дан тетраэдр
ABCD
и в
плоскости
его грани ABC
точка
М .
Доказать, что
для разложения
Д опустим,
что точка М
лежит внутри
треугольника
ABC .
Проведем через
точки А
и М
прямую, которая
пересекает
сторону ВС
в точке Е .
Пусть Е
делит сторону
ВС
в отношении
m
: n ,
т.е.
Пусть
далее точка
М
делит отрезок
АЕ
в отношении
p
: q ,
т.е. AM : ME = p : q .
Тогда
2. Применение
векторов к
решению геометрических
задач
В ряде случаев
при решении
задач на вычисление
применение
векторов
предпочтительнее
конструктивных
подходов, связанных
с использованием
дополнительных
построений,
применения
элементарной
алгебры и
тригонометрии.
Чтобы успешно
решать геометрические
задачи посредством
векторов, требуется
не только знание
законов векторной
алгебры, знакомство
с понятием
разложения
вектора в базисе
, умение переводить
геометрический
факт на язык
векторов, но
и определенная
методика при
составлении
плана решения.
Отметим несколько
важных положений.
1. Если требуется
вычислить
расстояние
или угол, то
надо применять
скалярное
умножение
векторов.
2. При введение
векторов можно
идти двумя
путями:
а) выбрать
точку от которой
откладывается
известные
векторы;
б) векторы
изображать
направленными
отрезками,
связанными
с рассматриваемыми
в задаче фигурами,
не откладывая
их от одной
точки.
3. Если задача
планиметрическая,
то целесообразно
выделить два
неколлинеарных
вектора в качестве
базисных и
остальные
векторы выразить
через них; если
же задача
стереометрическая,
то в качестве
базиса следует
выбрать три
некомпланарных
вектора. При
этом введение
начальной точки
необязательно.
4. В ряде случаев,
например при
решении задач
на многогранные
углы,
вычисления
упрощаются,
если ввести
единичные
векторы, отложенные
от вершины
многогранного
угла.
Примеры
задач, решаемых
векторным
методом.
З адача.
Вычислить тупой
угол, образованный
медианами,
проведенными
из вершин острых
углов равнобедренного
прямоугольного
треугольника.
Вектор
есть
разность векторов
и
,
т.е.
(т.к.
).
Угол
между
векторами
находится по
формуле:
длины
векторов
и
найдем по теореме
Пифагора.
Задача.
На ребрах
прямоугольного
трехгранного
угла с вершиной
О
отложены равные
отрезки ОА ,
ОВ ,
ОС .
Из точки О
на плоскости
ABC
опущен перпендикуляр
ОН .
Доказать, что
если точка Н 1
симметрична
точке Н
относительно
вершины О ,
то тетраэдр
Н 1
ABC
правильный.
Примем
вершину О
трехгранного
угла за начало
векторов. Тогда
Это
значит , что
отрезки H 1 A
и H 1 B
равны и образуют
угол 60°, т.е. треугольник
H 1 AB
правильный.
Аналогично
устанавливается,
что две другие
грани H 1 BC
и H 1 CA
являются
равносторонними
треугольниками
и вследствие
этого тетраэдр
правильный.
Задача.
Доказать, что
можно построить
треугольник,
стороны которого
равны и параллельна
медианам данного
треугольника
ABC .
О бозначим
середины сторон
ВС ,
СА
и АВ
соответственно
А’ ,
B ’ ,
C ’ .
Выразим векторы,
представляющие
медианы треугольника
ABC ,
через
,
,
(через стороны
данного треугольника):
Составим
сумму сторон
треугольника
ABC
Но так
как векторы
и
образуют
данный треугольник
ABC ,
то их сумма
равна нулю,
следовательно,
и
.
А это значит,
что из векторов
можно построить
треугольник.
З адача.
В треугольнике
ABCD
точка
Е
и F
– середина
рёбер АВ
и CD
соответственно.
Доказать, что
середины отрезков
СЕ ,
DE ,
AF
и
BF
являются
вершинами
параллелограмма.
Решение.
Пусть К ,
L ,
М ,
N
- середины отрезков
СЕ ,
DE ,
AF
и BF ,
соответственно.
Доказать, что
середины отрезков
СЕ ,
DE ,
AF
и BF
являются вершинами
параллелограмма.
Докажем
равенство
векторов
и
,
выразив
их через векторы
,
,
,
,
где
О
– произвольная
точка.
Задача.
Точки К ,
L ,
M
на сторонах
АС ,
ВС ,
АВ
треугольника
ABC
таковы, что
,
N
– середина
сторона АС .
Найти отношение
в котором точка
пересечения
отрезков KL
и MN
делит отрезок
KL .
Обозначим
через О
точку пересечения
отрезков MN
и KL
и через х
отношение KO
: KL .
Тогда
.
Учитывая, что
L
– середина МС
и
,
получаем
Так
как точка О
лежит на прямой
MN ,
то
.
Откуда
.
Значит,
.
З адача.
Отрезки DA 1 ,
DB 1 ,
DC 1
– медианы граней
BCD ,
ACD
и ABD
тетраэдра ABCD
соответственно.
Точки К ,
М ,
N
делят отрезки
DA 1 ,
DB 1 ,
DC 1
в
отношении
,
.
В каком отношении
плоскость KMN
делит ребра
DA
и DB
?
Пусть
плоскость KMN
пересекает
ребра DA ,
DB
и DC
тетраэдра ABCD
в точках Р ,
Q ,
R
соответственно.
Точки
А 1 ,
В 1 ,
С 1
–
середины отрезков
ВС ,
АС ,
АВ
соответственно.
Следовательно,
Решив эту
систему, (например,
сложив (1) и (2), и
вычтя (3) получим
,
и, т.к. точки К ,
М ,
N ,
Р
лежат в одной
плоскости, то
Задача.
Основанием
пирамиды SABC
является
равносторонний
треугольник
ABC ,
длина стороны
которого равна
.
Боковое ребро
SC
перпендикулярно
плоскости
оснований и
имеет длину
2. Найти угол
между прямыми,
одна из которых
проходит через
точку S
и середину
ребра ВС ,
а друга проходит
через точку
С
и середину
ребра АВ .
Выберем
в качестве
базиса векторы
,
и
.
Задача.
Каждое ребро
призмы ABCA 1 B 1 С 1
равно 2.
Точки
М
и N
– середины
ребер АВ
и A 1 А .
Найти расстояние
от точки М
до прямой CN ,
если известно,
что угол A 1 A С
paвeн
60° и прямые A 1 A
и АВ
перпендикулярны.
Рассмотрим
базис, состоящий
из векторов
,
,
и
составим таблицу
умножения для
этих векторов.
Р асстояние
от точки М
до прямой CN
равно расстоянию
от точки М
до её проекции
на прямую CN .
Пусть
Р
– проекция
точки М
на прямую CN .
Поскольку
прямые
и
перпендикулярны,
то
т.е.
Раскрывая
скобки и пользуясь
таблицей умножения
для нашего
базиса, получаем:
.
Снова
раскрывая
скобки и пользуясь
таблицей умножения,
находим
.
Таким
образом, расстояние
от точки М
до прямой
равно
.
Задача.
В параллелограмма
ABCD
точка К
– середина
стороны ВС ,
а точка М
– середина
стороны CD .
Найдите AD ,
если АК
= 6,
АМ
= 3, угол КАМ = 60°.
В
качестве базиса
выберем векторы
и
и составим
таблицу умножения
для векторов
этого базиса.
Так
как X
– середина ВС ,
М
– середина CD ,
то
и
,
и
получаем систему:
Задача.
Ребра СА ,
СВ ,
СС ,
треугольной
призмы ABCA 1 В 1 С 1
равны, соответственно
2, 3 и 4 образуют
между собой
углы
ACB
=
90°,
AC С 1 = 45°
и
BCC 1
= 60°. Найдите объём
призмы.
Пусть
отрезок С 1 О
является высотой
данной призмы.
Тогда
Для
того, чтобы
найти высоту
С 1 О ,
выберем в качестве
базиса векторы
Разложим
вектор C 1 O
по векторам
.
Получим:
,
где
,
а
.
Коэффициенты
х ,
у
находим из
условий перпендикулярности
вектора C 1 O
с векторами
.
С помощью
векторов можно
решать не только
геометрические
задачи, но и
доказывать
алгебраические
неравенства.
Так
как
,
,
то, учитывая
неравенство
,
получим
.
II.
Докажем, что
для любых
неотрицательных
чисел a ,
b ,
c
справедливо
неравенство:
§1. Аксиоматика
векторного
пространства
Характеризация
векторного
пространства,
как математической
структуры
осуществляются
рядом аксиом.
Основные
понятия теории:
"вектор", "сумма
двух векторов",
"произведение
вектора на
действительное
число".
Косвенным
определением
основных понятий
теории векторного
пространства
являются следующие
аксиомы:
I.
Для любых векторов
и
существует
единственный
третий вектор
,
называемый
их суммой
б)
существование
суммы двух
векторов
и
;
Данная
аксиома вводит
на множестве
векторов V
операцию
которая
называется
сложением двух
векторов.
II.
Сложение векторов
коммутативно,
т.е.
III.
Сложение векторов
ассоциативно,
т.е.
IV.
Существует
вектор
такой, что
для любого
вектора,
т.е.
Определение
1.1. Вектор
,
удовлетворяющий
аксиоме IV,
называется
нулевым вектором
и обозначается
V.
Для каждого
вектора
существует
такой вектор
,
что
+ =
Определение
1.2. Вектор
,
удовлетворяющий
аксиоме V ,
называется
противоположным
вектору
.
VI.
Для любого
вектора
и действительно
числа
,
существует
единственный
вектор
,
называемый
произведением
вектора
на число
и обозначаемый
т.о.:
,
т.е.
Данная аксиома
вводит операция
нового типа
(внешнюю операцию):
Эта операция
носит название
«умножение
вектора на
число».
VII.
Для любого
вектора
умножение
вектора
на 1 не изменяет
вектора
,
т.е.
VIII.
Умножение
вектора на
число ассоциативно,
т.е.
IX.
Умножение
вектора на
число дистрибутивно
сложения чисел,
т.е.
X.
Умножение
вектора на
число дистрибутивно
относительно
сложения векторов,
т.е.
Этим заканчивается
аксиоматика
векторного
пространства,
которое можно
теперь определить
т.о.:
множество
V
с введенными
двумя операциями
подчиняющееся
аксиомам I-X,
называется
векторным
пространством
над полем
действительных
чисел R.
§2. Следствие
из аксиом векторного
пространства
Из
аксиом I-X
можно вывести
целый ряд
предложений.
Теорема
2.1.
Существует
единственный
нулевой вектор.
Предложим,
что существует
два различных
вектора
и
таких, что
и
для любого
вектора
.
Так
как
(по аксиоме
II),
то из (1) и (2) следует,
что
.
Таким
образом, векторное
пространство
содержит единственный
вектор
,
удовлетворяющий
равенству
.
Теорема
2.2. Для
любого вектора
существует
единственный
противоположный
вектор
.
Допустим,
что
и
и
,
т.е. существует
,
имеющий два
различных
противоположных
вектора
и
.
Левые части
равенств (3) равны
между собой.
Действительно:
Из
равенства (3) и
(4) следует, что
.
Теорема
2.3.
Для
любых векторов
и
существует
единственный
вектор
,
такой, что
.
I.
Существование .
Убедимся, что
в качестве
вектора
можно будет
выбрать вектор
.
В самом деле,
Таким
образом, для
векторов
и
существует
вектор
,
удовлетворяющий
равенству:
II.
Единственность
(от противного).
Пусть
Отсюда
.
Получим противоречие
с допущением.
Таким образом,
единственность
вектора
доказана.
Определение
2.1.
Вектор ,
удовлетворяющий
равенству
,
называется
разностью
векторов
и
,
и обозначается
через
-
.
Теорема
2.3., как видно,
вводит на множестве
v
новую операцию
"–":
называемую
вычитанием,
которая является
обратной по
отношению к
операции сложения.
,
т.к.
- вектор, противоположный
вектору
.
Тогда
I. Если
,
то дизъюнкция
или
истинна и теорема
доказана.
II. Пусть
.
Тогда существует
число
,
отсюда имеем:
Таким образом,
в случае II
имеем, что
.
Для того,
чтобы установить,
что вектор
является
противоположным
для вектора
,
необходимо
и достаточно
проверить,
выполняется
ли следующее
равенство:
Таким образом
или
.
И, следовательно,
.
Рассмотренные
свойства операций
над векторами
аналогичны
соответствующим
свойствам
арифметических
операций над
числом. Так,
например, сумма
конечного числа
векторов, как
и сумма в любой
коммуникативной
группе, не зависит
ни от порядка
слагаемых в
этой сумме, ни
от способа
расстановки
скобок:
Однако между
векторной и
числовой алгеброй
существуют
серьезные
отличия. Одно
из наиболее
существенных
отличий состоит
в том, что множество
векторов не
является
упорядоченным,
т.е. для векторов
нельзя ввести
отношение
«меньше» и
«больше». Например
для двух противоположных
чисел
и
мы знаем, что
и, что одно из
этих двух чисел
больше 0, а другое
– меньше 0. Для
векторов же,
удовлетворяющих
равенству
,
постановка
вопроса о том,
какой из векторов
или
больше нулевого,
а какой меньше
нулевого,
бессмысленна.
Определение
3.1.
Векторное
пространство
называется
n -мерным,
если в нем имеется
n
линейно независимых
векторов, а
всякие n +1
векторы линейно
зависимы.
Иначе говоря,
размерность
векторного
пространства
– это максимальное
число содержащихся
в нем линейно
независимых
векторов.
Если максимальное
число линейно
независимых
векторов равно
1, то векторное
пространство
называется
одномерным,
если это число
равно 2,. То векторное
пространство
называется
двумерным, и
т.д.
Векторное
пространство,
имеющее конечную
размерность,
называется
конечномерным.
Пространство,
в котором существует
сколь угодно
линейно независимых
векторов, называется
бесконечномерным.
Определение
3.2. Совокупность
n
линейно независимых
векторов n -мерного
векторного
пространства
называется
его базой.
Теорема
3.1.
Каждый
вектор
n -мерного
векторного
пространства
можно представить,
и притом единственным
образом, в виде
линейной комбинации
векторов базы.
Пусть
– произвольная
база n-мерного
векторного
пространства.
Так как любые
n +1
векторы n-мерного
векторного
пространства
линейно зависимы,
то векторы
линейно
зависимы, т.е.
нулевой вектор
является
нетривиальной
линейной комбинацией
векторов
:
где
не все равны
нулю. При этом
.
Если бы
,
то тогда среди
чисел
хотя бы одно
было отлично
от нуля, а отсюда
следует, что
векторы
линейно зависимы.
Откуда
следует линейная
зависимость
векторов
,
что противоречит
условию.
Полученное
представление
вектора
является искомым.
Допустим,
что возможны
два представления
вектора
в виде линейной
комбинации
базы:
Так
как векторы
линейно независимы,
то
1.
Определим
размерность
векторного
пространства
геометрических
векторов трехмерного
пространства.
Докажем,
что любые три
вектора
выходящие из
одной точки
О и не лежащие
в одной плоскости,
являются линейно
независимыми,
а всякие четыре
вектора линейно
зависимы.
В
самом деле,
векторы
независимы,
т.к. в противном
случае один
из них, например
,
должен был бы
линейно выражаться
через два других.
Однако равенство
:
вектор
является диагональю
параллелограмма,
построенного
на векторах
и
.
Отсюда векторы
и
и
– компланарны,
что противоречит
условию их
выбора.
Докажем
теперь, что
любые четыре
вектора
– линейно зависимы.
а)
Векторы
компланарны,
тогда любая
тройка векторов
линейно зависима.
Если система
имеет подсистему
линейно зависимых
векторов, то
эта система
линейно зависима.
б) Из четырех
векторов существует
три компланарных,
а следовательно,
три линейно
зависимых
вектора. Как
и выше, вся система
векторов будет
линейно зависимой.
в) Из четырех
данных векторов
никакие три
не являются
компланарными.
В этом случае
никакие три,
а следовательно,
и никакие два
вектора из
числа данных
не являются
линейно зависимыми.
Обозначим
плоскость ( OBC )
через П 1 ,
а плоскость
( AOD )
через П 2 .
(Такие
плоскости
существуют,
так как пара
векторов
и
и пара векторов
и
- пары линейно
независимых
векторов). Плоскости
П 1
и П 2
имеют общую
точку О .
Тогда эти плоскости
имеют общую
прямую m ,
проходящую
через эту точку
О .
В
плоскости П 2
построим
параллелограмм
OPDR
с диагональю
OD .
Тогда
,
где
.
Вектор
,
лежащий в плоскости
П 1
является линейной
комбинацией
векторов
и
:
.
Тогда
,
или
.
Отсюда, по теореме
5.1., векторы
линейно независимы.
Итак, множество
геометрических
векторов трехмерного
евклидового
пространства
представляет
собой трехмерное
векторное
пространство.
2.
Пространство
арифметических
векторов длины
n
представляет
собой n -мерное
векторное
пространство.
Прежде
всего, нетрудно
установить
существование
n
линейно независимых
векторов. Возьмем
векторы:
и
докажем, что
они линейно
независимы.
В самом деле,
если допустить,
что эти векторы
линейно зависимы,
тогда на основании
теоремы 5.1. хотя
бы один из них
есть линейная
комбинация
остальных.
Пусть, например,
есть линейная
комбинация
остальных:
Система
(2) является
несовместной.
Следовательно,
не существует
такого выбора
коэффициентов
,
чтобы равенство
(1) удовлетворялось.
Таким образом,
линейная
независимость
системы векторов
доказана.
Докажем
теперь, что
всякие n + 1
арифметические
вектора линейно
зависимы. Пусть
имеется система
из n + 1
векторов:
Выясним,
существуют
ли числа
,
не все равны
нулю, такие,
что
Получим
систему однородных
уравнений, в
которых число
уравнений n ,
а число неизвестных
m = n + 1.
Такая система
всегда имеет
ненулевое
решение и,
следовательно,
система векторов
является линейно
зависимой.
Контрпример.
Рассмотрим
совокупность
всех непрерывных
функций на
сегменте [0; 1].
Нетрудно убедиться,
что в данном
случае мы имеем
дело с векторным
пространством
над полем
действительных
чисел R .
Пусть n
–
произвольное
натуральное
число.
Докажем,
что система
векторов
является линейно
независимой.
Запишем равенство.
Отсюда,
векторы
линейно независимы.
Так как n
– любое натуральное
число, то, следовательно,
векторное
пространство
всех непрерывных
функций заданных
на отрезке [0;
1] не имеет конечной
системы линейно
независимых
векторов, для
которых всякая
система, содержащая
на один больше
векторов, была
бы линейно
зависима. Поэтому
в этом пространстве
нельзя ввести
понятие конечной
размерности.
Такие пространства
называются
бесконечными.
§4. Аксиоматика
Евклидово-векторного
пространства
n -мерное
векторное
пространство
называется
евклидовым,
если оно удовлетворяет
дополнительной
группе аксиом
(называемыми
аксиомами
скалярного
произведения).
Эти аксиомы
вводят в n-мерное
векторное
пространство
новое понятие
– понятие скалярного
произведения
двух векторов.
XII.
Для любых двух
векторов
и
существует
единственное
число ,
называемое
их скалярным
произведением.
Обозначение:
- скалярное
произведение
векторов
и
.
Аксиома
XII
утверждает
по сути дела,
существование
отображения
VxV R ,
ставшего в
соответствие
каждой паре
векторов единственное
число из R.
Это отображение
называется
скалярным
умножением
двух векторов.
XIII.
Скалярное
умножение двух
векторов
коммутативно:
XIV.
Скалярное
умножение
ассоциативно
относительно
умножения
вектора на
число:
XV.
Скалярное
умножение
диструбутивно
относительно
сложения векторов:
1.
рассмотрим
трехмерное
пространство
геометрических
векторов. Под
скалярным
произведением
двух векторов
и
будем понимать
число
,
где
и
длины векторов
и
соответственно,
а
- угол между
данными векторами.
Нетрудно
установить,
что, определив
скалярное
произведение
таким образом,
мы удовлетворим
всем аксиомам
скалярного
произведения
двух векторов.
Следовательно,
трехмерное
пространство
геометрических
векторов с
введенным таким
образом скалярным
произведением
является евклидовым.
2.
Рассмотрим
трехмерное
пространство
арифметических
векторов. Под
скалярным
произведением
векторов ( x 1 ; y 1 ; z 1 )
и ( x 2 ; y 2 ; z 2 )
будем понимать
число
легко можно
проверить, что
аксиомы скалярного
произведения
двух векторов
будут удовлетворены.
Следовательно,
трехмерное
пространство
арифметических
векторов (с
введенным таким
образом скалярным
произведением)
является евклидовым.
3.
Рассмотренный
пример можно
обобщить на
n-мерное
пространство
арифметических
векторов, если
скалярное
произведение
двух векторов
и
.
Таким
образом, n-мерное
пространство
арифметических
векторов с
введенным
равенством
(1) скалярным
произведением,
является евклидовым.
§5. Следствия
из аксиом скалярного
произведения
Определение
5.1.
называется
длиной вектора
.
2.
.
Это вытекает
из принятого
определения
и следствия
1.
3.
,
где
- вектор, противоположный
вектору
.
4. Для любых
и
имеет
место неравенство
Коши-Буняковского:
Рассмотрим
скалярное
произведение
вектора
на себя.
где t
– любое действительное
число. Отсюда
на основании
аксиом XIII-XV
получаем:
Выражение
в левой части
неравенства
представляет
собой квадратный
трехчлен относительно
t.
Так как этот
трехчлен должен
быть неотрицательным
при всех значениях
t,
то он не может
иметь двух
различных
корней и, поэтому,
его дискриминант:
Определение
5.2. Число
называют косинусом
угла между
векторами
и
.
Введение
такого определения
оправдывается,
в частности,
следующими
неравенствами:
Этот факт
непосредственно
следует из
следствия 4.
Воспользуемся
неравенством
Коши-Буняковского:
Определение
5.3. Векторы
и
называются
ортогональными,
если их скалярное
произведение
равно 0.
Обозначение:
-
и
- ортогональные
векторы.
6. Существуют
два ненулевых
ортогональных
вектора.
Пусть даны
два линейно
независимых
вектора
и
.
Подберем
l
так, чтобы
последнее
равенство
последовательно
преобразуем
так:
=0
Ю
Таким образом,
векторы
и
ортогональны.
Кроме того,
векторы f 1
и f 2
ненулевые.
7.(Теорема
Пифагора). Если
векторы
и
ортогональны,
то
Определение
5.4. База
евклидова
пространства
называется
ортогональной,
если
для всех
8.
Попарно ортогональные
ненулевые
векторы линейно
независимы.
Так
как
,
то из полученных
равенств следует
a 1 = a 2 =…= a n =0.
9.
Существуют
три ненулевых
попарно ортогональных
вектора.
Пусть
и
два ненулевых
ортогональных
вектора, существование
которых обеспечено
следствием
6. Подберем ненулевой
вектор
такой, что
и
Положим
,
где
-
вектор. Образующий
с векторами
и
в
условиях следствия
6 линейно независимую
систему. Тогда
Таким образом,
отправляясь
от трех линейно
независимых
векторов
и
,
мы построили
три ненулевых
вектора
,
которые попарно
ортогональны.
Обобщение.
Привлекая
последовательно
все базы n-мерного
евклидового
пространства,
можно построить
аналогично
следующие
системы ненулевых
попарно ортогональных
векторов:
Так как система
векторов
линейно независима
и содержит n
векторов
(максимальное
число линейно
независимых
векторов), то
в результате
получена в
n-мерном
пространстве
ортогональная
база
.
Описанный
процесс известен
в математике
под названием
процесса
ортогонализации.
Имея ортогональную
базу, нетрудно
получить с ее
помощью ортонормированную
базу. Для этого
вместо каждого
вектора нужно
взять вектор
Убедимся,
что длина этого
вектора равна
1. В самом деле,
§6. Аксиоматика
точечно-векторного
евклидова
пространства
§6.1. Метрические
соотношения
в треугольнике
Рассмотрим
векторное
равенство
.
Возьмем скалярный
квадрат:
Пусть
- единичный
вектор, отложенный
от точка А на
луче [АВ),
-
единичный
вектор, отложенный
от точки А на
луче [АС). Тогда
Аналогично
устанавливаются
остальные две
формулы теоремы
косинусов для
треугольника.
Следствие.
В треугольнике
две стороны
конгруэнтны
тогда и только
тогда, когда
лежащие против
них углы конгруэнтны.
II.
Пусть
.
Докажем, что
.
Выполним следующие
преобразования
Докажем
равенство (1).
Рассмотрим
равенство:
.
Умножим его
скалярно на
:
Аналогично
устанавливается
остальные
соотношения.
Следствие
2. Если
один из углов
в треугольнике
тупой, то два
других острые.
Следствие
3. В
треугольнике
более одного
тупого угла
быть не может.
Аналогично
устанавливается,
что
– острый.
Определение
18.6.
Треугольник
называется
прямоугольным,
если он имеет
прямой угол.
Теорема
18.7.
(теорема Пифагора).
Если в
– прямой, то
.
Теорема
18.8.
(обратная теорема
18.7). Если в
,
то этот треугольник
прямоугольный.
Доказательство
получается
в результате
проведения
предыдущих
рассуждений
в обратном
порядке.
Следствие
4. В
прямоугольном
треугольнике
каждый катет
меньше гипотенузы.
Отсюда
и из равенств
(1) и (2) следует,
что
,
то есть
Аналогично
устанавливается
и соотношения
,
.
Отсюда
.
Отсюда,
учитывая условия
теоремы, получим
,
то есть
.
Е сли
,
то доказанному
выше
.
Если
,
то отложим на
луче [ АС )
от точки А
отрезок [ А 1 С 1 ]
(рис.):
.
Тогда на основании
предыдущей
теоремы
.
Из
конгруэнтности
этих треугольников
следует, что
.
Имеем: на луче
[ ВА )
в полуплоскости,
содержащей
точку С ,
отложены два
угла (различных)
и
,
конгруэнтных
одному и тому
же углу
.
Последнее
противоречит
теореме 18.4.,
следовательно
и
.
§7.1. Билинейная
кососимметричная
функция
то
функция
называется
билинейной
кососимметрической
функцией.
Теорема
19.1.
Пусть
и
–
произвольная
база плоскости
и
– некоторое
действительное
число. Тогда
существует
одна и только
одна кососимметрическая
функция
такая, что:
Пусть
в заданном
базисе два
произвольных
вектора
и
имеют разложения:
Нетрудно
проверить, что
билинейная
кососимметрическая
функция, причем,
если
,
то
Доказательства
единственности .
(методом от
противного).
Примечание.
Из проведенного
рассуждения
видно, что какое
бы число
мы ни взяли и
какую бы мы ни
взяли базу
векторов
и
,
существует
единственная
билинейная
кососимметрическая
функция
такая, что
.
Это
обстоятельство
говорит, что
с помощью
кососимметрической
функции нельзя
отличить
ортонормированную
базу от прочих.
На этот счет
требуется
специальное
соглашение.
Договоримся,
если база
ортонормированная,
то будем полагать
.
Определение
19.2. Пусть
– два произвольных
единичных
вектора. Значение
билинейной
кососимметрической
функции
при выбранном
ортонормированном
базисе
,
и
выполнении
соглашения
называется
синусом угла
между векторами
и
.
Теорема
19.2.
или
.
На основании
определения
19.2. имеем:
Отсюда, .
Докажем
достаточность.
Пусть
,
где
.
§7.2. Геометрическое
истолкование
косинуса и
синуса угла
между двумя
единичными
векторами
Для произвольного
треугольника
имеем (рис.).
Таким образом,
косинус угла
между двумя
единичными
векторами
и
есть длина
отрезка, который
является проекцией
отрезка [ ОВ ]
на прямую ( ОА ),
причем эта
длина берется
со знаком «+»
если
и со знаком
«–» если
.
Из соотношения
имеем, что
геометрически
представляет
собой длину
катета
или проекцию
единичного
вектора ОВ
на ось у, причем
в верхней
полуплоскости
.
§7.3. Основные
соотношения
между тригонометрическими
функциями
На основании
определений
18.5 и 19.2. имеем:
Выполнив
несложные
преобразования,
получим:
Название: Аксиоматика векторного пространства
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 22:32:36 08 октября 2005 Похожие работы
Просмотров: 3259
Комментариев: 16
Оценило: 4 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно Скачать
Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Если Вам нужна помощь с учебными работами, ну или будет нужна в будущем (курсовая, дипломная, отчет по практике, контрольная, РГР, решение задач, онлайн-помощь на экзамене или "любая другая" учебная работа...) - обращайтесь: https://clck.ru/P8YFs - (просто скопируйте этот адрес и вставьте в браузер) Сделаем все качественно и в самые короткие сроки + бесплатные доработки до самой сдачи/защиты! Предоставим все необходимые гарантии.
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.
Реферат: Аксиоматика векторного пространства
Курсовая работа по теме Планування прибутковості підприємства
Право И Юридическая Ответственность Курсовая Работа
Мини Сочинение Рассуждение Маленький Ли Человек Желтков
Коллектив Управление Коллективом Реферат
Реферат по теме Правовые основы судебно-бухгалтерской экспертизы
Реферат На Тему Основы Мкт
Доклад по теме Склеп Деметры
Реферат по теме Психофизиологические особенности человека
Напишите Сочинение Миниатюру На Тему Весна Пришла
Реферат: Скульптурный миф русской демократии. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Спортивні фразеологізми
Дипломная работа по теме Особенности практического применения САТ-программ (на примере Wordfast и Promt)
Сочинение по теме Роль пісні в п'єсі І.П.Котляpевського "Hаталка Полтавка"
Реферат Банковская Система Рф
Дипломная работа по теме Проект инвентаризации выбросов загрязняющих веществ ЗАО 'Кубаньтехгаз'
Ярмарки Средневековой Европы Реферат По Истории
Курсовая работа по теме Агрегированные макроэкономические показатели и система национального счетоводства
Курсовая работа: The origin of language
Курсовая работа по теме Маркетингове управління діяльністю підприємств в умовах ринку
Доклад: Контактное окисление диоксида серы
Курсовая работа: Управление персоналом
Реферат: Экзаменационные билеты по ценообразованию за весенний семестр 2001 года
Реферат: Порядок видачі наряду на роботу