Расставить задачу на шахматной доске
Расставить задачу на шахматной доскеСкачать файл - Расставить задачу на шахматной доске
Задача о восьми ферзях, как и задача о ходе коня, является одной из самых знаменитых математических задач на шахматной доске. Если задачей о коне занимался Леонард Эйлер, то задача о ферзях привлекла внимание другого великого математика - Карла Гаусса. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске восемь ферзей так, чтобы они не угрожали друг другу, т. Найти ту или иную расстановку ферзей, удовлетворяющую условию задачи, не так трудно четыре решения приведены на рис. Значительно труднее подсчитать общее число существующих расстановок; собственно, в этом и состоит задача о восьми ферзях. Ясно, что как и в случае ладей, больше восьми не атакующих друг друга ферзей на шахматной доске расставить невозможно. Любопытно, что многие авторы ошибочно приписывают задачу о восьми ферзях и ее решение самому Гауссу. На самом деле первым ее сформулировал в г. Лишь после этого Гаусс увлекся задачей и нашел 72 решения, которые сообщил в письме к своему другу астроному Шумахеру от 2 сентября г. Полный же набор решений, состоящий из 92 позиций, получил все тот же Ф. Наук он привел их в упомянутой газете от 21 сентября г. Эта хронология установлена известным немецким исследователем математических развлечений В. Аренсом, который в своих книгах немало места уделил рассматриваемой задаче. Доказательство того, что 92 решения исчерпывают все возможности, было получено лишь в г. Глэшером при помощи теории определителей. В принципе, расставляя на доске восемь ферзей всевозможными способами, мы в конце концов найдем все устраивающие нас расстановки. Однако этот путь чересчур долог и скучен. Можно ограничиться только решениями соответствующей задачи о ладьях и отобрать среди них такие, в которых никакая пара ладей не стоит па одной диагонали. Но и в этом случае перебор довольно велик понадобятся, как мы знаем, более попыток. Известно много способов организовать более или менее разумный поиск искомых расположений ферзей методы Пермантье, Ла-Ное, Гюнтера, Глэшера, Лакьера и др. Эти способы описаны в многочисленной литературе по занимательной математике в основном в прошлом столетии и начале нынешнего. В наш век вычислительных машин задача такого сорта не смогла бы вызвать столь живой интерес. Ведь достаточно составить несложную программу для ЭВМ - и уже через несколько минут после ее введения в машину все 92 необходимые позиции будут выданы на печать. Из данной расстановки ферзей новую можно получить также зеркальным отражением доски относительно одной из пунктирных прямых на рис. При помощи других поворотов и отражений можно получить еще пять решений. Итак, при поворотах и отражениях доски из одной расстановки ферзей получаются, вообще говоря, семь новых. В случае а исходное решение называется дважды симметрическим, в случае б - симметрическим, а в случае в - простым. Для обычной доски каждое решение является либо простым, либо симметрическим, а дважды симметрических не существует. Алгебраическую интерпретацию решений каждого класса можно найти у Окунева. Множество набор расстановок восьми ферзей называется основным,если они, во-первых, не переходят друг в друга при поворотах и отражениях доски, и, во-вторых, любая другая расстановка получается из какой-нибудь основной при помощи этих преобразований. Известно, что всякий набор основных решений задачи содержит ровно 12 позиций расстановок восьми ферзей. Приведем одип из таких наборов:. Остальные 80 позиций получаются из этих двенадцати в результате поворотов и отражений доски. Первые 11 расстановок являются простыми, и лишь последняя - симметрической. Рассматривая основные расстановки, можно обнаружить те или иные интересные особенности их. Например, легко заметить внешнюю симметрию последней расстановки 2-я позиция на рис. Еще одно его свойство состоит в том, что ферзями не занята главная диагональ доски a1 - h8 этим свойством обладает и первое основное решение. Первая расстановка на рис. Всякое решение задачи можно записать, как набор t 1 , t 2 , … t 8 , представляющий собой перестановку чисел 1, 2, …, 8. Здесь ti - номер горизонтали, на которой стоит ферзь i-й вертикали. Числовая запись расстановок ферзей иногда бывает очень удобной. Например, для нахождения расстановок при фиксированном расположении ферзя на a1 достаточно из всех 92 позиций, записанных в числовой форме, отобрать такие, у которых первая координата равна 1. Если фиксировано положение ферзя на d3, то следует выделить позиции, у которых на четвертом месте стоит число 3, и т. Запишем числа 1, 2, …, 8 сначала по возрастанию, а потом по убыванию. После этого сложим числа каждой из этих двух перестановок с числами произвольной перестановки, например 3, 7, 2, 8, 5, 1, 4, Полученные суммы образуют два набора чисел: Какие перестановки чисел 1, 2,…, 8 дают в результате указанной операции сложения два таких набора, в каждом из которых все числа различны? Задача о восьми ферзях заинтересовала Гаусса именно в связи с этой чисто арифметической задачей. Оказывается, между решениями задачи о ферзях и решениями описанной арифметической задачи существует взаимно однозначное соответствие. Другими словами, каждая расстановка восьми ферзей, не угрожающих друг другу, дает решение арифметической задачи - и наоборот. Для выбранной перестановки оба набора состоят из различных чисел, и это не случайно - она соответствует первой позиции на рис. Нетрудно видеть, что при поворотах n отражениях доски одни решения получаются из других при помощи простых арифметических операций над координатами полей, занятых ферзями. Исследование этих операций позволяет обнаружить дополнительные свойства решений некоторые из которых приведены у Окунева. Задача о n ферзях. Итак, при n, равном 2 или 3, задача не имеет решений. Доказательству этого далеко не очевидного факта посвящено много статей, в том числе в серьезных математических изданиях. Аналогичное наложение в общем случае возможно только при тех и, которые не делятся ни на 2, ни на 3. Из этого, в частности, следует, что для обычной доски подобрать восемь решепий, для которых ферзи заполняют всю доску, невозможно. Здесь по-прежнему t i - номер горизонтали, на которой стоит ферзь i-й вертикали, а набор t 1 , …, t n есть перестановка чисел 1, …, п. Таким образом, для решения задачи в общем случае достаточно найти перестановку чисел 1, …, n, удовлетворяющую указанному условию. Доказательство того, что в полученных расстановках наше условие выполняется, можно найти, например, у Окунева или у Ягломов. Рассмотрим последовательно ряд случаев. Расположим их ходом коня со второй вертикали по. В результате свободными останутся шесть вертикалей и шесть горизонталей доски, на которых шесть ферзей должны занять поля с такими координатами: Нам осталось рассмотреть задачу для нечетных значений n. Ферзь, как мы знаем, сочетает в себе ходы ладьи и слона. Фигуру, которая ходит одновременно как ладья, слон и конь, шахматвые композиторы называют магараджей или амазонкой. Проанализировав все 12 приведенных выше основных расстановок, мы легко убедимся, что всякий раз по меньшей мере три пары ферзей связаны между собой ходом коня. При этом имеется всего одно основное решение, показанное на рис. Склеивая друг с другом вертикальные или горизонтальные края доски, мы получаем цилиндрическую шахматную доску. Можно ли на цилиндрической шахматной доске расставить восемь ферзей так, чтобы они не угрожали друг другу? Оказывается, что если на обычной доске имеется 92 искомые расстановки, то на цилиндрической уже нет ни одной! Докажем это, считая, что такая доска получается в результате склеивания вертикальных краев см. Возьмем обычную шахматную доску, помня о том, что ее края склеены. Это означает, в частности, что ферзь с d1 может пойти на a4 и далее, не останавливаясь, через b5 на e8 этот путь показан стрелкой на рис. Запишем на каждом поле доски три цифры, совпадающие, соответственно, с номерами вертикали, горизонтали и диагонали, проходящих через это поле. Рассматриваются диагонали, параллельные стрелкам на рис. Если восемь ферзей не угрожают друг другу, то на восьми полях, занимаемых ими, все первые цифры различны и, значит, образуют полный набор чисел 1, 2, …, 8. То же утверждение справедливо для вторых и для третьих цифр. Так как сумма цифр каждого поля делится на 8, то и найденная сумма должна делиться на 8, однако на 8 не делится - противоречие! Конечно, при поворотах n отражениях доски всегда предполагается, что система координат фиксирована. В противном случае при любых операциях с доской мы бы имели одно и то же решение. Главная Инфотека Форум Регистратура Онлайн О сайте Контакты Ещё…. Задача о восьми ферзях Задача о восьми ферзях, как и задача о ходе коня, является одной из самых знаменитых математических задач на шахматной доске. Похожее Алиса в Стране Смекалки. Они доставят удовольствие всем любителям занимательной математики, а почитателям творчества Льюиса Кэрролла в особенности. Математические фокусы - очень своеобразная форма демонстрации математических закономерностей. Этой скрытой математичностью и интересна книга Мартина Гарднера - сам автор не формулирует на языке математики закономерностей, лежащих в основе его экспериментов, ограничиваясь описанием действий показывающего, явных и тайных. Но читателю, знакомому с элементами школьной алгебры и геометрии, несомненно, доставит удовольствие самому восстановить по объяснениям автора соответствующую алгебраическую или геометрическую идею. Книга будет интересна многим читателям: И дети, и взрослые читатели часто сожалели, что там были только математические задачи, — ведь и все естествознание заслуживает столь же активного, творческого к себе отношения. Теперь я отвечаю на эти пожелания — следуя скорее Яну Амосу Каменскому, чем современным педагогам, то есть всегда стремясь быть понятным читателю, не имеющему предварительных знаний но столь же любознательному, как большинство подростков. Книга известного американского математика и логика профессора Р. Смаллиана, продолжающая серию книг по занимательной математике, посвящена логическим парадоксам и головоломкам, логико-арифметическим задачам и проблемам разрешимости, связанным с теоремой Геделя. Рассчитана на интересующихся занимательной математикой. В сороковые годы XX века известными математиками П. К настоящему времени разработано много интересных и остроумных подходов к её пока частичному решению. Текст брошюры представляет собой запись лекции, прочитанной автором 7 декабря года на Малом мехмате МГУ для школьников 9—11 классов. Представьте себе, что на стол высыпана кучка совершенно одинаковых по виду монет, но вам сказали, что одна из этих монет — фальшивая. Она отличается от остальных монет по весу, но вам не сообщили, легче она или тяжелее. В вашем распоряжении имеются чашечные весы без гирь. Как нужно действовать, чтобы выделить эту монету и выяснить её тип то есть узнать, легче она или тяжелее за минимальное число взвешиваний? Можно ли обойтись меньшим числом вопросов? Если нет, то как это доказать? Сколько нужно взвешиваний на чашечных весах без гирь, чтобы наверняка выделить более лёгкую монету среди одинаковых на вид? С такого рода вопросов начинается наука о сложности алгоритмов, и очень скоро доходит до важных, но до сих пор не решённых задач. Теория вероятностей и статистика, фокусы с картами, основанные на циклических перестановках, визуализация масштаба числа возможных перестановок 52 карт — 52! При развитии теории множеств, на которой базируется вся современная математика, возникали парадоксы. Например, парадокс брадобрея, формулируемый следующим образом: В частности, вы узнаете, как из одного апельсина сделать два. Приведены задачи, самостоятельное решение которых поможет читателю более полно разобраться в материале. Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой:
Математические задачи на шахматную тему
Финансовое планирование и бюджетирование задачи с решениями
Виртуальная доска
8 ферзей на шахматной доске – 12 решений
Якутские бриллианты официальный каталог москва