Развитие оптимального метода линейного оценивания различных числовых характеристик полезных сигналов в классе ФФС - Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника дипломная работа

Главная

Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника
Развитие оптимального метода линейного оценивания различных числовых характеристик полезных сигналов в классе ФФС

Фильтрация ошибок измерений при оценивании линейного преобразования полезного сигнала. Физическая природа помех, уменьшение степени их влияния на работу информационно-измерительных систем. Статистическая обработка измерений, метод наименьших квадратов.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

При разработке перспективных и оптимизации существующих информационно-измерительных систем (ИИС) различного назначения, широко используемых в гражданских и военных сферах, особое внимание уделяется вопросам оптимизации обработки измерений, содержащих всевозможные помехи. Данные помехи могут иметь различную физическую природу и для уменьшения степени их влияния на работу ИИС используются известные методы статистической обработки измерений (метод наименьших квадратов (МНК), метод максимального правдоподобия, метод максимума апостериорной плотности вероятности, байесовские методы, квазиоптимальные методы, регуляризованные методы, робастные методы и другие).
Среди указанных методов наиболее широкое распространение на практике получил МНК и его различные модификации. Известно, что МНК дает зачастую приемлемые по точности результаты (в задачах линейного и нелинейного оценивания) при наличии в измерениях случайных флуктуационных ошибок. В ряде работ рассмотрен вопрос построения устойчивых МНК - оценок при наличии в измерениях как случайных, так и систематических ошибок различной физической природы. При этом используется традиционная процедура расширения пространства состояния, которая на практике зачастую приводит к известному эффекту «размазывания точности», росту объема вычислительных затрат и усложнению структур систем обработки измерений.
Более сложной является задача оценивания в условиях сингулярных п о мех (СП), математические модели которых предполагают задание некоторого конечного функционального базиса с точностью до вектора неизвестных коэ ф фициентов. Зачастую, оптимальное решение такой задачи удается найти с и с пользованием принципа инвариантности при соблюдении соответствующих условий регулярности и несмещенности. СП зачастую возникают в задачах, характеризующихся переходными процессами. Примером может служить допл е ровский измеритель скорости инерциальной навигационной системы, у кот о рой возникает задача распознавания полезного сигнала на фоне скачкообразно и з меняющихся помех вследствие естественных и искусственных возмущ е ний.
В дипломной работе развивается системный подход к решению указанной задачи в наиболее общей постановке, включающей в себя не только оцен и вание коэффициентов модели полезного сигнала, но и его производных различного порядка в условиях сингулярных помех (СП) и флуктуацио н ных шумов (ФШ).
В работе принят широко используемый в радиотехнике подход к предста в лению полезных сигналов в классе функций с финитным спектром (ФФС). П о скольку реальные сигналы не обладают таким спектром, то в работе исследов а ны вопросы интерполяции, аппроксимации и дифференцирования на основе и з вестной теоремы отсчетов с использованием ряда Котельникова, при этом учтены ограничения на полезный сигнал во временной и частотной обла с тях.
Дипломная работа включает: список принятых сокращений, введение, три раздела, заключение, список литературы.
1 . Системный подход к задаче оценивания
В работах отечественных и зарубежных ученых неоднократно поднималась проблема разработки единого системного подхода к решению задачи оптимального оценивания. Были сформулированы условия правильности (регулярности) математической постановки задач этого класса, которые могли бы гарантировать получение единственного решения с заданными оптимальными свойствами.
В рамках системного подхода можно получить комплексное решение вопросов выбора адекватных математических моделей и функционирования систем обработки измерительной информации; рационального критерия качества оценивания; оптимальной стратегии измерений и т.п. При декомпозиции исходной задачи оценивания на составные части (элементы) основное внимание уделяется их структурным взаимосвязям, влияющим на характер и качество ее решения.
В настоящее время для проверки условий регулярности постановки задачи оценивания в основном используется математический аппарат, базирующийся на теореме о неявных функциях и предполагающий вычисление рангов соответствующих функциональных матриц для проверки взаимной однозначности отображений. Однако исследование сложной задачи трудно осуществить в рамках какого-то одного раздела математики, одной теории или метода. Постоянное ужесточение требований к качеству и срокам проектирования систем обработки измерительной информации являются основной причиной активизации поиска адекватного математического аппарата, соответствующего основным принципам системного подхода.
В данной главе, опираясь на [2, 3, 16, 25, 27, 28, 30], в сжатой форме изложены основные принципы системного подхода к решению задач оценивания. Основное внимание уделено условиям правильности (регулярности) математической постановки задач этого класса, которые могли бы гарантировать получение единственного решения с заданными оптимальными свойствами. На базе известной из математического анализа теоремы о неявных функциях дается анализ структурных свойств задачи оценивания: адекватности используемых математических моделей, наблюдаемости измеряемых параметров, состоятельности критерия качества.
Следуя [16], введем понятие регулярности (правильности) математической постановки задачи оценивания. Задачу будем считать регулярной, если в рамках принятой математической постановки существует единственное решение этой задачи с требуемыми предельными свойствами по объему выборки измерений.
Рассмотрим математическую постановку задачи оценивания в рамках системного подхода, т.е. с учетом структурных взаимосвязей, существующих между элементами задачи.
1.2 Основные элементы задачи. Условия регулярности
Пусть известно, что оцениваемый процесс (вектор состояния) на отрезке времени [t 0 , T] характеризуется вектором . Для описания данного процесса воспользуемся приближенной математической моделью G . В отличие от вектор состояния, соответствующий модели G , будем обозначать через .
К модели G предъявляются следующие требования:
модель G должна однозначным образом описывать оцениваемый процесс;
модель G должна в некотором смысле наиболее точно описывать оцениваемый процесс (адекватность модели);
модель G должна быть достаточно простой в вычислительном отношении.
Функциональное соответствие между вектором состояния и вектором измеряемых параметров у задается математической моделью S . В большинстве случаев
Поскольку погрешности, возникающие при задании модели S , незначительны, то считаем, что вектор действительных измеряемых параметров определяется в соответствии с уравнением
Для полного описания условий функционирования системы обработки измерительной информации, характеризующих способ комбинации ошибок измерений с измеряемыми параметрами и вероятностные характеристики ошибок измерений, используется модель Q . В простейшем случае данной модели отвечает следующее функциональное соответствие:
где - вектор результатов измерений; h - вектор ошибок измерений.
Измерения на отрезке времени могут производиться как в дискретные моменты времени t i , , так и непрерывно В первом случае qK-мерный вектор ошибок измерений полностью характеризуется плотностью вероятности р(h). Если плотность вероятности р(h) является гауссовской, то будем писать , где - вектор математических ожиданий ошибок измерений и K h - ковариационная матрица. Во втором случае (непрерывное наблюдение) случайный процесс h = h(t) характеризуется соответствующим функционалом плотности вероятности.
Следующим элементом задачи оценивания является критерий качества К . Наибольшее распространение в настоящее время получил критерий минимума среднего риска (байесов критерий). Данный критерий применяется в условиях полной априорной определенности. Если же априорное распределение неизвестно, используются другие критерии: минимума условного риска, максимального правдоподобия, минимаксный.
Полагаем, что система обработки измерительной информации характеризуется нерандомизированным решающим правилом когда устанавливается детерминированная функциональная связь между оценкой и вектором измерений .
Условным риском называют риск , усредненный по условному распределению т.е. по функции правдоподобия
Важным является понятие апостериорного риска, т.е. риска , усредненного по апостериорной плотности вероятности:
Апостериорный риск определяется как
Средний риск, т.е. риск, усредненный по и , связан с апостериорным риском простой зависимостью
Отсюда следует, что байесов критерий оптимальности - критерий минимума среднего риска - эквивалентен критерию минимума апостериорного риска. Это означает, что оптимальный байесов алгоритм должен выбираться из условия минимизации функционала
Конкретный алгоритм зависит от выбранной функции потерь , которая задает меру отклонения получаемого решения от истинного. Очевидно, что функция потерь и риск должны отвечать ряду свойств, при которых обеспечивается корректность применения байесова критерия оптимальности.
1.3 Адекватность моделей задачи оценивания
Условие адекватности определяет некоторое отношение на множестве математических моделей. Введем в рассмотрение метрическое пространство непрерывных на отрезке [t 0 , T] вектор-функций , расстояние в котором между элементами и некоторой неотрицательной действительной функцией . В практике оценивания наиболее распространено расстояние
которое, как известно, приводит к метрическому пространству, не являющемуся полным. Полное метрическое пространство получится в том случае, если в ввести расстояние по формуле
Предпочтение на практике отдается метрическому пространству с расстоянием (1.10), несмотря на то, что оно не является полным. Данное расстояние может использоваться в качестве меры близости между R и G (где R и G - соответственно реальное и модельное поведение сигнала). С его помощью вводятся важные понятия математической модели G, локально или глобально е-адекватной реальному полезному сигналу. Величина е представляет собой среднеквадратическое расстояние между реальным процессом и его моделью. Она может быть назначена из чисто физических соображений или получена путем расчета.
По аналогии с вводится метрическое пространство непрерывных на отрезке [t 0 , Т] вектор-функций у = у(t) с расстоянием , определяемым, например, выражениями типа (1.10) и (1.11). Это позволяет рассматривать элемент
как непрерывное отображение метрического пространства в метрическое пространство . При этом необходимое условие е-адекватности (локальной и глобальной) в пространстве измеряемых параметров выглядит так:
L - постоянная Липшица для отображения , удовлетворяющая условию
Так, для случая квадратичной метрики и линейного преобразования
где H - матрица соответствующей размерности, условие (1.14) имеет вид
В последнем выражении к max - максимальное характеристическое число матрицы Н Т Н.
Для получения необходимых и достаточных условий е-адекватности в пространстве измеряемых параметров на отображение накладываются определенные ограничения. Так, если отображение является гемеоморфным, то для е-адекватности математической модели G реальному движению R необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
В случае изометрического отображения , например, когда задается матрицей ортогонального преобразования , адекватность обеспечивается при выполнении неравенства , где е находится из условия .
Для использования приведенных выше критериев необходимо вычислить значение . Оно может быть найдено по результатам измерений, если ошибками измерений практически можно пренебречь. В противном случае условие адекватности приобретает статистический характер.
В пространстве выборок статистическое условие адекватности формулируется следующим образом: если отображение является гомеоморфным, то для е-адекватности математической модели G с вероятностью (надежностью) Р 0 реальному поведению R необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
где - верхняя граница доверительного интервала I дов , накрывающего с вероятностью Р 0 неизвестное значение ; - значение правой части одного из условий е-адекватности, сформулированного ранее.
Будем полагать, что критерий качества K в случае эквивалентности модели G реальному поведению R (е = 0) обеспечивает получение решения , обладающего свойством сильной сходимости:
где - оценка вектора , полученная по измерениям, выполненным в дискретные моменты времени
Сформулированное статистическое условие адекватности оказывается связанным с предположением о сильной сходимости оценок к своим действительным значениям. Сильная сходимость лежите основе понятия состоятельности критерия качества K . Состоятельность критерия качества является необходимым условием для однозначного вывода, получаемого с использованием статистического условия адекватности. В свою очередь состоятельный критерий качества обеспечивает сходимость оценок к их действительным значениям только с той точностью, которую гарантирует величина е в условии адекватности.
Если условие состоятельности не выполняется, то результат проверки условия адекватности относится не только к вопросу близости модели G и реального поведения R , но и к отношению между критерием качества К и условиями опыта Q . Какое из этих двух отношений не удовлетворяет требованиям регулярности, в данном случае установить трудно.
Условие адекватности (1.19) не только служит показателем близости G и R , но и является качественным показателем точности получаемого решения . Последнее свойство статистического условия адекватности является очень важным, так как количественно оценить точность решения в сложных задачах оценивания практически не представляется возможным.
1.4 Состоятельность критерия качества
Полагая и учитывая, что оценка действительного значения вектора зависит от мощности выборки (т.е. ), введем в R n расстояние с помощью нормы
Рассмотрим известные статистические свойства оценок.
где - любое положительное число; Р{Q)} - вероятность события Q.
где М{·} - символ математического ожидания.
3. Эффективность (оценка называется эффективной, если по сравнению с любой другой она обладает наименьшим разбросом).
4. Достаточность (оценка называется достаточной, если она определяется через достаточные статистики как функция от них).
Опыт показывает, что в большинстве случаев невозможно найти такой критерий качества K , чтобы названные статистические свойства оценок удовлетворялись в совокупности, хотя они и не являются противоречащими друг другу. Данные свойства называются вторичными оптимальными свойствами оценок, поскольку первичное свойство определяется критерием качества.
Для решения вопроса о выборе критерия качества, обеспечивающего получение оценок, обладающих какими-то вторичными свойствами, необходимо из всех вторичных свойств выбрать одно или несколько свойств, чтобы множество методов оценивания было разбито на два класса. В первый класс должны войти методы, обеспечивающие выбранные свойства (множество состоятельных методов), во второй - все остальные (множество несостоятельных методов). Среди состоятельных методов оценивания (состоятельных критериев качества) далее можно искать метод, которому соответствует наиболее эффективная вычислительная процедура решения задачи.
Из перечисленных выше статических свойств оценок наименее ограничительными является свойство состоятельности. Однако условие (1.22) обеспечивает лишь слабую сходимость или сходимость по вероятности, что не является достаточной гарантией для получения желательной оценки. Поэтому на практике используются еще два вида сходимости [2, 3].
1. Сходимость сильная, или почти наверное,
2. Сходимость в среднем квадратическом,
Если выбрать в качестве оптимального свойства сильную сходимость, то получим следующее определение состоятельности критерия K . Критерий качества К называется состоятельным по отношению к паре G - S , если соответствующее ему решение является единственным и обладает свойством сильной сходимости к действительному значению .
В случае, когда модель G эквивалентна реальному поведению R , то . Если условие эквивалентности не выполняется, но выполняется условие е-адекватности, то начальные условия могут не совпадать. Расстояние между ними будет
где - некоторое число, зависящее от е. В этом случае условие (1.24) в определении состоятельности критерия качества должно выполняться не для всякого м > 0, а только для .
Если решение задачи оценивания получено в аналитическом виде и имеется плотность вероятности р(о) выборочного вектора о, то появляется возможность использования необходимых или достаточных условий состоятельности, когда критерий K обеспечивает получение единственного решения .
Если учесть, что из сильной сходимости следует слабая сходимость, то имеем следующий критерий: для состоятельности критерия качества К по отношению к паре G - Q необходимо, чтобы оценка обладала свойством сходимости по вероятности
Признаком слабой сходимости может быть выполнение следующего условия: для каждого е > 0 существует такое натуральное число К, при котором для любого l > 0 справедливо неравенство
Если все оценки ограничены в совокупности, то данный признак является также и необходимым.
Следующий критерий, отражающий достаточные условия состоятельности K , выглядит так: для состоятельности критерия качества K по отношению к паре G - Q достаточно, чтобы оценка обладала свойством сходимости в среднем квадратическом:
Данным критерием можно пользоваться, если имеется выражение для математического ожидания квадрата нормы отклонения оценки от действительного значения в зависимости от числа К результатов измерений.
Сформулированные критерии задают некоторые границы состоятельности критерия качества К .
С использованием неравенства Чебышева можно сформулировать следующие менее сложные с практической точки зрения критерии, выполнение которых гарантирует необходимое условие состоятельности K . Первый критерий: если оценка обладает свойством сходимости в среднем квадратическом
то она обладает свойством слабой сходимости. Второй критерий: если оценка обладает свойством асимптотической несмещенности
то она обладает свойством слабой сходимости.
В [2, 3] дана характеристика наиболее распространенных на практике функций потерь, которые задают многообразие критериев качества, применяемых в задачах оценивания. Там же перечисляются основные свойства риска , непосредственно вытекающие из свойств применяемой функции потерь.
2 . Приближение и дифференцирование полезных сигналов в классе фун к ций с финитным спектром
2.1 Интерполяция функций с финитным спектром
В данном разделе в качестве моделей полезных сигналов используются функции с финитным спектром (ФФС) [29], для которых в соответствии с известной теоремой отсчетов справедливо представление в виде ряда Котельникова. На базе ФФС развивается метод косвенного оценивания локальных характеристик полезного сигнала, который в отличие от традиционных подходов в меньшей степени чувствителен к случайным ошибкам измерений и может быть применен для вычисления соответствующей производной в любой точке фиксированного интервала наблюдения.
Следует отметить, что необходимость оценивания локальных характеристик до N-гo порядка включительно возникает довольно часто при решении широкого круга прикладных задач. При этом на практике, как правило, используются достаточно простые в вычислительном плане косвенные методы оценивания, основанные на численном дифференцировании измеренных сигналов с использованием разностных шаблонов. Среди данных методов наиболее распространены методы скользящего дифференцирования [26, 27], предполагающие разложение дифференцируемой функции в соответствующий конечный ряд Тейлора и вычисление искомой производной только для одной (средней) точки выбранного интервала измерений. Основной недостаток указанных методов состоит в следующем. Для уменьшения остаточной (методической) погрешности требуется либо уменьшать шаг дискретизации по времени либо повышать порядок используемых разностей. Но и в том, и в другом случаях резко возрастают погрешности, вызываемые случайными ошибками измерений. Как показано в [26], численные методы, основанные на разностных представлениях, относятся к классу некорректных, поскольку теряют устойчивость при наличии случайных ошибок, которые неизбежно сопутствуют процессу измерений.
Метод N-кратного дифференцирования ФФС, предлагаемый в данном разделе, позволяет разрабатывать алгоритмы косвенного оценивания, которые в отличие от традиционных являются корректными в вычислительном плане.
Ниже обсуждаются отдельные результаты [4, 5, 12], касающиеся интерполяции и аппроксимации ФФС и функций с нефинитным спектром, которые будут использованы нами при изложении основного материала.
Пусть функция f(t), интегрируемая в квадрате на всей вещественной оси, представима в виде
где F(iщ) - спектральная плотность функции f(t),
Согласно известной теореме Винера-Пэли-Шварца, для того чтобы f(t) была функцией с финитным интегрируемым в квадрате спектром F(iщ), необходимо и достаточно, чтобы f(t) могла быть доопределена в комплексной плоскости как целая функция конечной степени, интегрируемая в квадрате на всей вещественной оси. Следуя [29], обозначим через класс функций f(t) с финитным интегрируемым в квадрате спектром F(iщ), для которого справедливо представление (2.1).
Поскольку f(t) может быть доопределена как целая функция конечной степени, то можно воспользоваться следующей интерполяционной формулой Котельникова:
где - шаг между отсчетами f k = f(kДt) функции f(t); sincx = sinx/x.
Формула (2.3) показывает, что для восстановления ФФС f(t) на всей вещественной оси необходимо использовать лишь значения этой функции f k , называемые отсчетами, которые выбираются через равные интервалы . В разложении (2.3) можно воспользоваться отсчетами , взятыми в периодической последовательности точек при любом фиксированном t 0 , которое указывает лишь начало отсчета переменной t, и при любом . Последнее утверждение следует из того, что если спектр f(t) сосредоточен в интервале (-2рF max , 2рF max ) = (-Щ, Щ), то он подавно сосредоточен в большем интервале , где . Если функция f(t) принадлежит пространству , причем интервал (-Щ, Щ) - это наименьший интервал, вне которого спектр F(iщ) тождественно равен нулю, то величина Дt = р/Щ = l/(2F max ) указывает наибольший возможный интервал между отсчетами, при котором представление (2.3) еще справедливо.
Таким образом, формула (2.3) отражает замечательное свойство ФФС - свойство однозначной восстановимости значений функции на всей оси по ее значениям в дискретной (периодической) последовательности точек.
В формуле (2.3) предполагается использование неограниченного числа отсчетов функции f(t). Очевидно, что для конечного числа отсчетов применение формулы (2.3) без дополнительных ограничений приводит к неединственности решения интерполяционной задачи. Для того чтобы данное решение было единственным, обычно сужают класс функций, в котором решается интерполяционная задача. Укажем три известных способа введения указанных ограничений.
Первый способ состоит в специальном задании отсчетов вне того интервала, на котором определена функция. Второй способ заключается во введении дополнительного ограничения экстремального типа: из всех ФФС в интервале (-Щ, Щ), обладающих заданными величинами отсчетов в конечном числе узлов, выбирается та, которая минимизирует некоторый функционал. Третий способ предполагает ограничение энергии функции вне заданного интервала и подбор минимального числа степеней свободы (свободных параметров), при котором достигается требуемая точность приближения функции.
Рассмотрим конкретные примеры применения этих различных подходов.
При первом подходе положим равными нулю все отсчеты функции f(t), кроме тех, которые заданы на отрезке [0, Т]. Отсчеты берутся в моменты 0 ? t 0 < t 1 < ... < t K ? Т. Такая интерполяционная задача имеет бесконечное множество решений, поскольку не заданы отсчеты функции f(t) вне отрезка [0,T].
при k < 0 и k > К, т.е. считать, что все отсчеты вне отрезка [0, Т] равны нулю, то интерполяционная задача имеет единственное решение. Например, в случае равномерно следующих отсчетов из формулы (2.3) получаем общее представление для множества функций из класса , отсчеты которых равны нулю вне отрезка [0, T]:
Число отсчетов, которые берутся внутри отрезка [0, T], здесь равно К + 1 = 2F max T + 1, т.е. считаем, что на отрезке [0, T] укладывается целое число интервалов длительности Дt. Следует особо подчеркнуть, что если все отсчеты вне отрезка [0, T] равны нулю, то из этого вовсе не вытекает, что функция f(t) тождественно равна нулю вне отрезка [0, T].
Обратимся теперь ко второму из указанных подходов к ограничению класса функций. В качестве примера рассмотрим функции с минимальной энергией. Среди всех функций класса выделим ту, для которой полная энергия минимальна:
Нетрудно указать представление для этого класса функций с минимальной энергией, который мы обозначим через . Класс - это подмножество класса , следовательно, по теореме отсчетов для любой из функций имеем представление вида (2.3).
Члены ряда (2.3) попарно ортогональны на всей оси в силу соотношений
Поэтому, возводя обе части равенства (2.3) в квадрат, раскрывая скобки и интегрируя почленно, получаем
Предположим сначала, что отсчеты на отрезке [0, T] берутся в моменты Поскольку в правой части равенства (2.8) стоит ряд из неотрицательных величин, причем отсчеты f k , фиксированы, выражение (2.8) достигает минимума, когда все остальные отсчеты обращаются в нуль. Следовательно, в том случае, когда отсчеты на отрезке [0, T] берутся в моменты , ФФС и минимальной энергией задаются формулой (2.5).
Таким образом, для восстановления функции рассматриваемого класса достаточно знать лишь отсчеты f k , и в классе эта интерполяционная задача имеет единственное решение.
2.2 Аппроксимация функций с финитным спектром
Рассмотрим теперь возможность аппроксимации с заданной точностью е > 0 на отрезке [0, T] функции при помощи конечного числа членов ряда Котельникова (2.3). Очевидно, что такая возможность существует, поскольку ряд (2.3) сходится равномерно в каждой ограниченной области. Таким образом, для каждого отрезка [0, T] и заданного е > 0 можно указать такие числа i и т, что при 0 ? t ? T будет выполняться неравенство
Однако длительность mДt интервала времени, на котором в данном случае берутся отсчеты, может значительно превосходить величину Т. Поэтому возникает вопрос о том, с какой точностью приближается функция , задаваемая рядом (2.3), если воспользоваться лишь некоторым фиксированным числом членов этого ряда.
Рассмотрим частную сумму ряда (2.3) при нечетном числе отсчетов, равном 2K + 1:
Из (2.11) следует, что отбрасывание «хвостов» ряда Котельникова приводит к среднеквадратической ошибке аппроксимации ФФС. Эта ошибка равна энергии «хвостов».
Для оценки погрешности, возникающей при замене ряда Котельникова частной суммой вида (2.10), целесообразно ввести определенные предположения относительно скорости убывания функции f(t) при |t| > ?.
(для удобства вместо [0, Т] рассматривается отрезок [-T/2, T/2]).
Используя результаты работ [4, 12], не сложно показать, что ограничение (2.12) приводит к следующей оценке
Анализ функции е K (t) показывает, что в точках она обращается в нуль, а ее максимумы растут по мере приближения к краям отрезка [-KДt, KДt].
Приведенные в данном подразделе результаты составляют основу аппроксимации функций, которые встречаются в задачах оценивания и могут быть отнесены к классу ФФС. Однако на практике у реальных функций спектр не может быть финитным. Таким образом, для построения адекватных моделей необходимо выяснить влияние отбрасываемых «хвостов» спектра функции на качество ее аппроксимаций.
2.3 Аппроксимация функций с нефинитным спектром
Прежде всего, рассмотрим задачу приближения произвольных функций с конечной полной энергией (т.е. интегрируемых в квадрате на всей оси) при помощи ФФС и конечной полной энергией.
Пусть ц(t) - произвольная функция, интегрируемая в квадрате на всей оси -? < t < ?, и пусть. Рассмотрим выражение
которое имеет смысл полной энергии разности этих функций и равно квадрату среднеквадратической погрешности при аппроксимацией функции ц(t) функцией f(t).
Поставим перед собой задачу: среди всех функций f(t) пространства найти ту, которая обращает в минимум величину , т.е. осуществляет наилучшие приближенные функции ц(t) в среднеквадратическом смысле.
Для решения задачи заметим, что разность ц(t) - f(t) также интегрируема в квадрате на всей оси. Поэтому, используя равенство Парсеваля имеем
где F ц (iщ) - спектральная плотность функции ц(t).
Представим себе теперь, что мы хотим применить метод, основанный на теореме отсчетов, для аппроксимации функции с нефинитным спектром. Если выбрать шаг между моментами отсчета равным Дt = р/Щ и составить ряд Котельникова для функции ц(t), спектр которой не финитен, то получим новую функцию
Для того чтобы ряд (2.16) сходился равномерно в каждой ограниченной области, а функция принадлежала пространству , нужно наложить определенные ограничения на поведение чисел ц k , т.е. сузить класс рассматриваемых функций ц(t). Будем для простоты предполагать функцию F ц (iщ) непрерывной на всей оси и убывающей при |щ| > ? быстрее, чем при некоторых у > 0, в > 1. Эти условия обеспечивают интегрируемость в первой степени и в квадрате спектральной плотности F ц (iщ) на всей оси, и, следовательно, обеспечивают непрерывность функции и ее квадратичную интегрируемость.
Функция имеет финитный спектр в интервале (-Щ, Щ). Оценка разности по абсолютной величине:
Таким образом, при анализе и синтезе моделей на основе рядов Котельникова необходимо учитывать результирующую погрешность приближения (аппроксимации), обусловленную ошибками двух типов. Ошибки первого типа обусловлены усечением в частотной области (т.е. осуществляется переход к функциям с финитным спектром из класса ), а ошибки второго типа - усечением в пространственной (временной) области (т.е. осуществляется ограничение числа отсчет
Развитие оптимального метода линейного оценивания различных числовых характеристик полезных сигналов в классе ФФС дипломная работа. Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника.
Доклад: Бамако
Курсовая Работа Терминология Танца
Контрольная Работа Unit 2 7 Класс Кузовлев
Реферат На Тему Новейшие Технологии В Развитии Лидерских Моделей
Реферат По Функциональной Диагностике Скачать Бесплатно
Курсовая работа: Криминалистическая фотография, видео- и звукозапись
Что Обозначает Слово Эссе
Отчет Кафедры О Прохождении Практики
Слова Для Сочинения Огэ 9.3
Практическая Работа Сокращение
Курсовая работа по теме Диоксины и безопасность продовольственного сырья и продуктов питания
Контрольная работа: Технология и техника лесной промышленности
Курсовая работа по теме Роль интерьера магазина в маркетинговой деятельности
Контрольная работа: Экономика Азербайджана
Реферат: Лицейские друзья А.С. Пушкина
Курсовая На Тему Профилактика Пролежней
Реферат по теме Виды электроснабжения
Реферат: Механизм функционирования фондовой биржи. Скачать бесплатно и без регистрации
Написать Сочинение Про Спорт
Контрольная работа по теме Київська Русь – князівська держава
Необходимая оборона как обстоятельство, исключающее преступность деяния - Государство и право реферат
Повышение эффективности добычи нефти в условиях производства предприятия - Геология, гидрология и геодезия курсовая работа
Самовизначення України і її зародження державності. Українська державність 1917-1921 рр. - История и исторические личности курсовая работа