Реализация математических моделей, использующих методы интегрирования, в среде MATLAB. Курсовая работа (п). Педагогика.
👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!
Похожие работы на - Реализация математических моделей, использующих методы интегрирования, в среде MATLAB
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Нужна качественная работа без плагиата?
Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу Без плагиата!
РЕАЛИЗАЦИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ, ИСПОЛЬЗУЮЩИХ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ, В СРЕДЕ MATLAB
Невозможно представить
себе современную науку без широкого применения математического моделирования.
Сущность этого метода состоит в замене реального объекта его «образом» -
математической моделью. Этот метод позволяет быстро и «безболезненно» изменить
объект, изучить его свойства и поведение в различных средах и т.д.
Неудивительно, что математическое моделирование бурно развивается и проникает во
все сферы знаний.
Создание модели проходит в 3 этапа: модель – алгоритм – программа.
На первом этапе строится
модель, наиболее полно отображающая свойства объекта. Модель исследуется
теоретическими методами, что позволяет получить важные предварительные знания
об объекте. Второй этап включает в себя разработку алгоритма, для реализации
модели на компьютере. Модель представляется в форме, удобной для применения
численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических
операций, которые необходимо провести для нахождения искомых величин с заданной
точностью. На третьем этапе создаются программы, переводящие модель и алгоритм
на доступный компьютеру язык. К ним предъявляются требования экономичности и
адаптивности к особенностям решаемых задач и используемых компьютеров. Их можно
назвать электронным эквивалентом изучаемого объекта, уже пригодным для
непосредственного испытания на компьютере.
Целью данной курсовой
работы является изучение приёмов численного и символьного интегрирования на
базе математического пакета прикладных программ, а также реализация
математической модели, основанной на методе интегрирования.
Возможны
два различных подхода к определению определённого интеграла.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
1: приращение F(b)-F(a) любой из
преобразованных функций F(x)+c при изменении аргумента от x=a до x=b называют определённым интегралом от a до b
функции F и обозначается .
Причём
функция F является первообразной для функции f на некотором промежутке D, а числа а и b принадлежат этому промежутку. Это
можно записать следующим образом: , это формула Ньютона-Лейбница.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
2: Если при любой последовательности разбиений отрезка [a;b] таких, что δ=maxΔxi→0 (n→∞)
и при любом выборе точек интегральная сумма
σk= f(εi) Δxi
стремится к одному и тому же конечному пределу А, то это число А и есть
определённый интеграл, т.е Δxi=A(2). Где Δхi=xi-xi-1 (i=1,2,…,n) ε=maxΔxi – начало разбиения произвольная точка из отрезка [xi-1;xi]
сумма всех произведений f(εi)Δxi, (i=1,…,n). Простыми словами, определенный
интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно
возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю.
Всякая
непрерывная на отрезке [a,b] функция f интегрируема на отрезке [a,b], функция f неотрицательна, но определённый
интеграл численно равен S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f, осью абсцисс и прямыми x=a и x=b, .
Рассмотрим
основные методы интегрирования: метод трапеций, метод прямоугольников и метод
Симпсона.
Теперь
рассмотрим первый вид приближённого вычисления:
требуется вычислить определённый интеграл: .
Пусть
на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y=f(x). Разделим отрезок [a,b], аналогично как в формуле трапеций: точками a=x0, x1, x2,…, xn=b на n равных частей длины Δх, где
Δх=(b-a)/n.
Обозначим
через y0, y1 ,y2,…, yn-1, yn значение функции f(x) в точках x0, x1, x2…, xn, то есть, если записать в наглядной формуле:
Y0=f(x0), y1=f(x1), y2=f(x2)…yn,=f(xn).
В
данном способе подынтегральную функцию заменяем функцией, которая имеет
ступенчатый вид.
Составим
суммы: y0Δx+ y1Δx1+ y2Δx2…+yn-1Δx; Y1Δx+ y2Δx+…+ynΔx.
В
результате вычислений получаем конечную формулу прямоугольников:
Возьмём определённый
интеграл , где — непрерывная подынтегральная функция,
которую мы для наглядности будем предполагать положительной. При вычислении
интеграла с помощью формулы трапеций подынтегральная функция f заменяется функцией, график которой
представляет собой ломанную линию звенья которой соединяют концы ординат yi-1 и yi (i=1,2,…,n).
Тогда площадь криволинейной
трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=0, y=f(x), а значит (следуя из
геометрического смысла), и значение нужного нам интеграла, приблизительно равна
сумме площадей обычных трапеций с основаниями yi-1 и yi и
высотой h=(b-a)/n, так как (если более привычно
выражать для нас) h это Δx,a Δx=(b-a)/n при делении
отрезка на n равных отрезков при помощи точек x0=a>f = (sin(x)+a)^2 * (cos(x)+b)^2/sqrt (abs(a+b))
( sin(x)+a)2*(cos(x)+b)^2/abs(a+b)^(1/2)
Запись
формулы для выражения в одну строку не всегда удобна, более естественный вид
выражения выводит в командное окно функция pretty:
Символьную
функцию можно создать без предварительного объявления переменных при помощи
sym, входным аргументом которой является строка с выражением, заключенная в
апострофы:
Symbolic
Math Toolbox позволяет работать как с неопределенными интегралами, так и с
определенными. Неопределенные интегралы от символьных функций вычисляются при
помощи int, в качестве входных аргументов указываются символьная функция и
переменная, по которой происходит интегрирование, например:
Разумеется,
функция int не всегда может выполнить интегрирование. В некоторых случаях int
возвращает выражение для первообразной через специальные функции, например,
посчитаем интеграл:
Ответ
содержит так называемую функцию ошибки, которая определяется интегралом с
переменным верхним пределом:
Кроме
того, в полученное выражение входит комплексная единица, хотя подынтегральная
функция вещественна. Требуются дополнительные преобразования для достижения
окончательного результата.
Для
нахождения определенного интеграла в символьном виде следует задать нижний и
верхний пределы интегрирования, соответственно, в третьем и четвертом
аргументах int:
Двойные
интегралы вычисляются повторным применением функции int. [1, C.780]
Определим
символьные переменные а, b, с,
d, x, у, подынтегральную функцию f от х и у и проинтегрируем сначала по х, а
затем по у:
Аналогичным
образом в символьном виде вычисляются любые кратные интегралы.
MATLAB (Matrix Laboratory – матричная лаборатория) это
наиболее развитая система программирования для научно-техническом расчетов,
дополненная к настоящему времени несколькими десятками более частных
приложений, относящихся к вычислительной математике, обработке информации,
экономике и ряду других разделов прикладной науки.
MATLAB
предназначен для выполнения научных и инженерных расчетов на ПЭВМ. Эти расчеты
могут иметь отношение к области аналитической геометрии, математической
статистике, а также к таким научно – техническим приложениям, как спектральный
и корреляционный анализ, расчет фильтров и прочее. В MATLAB реализованы классические численные алгоритмы решения уравнений,
задач линейной алгебры, нахождения значений определенных интегралов,
аппроксимации, решения систем или отдельных дифференциальных уравнений. Для
применения базовых вычислительных возможностей достаточно знания основных
численных методов в рамках программы технических вузов. Решение специальных
задач, разумеется, невозможно без соответствующей теоретической подготовки; впрочем,
сведения, изложенные в справочной системе, оказываются неоценимым подспорьем
для желающих самостоятельно разобраться в обширных возможностях пакета. Подводя
итог вышесказанному, можно сделать вывод, что начинающий пользователь MATLAB может
в процессе работы совершенствовать свои знания как в области моделирования и
численных методов, так и программирования, и визуализации данных. Огромным
преимуществом MATLAB является открытость кода, что дает возможность опытным
пользователям разбираться в запрограммированных алгоритмах и, при
необходимости, изменять их. Впрочем, разнообразие набора функций MATLAB и
Toolbox допускает решение большинства задач без каких-либо предварительных
модификаций [6, С.5].
Рассмотрим
модель математической оценки с использованием рублей и долларового эквивалента,
с помощью двух определенных интегралов, для вычисления которых используется
формула трапеций.
В данном случае объектом
исследования являются взаиморасчеты, в которых используются доллары и рубли.
Договор заключен между тремя сторонами: заказчиком, генеральным подрядчиком и
субподрядчиком.
Для анализа доходности
сделок генерального подрядчика нас будут интересовать следующие характеристики
экономической ситуации:
1)
курс доллара в
момент времени t;
2)
уровень инфляции,
характеризующийся коэффициентом инфляции dK;
3)
уровень цен,
характеризующийся индексом цен I(t);
4)
коэффициент
индекса цен dI, характеризующий рост цен в период
действия договора;
5)
непрерывная
ставка дисконтирования непрерывных денежных потоков δ;
7)
курс доллара и
уровень цен в момент вступления договора в силу K(0), I(0).
Используя данные
характеристики, зададим уровень инфляции в момент времени t:
Если принять за базу
уровень цен в момент вступления договора в силу, т.е. I(0)=1, то уровень цен в момент времени t можно выразить так:
Запишем формулу
современной стоимости непрерывного потока выплат подрядчику в рублях по
текущему курсу доллара K(t) с учетом индекса I(t).
Запишем теперь формулу
современной стоимости непрерывного потока платежей субподрядчикам в рублях с
учетом инфляции и индекса цен на момент времени t.
Разность между Y1 и Y2 даст современную стоимость потока наличности подрядчика в
момент времени t.
Если величина АР>0,
значит, можно говорить и доходности сделок между заказчиком, генеральным
подрядчиком и субподрядчиком.
Для удобства вычисления
введём следующие обозначения:
А их
подынтегральные функции обозначим через S1(t) и S1(t) соответственно:
Определим
подынтегральную функцию интегрального сальдо наличности генерального подрядчика
как функцию S(t).
Последним
шагом вычислим интеграл по формуле трапеций:
Так как интеграл А
больше 0, то можно сделать вывод о том, что договор между заказчиком, генеральным
подрядчиком и субподрядчиком, является экономически выгодным.
Из данной работы видно,
насколько проста и удобна в использовании система Matlab. Для работы с ней необходимо иметь самые элементарные
навыки работы на ПК.
Говоря о математических
аспектах MATLAB, нужно отметить, что его обозначения
очень близки к тем, которые давно используются в математике, и это заметно
упрощает освоение многочисленных математических команд.
Этот пакет может
использоваться во всех сферах вычислений начиная с самых простых, заканчивая
самыми сложными.
1.
Ануфриев, И. Е. MATLAB 7: Самоучитель / Ануфриев, И.
Е. Смирнов, А.Б. Смирнова, Е. Н. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 1104 с.
2.
Выгодский, М. Я.
Справочник по высшей математике / Выгодский, М. Я. – М.: АСТ: Астрель, 2005. –
991с.
3.
Демидович, Б.
П.Основы вычислительной математики / Демидович, Б. П. Марон, И. А. – М.: Наука,
1970. – 402с.
4.
Масловская, А.Г.
Основные принципы работы и конструирование интерфейса в Matlab : Практикум / Масловская, А. Г. –
Благовещенск.: Амурский гос. ун-т, 2008. – 55с.
5.
Масловская, А. Г.
Численные методы. Моделирование на базе Matlab : Практикум / Масловская, А. Г. Черпак, Л. В. –
Благовещенск.: Амурский гос. ун-т, 2006. – 120с.
6.
Самарский, А. А.
Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / Самарский, А. А.
Михайлов, А.П. – М.: Наука. Физматлит. 1997 – 320с.
7.
Тарасевич, Ю.Ю.
Математическое и компьютерное моделирование / Тарасевич, Ю.Ю. – М.: Едиториал
УРСС, 2004. – 152с.
Определение
параметров экономической модели.
Вычисление
курса доллара и уровня цен, в момент времени t .
Вычисление
подынтегральных функций S 1 и S 2.
Вычисление
интеграла по формуле трапеций.
Похожие работы на - Реализация математических моделей, использующих методы интегрирования, в среде MATLAB Курсовая работа (п). Педагогика.
Темы Курсовых Работ По Алгоритмизации И Программированию
Контрольная работа: Учет готовой продукции
Реферат: Индивидуальные трудовые споры в РК
Сочинение По Творчеству Гончарова 10 Класс
Курсовая работа: Технология кормления и содержания жеребят
Контрольная работа по теме Функции культуры. Мораль и нравственность в культуре
Субъекты Административного Права Курсовая Работа
Сочинение На Море 5 Класс
Реферат На Тему История Возникновения Химии
Реферат: Особливості міжнародних стандартів щодо прав та свобод людини і громадянина
Контрольная Работа На Тему Движение Декабристов. Их Программы И Результаты Выступлений
Курсовая работа по теме Проектирование цифровой системы передачи информации
Сочинение По Поэме Слово О Полку Игореве
Дипломная работа: Бюджетний процес і контроль за державними видатками, його особливості
Детское Сочинение На Тему Осень
Реферат по теме Особливості функціонування офшорного бізнесу: основні схеми та перспективи
Кальцивирусная Инфекция Кошек Курсовая Работа
Реферат: Functions Of Management Essay Research Paper Functions
Курсовая работа по теме Финансовый менеджмент на примере ООО 'О-Си-Эс Маркетинг'
Реферат по теме Квантовая механика, ее интерпретация
Похожие работы на - Интернет–экзамен в сфере профессионального образования: идея и реальная практика
Реферат: Культурно-исторические предпосылки возникновения социальной педагогики в России