Расчёты на устойчивость - Физика и энергетика реферат
Главная
Физика и энергетика
Расчёты на устойчивость
Равновесное состояние упругой системы называется устойчивым, если оно мало изменяется при малых возмущениях. Явление потери устойчивости. Определение величины критической силы для стержня, теряющего устойчивость в упругой стадии, по формуле Эйлера.
посмотреть текст работы
скачать работу можно здесь
полная информация о работе
весь список подобных работ
Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Равновесное состояние упругой системы называется устойчивым, если оно мало изменяется при малых возмущениях. Если остановится на случае прямолинейных, достаточно гибких и центрально загруженных стержней, то явление потери устойчивости состоит в следующем. При силах, не превышающих некоторой величины, называемой критической силой, прямолинейное равновесное состояние является единственным и устойчивым. Однако, если сила больше критической, то прямолинейное равновесное становится неустойчивым и стержень переходит в криволинейное равновесное состояние - изгибается. Происходит бифуркация (раздвоение) равновесных форм. Величина критической силы для стержня, теряющего устойчивость в упругой стадии, определяется по формуле Эйлера:
F cr = , (1)
I x - минимальный момент инерции поперечного сечения стержня;
- коэффициент приведения длины, зависящий от закрепления стержня;
Формула Эйлера может использоваться в том случае, если потеря устойчивости происходит в упругой стадии, т.е. если критическое напряжение не превосходит предела пропорциональности:
cr = F cr /A = 2 E / 2 pr , (2)
где: = l / i x - гибкость стержня; i x = I x / A радиус инерции поперечного сечения; А - площадь поперечного сечения.
В 1899 г. русским инженером Ф.С.Ясинским был предложен способ расчёта сжатых стержней на устойчивость, состоящий в том, что расчёт на устойчивость заменяется расчётом на обыкновенное сжатие, но допускаемые напряжения при этом полагаются переменными, зависящими от гибкости:
cr adm = adm ; = cr / yc , (3)
здесь = коэффициент снижения допускаемого напряжения; adm - допускаемое напряжение на сжатие.
За пределами применимости формулы Эйлера, т.е. для малых значений гибкости, величины коэффициента рассчитываются с учётом возникновения упруго- пластических деформаций. Разумеется, что зависит не только от гибкости, но и от свойств материала. Для наиболее употребительных материалов составлены таблицы. Приведём такую таблицу для Ст.3, материала наиболее часто используемого для сжатых элементов конструкций.
Площадь поперечного сечения А = 26,13 = 12,26см 2 ( ГОСТ 8509-72). Осью, относительно которой момент инерции минимален, является ось x. Очевидно, что радиус инерции сечения относительно оси x , будет равняться радиусу инерции одного уголка i x = 1,94см (по сортаменту). Т.к. узлы фермы считаются шарнирными, то коэффициент приведения длины .Приведенная длина l = 1 2м = 200см. Гибкость = 200 / 1,94 103,1.
По таблице 1 имеем: = 0.60 - ( 0, 08/10),1 = 0,575.
Нормальная сила, которую можно допустить на стержень АВ равняется:
N adm = adm A = 0,57516кН/см 2 12,26см 2 = 112,8 кН.
Свяжем между собой силу F и усилие N.
y F y = 0 F/2 - NSin() = 0; F = N;
N F adm = N adm = 112,8kH.
Пример 2. Подобрать размеры квадратного поперечного сечения для сжатой стойки (Рис.3). Сила F = 80кН. Материал Ст.3 с adm = 160 МПа.
Разберёмся с геометрическими харак-
теристиками сечения: А = а 2 , I x = a 4 /12;
F i x = I x /A = (1/ 12 )a 0,289a.
Зададимся некоторым средним значени-
a l=0,5м ем коэффициента снижения допускаемого
по табл.1 = 110 + 10(0,02/0,07) = 112,9.
Коэффициент для данного случая зак-
Округляя до более технологичного размера, примем а = 32мм. В последнем примере данных методических указаний мы покажем другой подход к организации попыток подбора, при котором образуется некоторый сходящийся итерационный процесс.
Энергетический способ определения критических сил. Изложенные выше подходы, применимы тогда, когда условия закрепления стержня и способы приложения нагрузки простейшие [1]. В более сложных случаях интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси стержня достаточно громоздко и целесообразно воспользоваться приближённым энергетическим способом. Рассмотрим стержень центрально сжатый силой F (Рис.4). Стержень на рисунке условно показан шарнирно опёртым, но вопрос о граничных условиях оставим пока открытым.
F F x
Пусть сила F меньше эйлеровой критической силы. Если приложить к стержню некоторую малую поперечную силу F п , то стержень изогнётся, но будет находится в устойчивом равновесном состоянии. Сжимающая сила F совершит при этом работу на перемещении , которое можно найти следующим образом. Укорочение малого элемента длиной dz будет равно:
d = dz dzCos = dz(1 Cos) = 2dzSin 2 ( ?dz 2 .
Учтём, что угол поворота равен первой производной от прогиба: v , тогда перемещение точки приложения силы найдётся:
Реализуем граничные условия, получив при этом систему из четырёх алгебраических уравнений.
Е = 0; 2) С = 0; 3) Al 4 + Bl 3 + Dl = 0; 4) 12Al 2 + 6Bz =0 B = 2Al , подставляя это в предыдущее уравнение, имеем: D = Al 3 .
Подставляя это в выражения для производных, получим:
v = A(4z 3 6lz 2 + l 3 ); v = 12A(z 2 - lz).
F cr = = 168EI x / (17l 2 ) 9,8824EI x / l 2 .
Как видим, полученное решение практически совпадает с точным. Обратим внимание на тот факт, что приближённые решения всегда дают завышенные значения критических сил. Это происходит по той причине, что в приближённом решении стержень система с бесконечным числом степеней свободы, заменяется более жёсткой системой с конечным числом степеней свободы.
Пример 4. Найти критическую нагрузку для стержня, показанного на
Рис.6. В этом случае значение коэффициента
приведения длины неизвестно и нет возмож-
F ности непосредственно использовать для вы-
числения критической силы формулу (1). При-
меним энергетический способ. Для аппрок-
l симации изогнутой оси стержня используем
выражение (6). Граничные условия будут
при z = 0: v = 0 (в заделке угол поворота
z 2l равен нулю);
4) при z = 3l: M = 0 v = 0 ( на верхнем
конце стержня изгибающий момент равен
Выражения для производных см. стр.8. Воспользуемся граничными условиями:
Е = 0; 2) D = 0; 3) 4l 2 A +2lB + C = 0; 4) 54l 2 A + 9lB +
+ C = 0, решая относительно А систему из двух последних уравнений: 9lB + C = 54l 2 A,
получим: B = ( 50/7)Al; C = (72/7)Al.
Первая и вторая производные от прогиба запишутся:
v = 2A[2z 3 - (75/7)lz 2 + (72/7)l 2 z], v = 12A[z 2 - (25/7)lz + (12/7)l 2 ].
z Запишем граничные условия:
Рис.7 Подставим это в аппроксимирующий полином (6) и во вторую производную от него. В результате получим те же самые выражения для v и v, что и в примере 3. Различие будет состоять лишь в том, что в выражении для критической силы интеграл, стоящий в знаменателе придётся брать в пределах от 0 до 0,6l. Это легко понять, если вспомнить, что знаменатель в формуле (4) представляет собой удвоенное перемещение точки приложения силы, а оно зависит от укорочения части стержня, лежащей ниже сечения, в котором приложена сила.
Найдём коэффициент приведения длины. Для этого представим выражение для критической силы:
F cr = 19,53EI x / l 2 = 2 EI x / ( 2 / 19,53)l 2 .
Сопоставляя полученный результат с формулой Эйлера (1), получим:
Приведенная длина стержня l = 0,711300 213см.
Подберём размеры поперечного сечения. Определим геометрические характеристики. Площадь сечения:
A = D 2 (1 2 )/4 0,785D 2 (1 - 0,8 2 ) 0,283D 2 .
_____ ______ _______
i x = I x / A = 0,25 D 1 + 2 = 0,25D 1 + 0,8 2 0,32D.
Для подбора размеров сечения используем следующий сходящийся алгоритм: зададимся некоторым средним значением коффициента :
1 = 0,5, тогда площадь А = F / 1 adm = 200kH/ (0,516kH/ см 2 =25см 2 ;
диаметр сечения равен D = A/0,283 = 25/0,283 = 9,4см;
радиус инерции i x = 0,32D = 0,329,4 = 3,01см;
гибкость = l / i x = 213/3,01 = 70,8;
коэффициент приведенной длины, соответствующий этой гибкости
1 = 0,81 - (0,06/10)0,8 = 0,8052 (табл.1);
следующее значение примем равным среднему арифметическому из двух предыдущих:
2 = ( + 1 )/2 = (0,5 + 0,8052)/2 0,653 и повторим расчёт:
А = 200/(0,65316) = 19,14см 2 ; D = 19,14/0,283 = 8,22см; i x = 0,328,22
= 2,63см; = 213/2,63 = 81; 2 = 0.75 (0,06/10) = 0,744;
= (0,653 + 0,744)/2 = 0,7; А = 200/(0,716) = 17,86см 2 ;
D = 17,86/0,283 = 7,94см; i x = 0,327,94 = 2,54см; = 213/2,54 = 83,9
= 0,75 - (0,06/10)3,9 = 0,727; разница между двумя соседними значениями составляет:
Расчёт можно считать законченным. Требуемый размер D = 7,94см, но из конструктивных соображений примем D = 80мм.
Фе о досьев В.И. Сопротивление материалов. - М.: Наука. - 1986. 512с.
Рабо т нов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука. - 1979. - 744с.
Понятие равновесного состояния, его виды. Пределы применимости формулы Эйлера. Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы. Понятие коэффициента запаса на устойчивость. Энергетический способ определения критических сил. курс лекций [888,8 K], добавлен 23.04.2009
Определяющие соотношения модели нелинейно упругой среды, вычисление компонент тензора напряжений. Определение автомодельного движения. Сведение модельных соотношений к системе дифференциальных уравнений. Краевая задача разгрузки нелинейно упругой среды. курсовая работа [384,1 K], добавлен 30.01.2013
Понятие устойчивости применительно к электрической системе. Определение взаимных и собственных проводимостей при различных системах возбуждения, определение коэффициента запаса статической устойчивости. Расчёт динамической устойчивости данной системы. курсовая работа [403,9 K], добавлен 26.01.2011
Построение векторных диаграмм неявнополюсного и явнополюсного генераторов. Запас статической устойчивости простейшей электрической системы, а также меры по её повышению. Критерии статической устойчивости. Внутренняя реактивная мощность генератора. контрольная работа [287,7 K], добавлен 19.08.2014
Уравнения для поперечных компонент смещения плазмы, минимизация функционал Крускала-Обермана потенциальной энергии МГД-возмущения. Невозмущенное состояние, потенциальная энергия возмущения. Преобразование кинетического слагаемого, условие устойчивости. реферат [567,9 K], добавлен 22.07.2011
Расчет и анализ установившихся режимов схемы электроэнергетической системы (ЭЭС). Оценка статической устойчивости ЭЭС. Определение запаса статической устойчивости послеаварийного режима системы. Отключение сетевого элемента при коротком замыкании. курсовая работа [563,4 K], добавлен 11.09.2015
Расчет параметров схемы замещения в относительных единицах. Определение электродвижущей силы генератора и соответствующих им фазовых углов. Расчет статической устойчивости электрической системы. Зависимость реактивной мощности от угла электропередачи. курсовая работа [941,9 K], добавлен 04.05.2014
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .
© 2000 — 2021
Расчёты на устойчивость реферат. Физика и энергетика.
Когда Будут Результаты Контрольной Работы
Принципы Трудового Права Курсовая Работа
Учебное пособие: Процедуры при аудите импортных операций
Дипломная работа по теме Расчетно-аналитический метод определения припусков на механическую обработку заготовок
Контрольная работа: Реализация системного подхода при построении методики анализа
Лабораторная Работа Равновесие
Сочинение Про Птицу Волшебная История 3 Класс
Реферат Жизнь И Творчество Аксакова
Контрольная работа: Семейные отношения
Реферат: Ironclad Ships Essay Research Paper The Battle
Отчет По Юридической Практике В Ооо
Сочинение по теме Рассказ Леонида Андреева Жизнь Человека
Итоговое Сочинение 2022 Темы И Произведения
Контрольная работа по теме Каналы и индикаторы распространения кризисных явлений в экономике Украины
Реферат: Разработка грунта под фундамент
Метафорическая Образность В Дизайне И Архитектуре Диссертация
Сочинение Труд Людей Осенью
Курсовая работа по теме Методические основы дистанционного обучения на базе компьютерных технологий
Наука Как Социальный Институт Эссе
Дипломная работа: Безопасность жизнедеятельности на производстве
Бизнес-план строительства аквапарка - Маркетинг, реклама и торговля бизнес-план
Бренд в системе агромаркетинга - Маркетинг, реклама и торговля контрольная работа
Роль слушающего в речевом взаимодействии - Психология доклад