Разложение числа на множители способы
Разложение числа на множители способыСкачать файл - Разложение числа на множители способы
В этой статье Вы найдете всю необходимую информацию, отвечающую на вопрос, как разложить число на простые множители. Сначала дано общее представление о разложении числа на простые множители, приведены примеры разложений. Дальше показана каноническая форма разложения числа на простые множители. После этого дан алгоритм разложения произвольных чисел на простые множители и приведены примеры разложения чисел с использованием этого алгоритма. Также рассмотрены альтернативные способы, позволяющие быстро раскладывать небольшие целые числа на простые множители с использованием признаков делимости и таблицы умножения. Это значит, что данное число нужно представить в виде произведения простых множителей, причем значение этого произведения должно быть равно исходному числу. Обычно разложение числа на простые множители записывают в виде равенства, в нашем примере оно будет таким: Отдельно подчеркнем, что простые множители в разложении могут повторяться. Это явно иллюстрирует следующий пример: В поисках ответа на него, приведем следующие рассуждения. Простые числа по определению находятся среди целых положительных чисел , больших единицы. Учитывая этот факт и правила умножения целых чисел , можно утверждать, что произведение нескольких простых множителей является целым положительным числом, превосходящим единицу. Поэтому разложение на простые множители имеет место лишь для положительных целых чисел, которые больше 1. Понятно, что простые целые числа разложить на простые множители нет возможности. Это объясняется тем, что простые числа имеют только два положительных делителя — единицу и самого себя, поэтому они не могут быть представлены в виде произведения двух или большего количества простых чисел. Если бы целое число z можно было бы представить в виде произведения простых чисел a и b , то понятие делимости позволило бы сделать вывод, что z делится и на a и на b , что невозможно в силу простоты числа z. Однако считают, что любое простое число само является своим разложением. А как насчет составных чисел? Раскладываются ли составные числа на простые множители, и все ли составные числа подлежат такому разложению? Утвердительный ответ на ряд этих вопросов дает основная теорема арифметики. В разложении числа простые множители могут повторяться. Повторяющиеся простые множители можно записать более компактно, используя степень числа. Пусть в разложении числа a простой множитель p 1 встречается s 1 раз, простой множитель p 2 — s 2 раз, и так далее, p n — s n раз. Такая форма записи представляет собой так называемое каноническое разложение числа на простые множители. Приведем пример канонического разложения числа на простые множители. Каноническое разложение числа на простые множители позволяет найти все делители числа и число делителей числа. Чтобы успешно справиться с задачей разложения числа на простые множители, нужно очень хорошо владеть информацией статьи простые и составные числа. Суть процесса разложения целого положительного и превосходящего единицу числа a понятна из доказательства основной теоремы арифметики. Осталось разобраться с нахождением наименьших простых делителей на каждом шаге, и мы будем иметь алгоритм разложения числа на простые множители. Находить простые делители нам поможет таблица простых чисел. Покажем, как с ее помощью получить наименьший простой делитель числа z. Последовательно берем простые числа из таблицы простых чисел 2 , 3 , 5 , 7 , 11 и так далее и делим на них данное число z. Первое простое число, на которое z разделится нацело, и будет его наименьшим простым делителем. Если число z простое, то его наименьшим простым делителем будет само число z. Здесь же следует напомнить, что если z не является простым числом, то его наименьший простой делитель не превосходит числа , где - арифметический квадратный корень из z. Таким образом, если среди простых чисел, не превосходящих , не нашлось ни одного делителя числа z , то можно делать вывод о том, что z — простое число более подробно об этом написано в разделе теории под заголовком данное число простое или составное. Для примера покажем, как найти наименьший простой делитель числа Делим 87 на 2 , получаем То есть, при делении 87 на 2 получается остаток 1 , поэтому 2 — не является делителем числа Берем следующее простое число из таблицы простых чисел, это число 3. Делим 87 на 3 , получаем Таким образом, 87 делится на 3 нацело, следовательно, число 3 является наименьшим простым делителем числа Заметим, что в общем случае для разложения на простые множители числа a нам потребуется таблица простых чисел до числа, не меньшего, чем. К этой таблице нам придется обращаться на каждом шаге, так что ее нужно иметь под рукой. Например, для разложения на простые множители числа 95 нам будет достаточно таблицы простых чисел до 10 так как 10 больше, чем. А для разложения числа уже будет нужна таблица простых чисел до 1 так как 1 больше, чем. Теперь мы обладаем достаточными сведениями, чтобы записать алгоритм разложения числа на простые множители. Алгоритм разложения числа a таков:. Все результаты, полученные на каждом шаге алгоритма разложения числа на простые множители, для наглядности представляют в виде следующей таблицы, в которой слева от вертикальной черты записывают последовательно в столбик числа a, a 1 , a 2 , …, a n , а справа от черты — соответствующие наименьшие простые делители p 1 , p 2 , …, p n. Осталось лишь рассмотреть несколько примеров применения полученного алгоритма для разложения чисел на простые множители. Сейчас мы подробно разберем примеры разложения чисел на простые множители. При разложении будем применять алгоритм из предыдущего пункта. Начнем с простых случаев, и постепенно их будем усложнять, чтобы столкнуться со всеми возможными нюансами, возникающими при разложении чисел на простые множители. Разложите число 78 на простые множители. Для этого начинаем последовательно перебирать простые числа из таблицы простых чисел. Берем число 2 и делим на него 78 , получаем Делим 39 на 2 , получаем Так как 39 не делится нацело на 2 , то 2 не является его делителем. Тогда берем следующее число из таблицы простых чисел число 3 и делим на него 39 , получаем Число 13 не делится на 3 , так как Представьте число 83 в виде произведения простых множителей. Разложите на простые множители число В этом примере чтобы найти первый простой множитель разложения, придется перебрать все простые числа, начиная с 2. Этот долгий перебор заканчивается на числе На втором шаге алгоритма уже бы пришлось перебирать меньше простых чисел, чем на первом шаге. На третьем шаге мы можем сразу сказать, что — простое число. В простых случаях разложить число на простые множители можно без использования алгоритма разложения из первого пункта данной статьи. Если числа не большие, то для их разложения на простые множители часто достаточно знать таблицу умножения и признаки делимости. Приведем примеры для пояснения. Например, нам требуется разложить на простые множители число При помощи таблицы умножения разложим на простые множители число Однако, ни 6 , ни 8 не являются простыми числами. Запишем это разложение в канонической форме: А вот при разложении на простые множители числа 3 можно воспользоваться признаками делимости. Все множители в полученном разложении являются простыми, поэтому это разложение является искомым. Осталось лишь переставить множители, чтобы они шли в порядке возрастания: Запишем также каноническое разложение данного числа на простые множители: При разложении данного числа на простые множители можно использовать по очереди и признаки делимости и таблицу умножения. Представим число 75 в виде произведения простых множителей. Это и есть искомое разложение числа 75 на простые множители. Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Делимость, признаки делимости Разложение чисел на простые множители, способы и примеры разложения. Что значит разложить число на простые множители? Каноническое разложение числа на простые множители. Алгоритм разложения числа на простые множители. Примеры разложения на простые множители. Использование признаков делимости для разложения на простые множители. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.
Разложение числа на множители
Разложение чисел на простые множители, способы и примеры разложения.
Факторизация целых чисел
Юридический отдел в жкх что делает
Лечение воспаления почек травами
Сколько воды в олимпийском бассейне