Рівняння кривих та поверхонь другого порядку - Математика курсовая работа

Главная

Математика
Рівняння кривих та поверхонь другого порядку

Зведення до канонічного вигляду кривих і поверхонь другого порядку методом ортогональних перетворень, побудова їх за заданими канонічними рівняннями. Визначення лінійних операторів та квадратичних форм. Власні вектори та значення лінійного оператора.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

КРИВА, ПОВЕРХНЯ, ЛІНІЙНИЙ ОПЕРАТОР, КВАДРАТИЧНА ФОРМА, КАНОНІЧНИЙ ВИГЛЯД.
Наведення загальних рівнянь кривих та поверхонь другого порядку. Основні визначення пов'язані з лінійними операторами та квадратичними формами. Зведення загальних рівнянь кривих та поверхонь другого порядку до канонічного вигляду методом ортогональних перетворень та побудова кривих і поверхонь.
1. Криві та поверхні другого порядку
2.3 Характеристичне рівняння лінійного оператора
2.4 Власні вектори та власні значення лінійного оператора
3.2 Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду
4. Відповіді на теоретичні запитання
1. Постановка та розв'язання задачі 1 практичного завдання
2. Постановка та розв'язання задачі 2 практичного завдання
В зв'язку із зростанням в останні роки ролі лінійної алгебри в різних розділах математики та техніки курс "Алгебра та геометрія" посідає особливе місце як базовий в системі курсів, які вивчаються студентами спеціальності ПМ.
Тематика даної курсової роботи дає можливість побудувати криву або поверхню другого порядку задану будь-яким загальним рівнянням.
В цій курсовій роботі ми повинні навчитися зводити загальні рівняння кривих та поверхонь другого порядку до канонічного вигляду методом ортогональних перетворень та будувати їх.
В роботі наведено канонічні рівняння кривих та поверхонь другого порядку, основні визначення пов'язані з лінійними операторами та квадратичними формами, зведення квадратичної форми до канонічного вигляду методом ортогональних перетворень, побудова кривих та поверхонь другого порядку заданих канонічними рівняннями.
1. Кривые и поверхности второго порядка
Эллипсом называется множество точек плоскости, обладающих следующим свойством: сумма расстояний от любой точки этого множества до двух данных точек плоскости есть величина постоянная, большая расстояния между данными точками. Данные точки называются фокусами.
Обозначим фокусы через и , расстояние между ними -- через , а сумму расстояний от любой точки эллипса до его фокусов -- через . Согласно определению эллипса, .
Выберем декартову прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 1, т. е. ось абсцисс проведем через фокусы в направлении от к , а начало координат помести посредине между фокусами. В этой системе координат фокусы и имеют соответственно координаты , и ,.
Чтобы вывести уравнение эллипса, рассмотрим произвольную его точку и, исходя из определения эллипса, найдем зависимость между текущими координатами . По определению, для любой точки эллипса справедливо равенство
то, подставив найденные значения и в равенство , получим
Это уравнение является уравнением эллипса, так как ему удовлетворяют координаты любой точки эллипса и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих эллипсу.
Так как , то . Введем обозначение . Число действительное, и . Имеет место соотношение
Уравнение называется каноническим уравнением эллипса, а числа и , входящие в уравнение, -- полуосями эллипса: -- большой полуосью, -- малой.
Каноническое уравнение эллипса является алгебраическим уравнением второй степени относительно и , следовательно, эллипс -- кривая второго порядка.
Гиперболой называется множество точек плоскости, обладающих следующим свойством: модуль разности расстояний от любой точки этого множества до двух данных точек плоскости есть величина постоянная, меньшая расстояния между данными точками и отличная от нуля.
Данные точки и называются фокусами. Расстояние между ними обозначим через , а модуль разности расстояний от любой точки гиперболы до фокусов -- через . Согласно определению гиперболы, .
Так как ; , то для точек гиперболы имеем
Освободившись от иррациональности так, как мы делали это для эллипса, получим
Так как , то . Введем обозначение. Здесь будет действительным числом, отличным от нуля. Имеет место соотношение . Используя введенное обозначение, запишем уравнение гиперболы в виде
Так же, как и для эллипса, можна доказать, что для любой точки M(x,y), координаты которой удовлетворяют уравнению (6), выполняется условие (5). Следовательно, это уравнение является уравнением гиперболы.
Уравнение (6) называется каноническим уравнением гиперболы. Гипербола является кривой второго порядка.
Параболой называется множество точек плоскости. каждая из которых равноудалена от принадлежащей этой плоскости данных прямой и точки, не лежащей на этой прямой. Данная точка называется фокусом, а данная прямая -- директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы обозначим через p (p>0).
Чтобы составить уравнение параболы, выберем систему координат так, как показано на рис. 3, т.е. ось проведем через фокус перпендикулярно к директрисе в направлении от директрисы к фокусу. За начало координат возьмем середину между фокусом и директрисой. Тогда уравнение директрисы будет иметь вид
Возьмем на параболе произвольную точку . Найдем расстояние от этой точки соответственно до фокуса и директрисы:
Для любой точки параболы (и только для точек параболы) , следовательно,
Это и есть уравнение параболы Возведя обе его части в квадрат и приведя подобные члены, получим
Можно доказать, что это уравнение эквивалентно уравнению (7), а следовательно, является уравнением параболы. Уравнение (8) называется каноническим уравнением параболы, а входящее в него p -- параметром параболы.
Как видно из полученного уравнения, парабола является кривой второго порядка.
Общее уравнение кривой второго порядка
Пусть в уравнении (9) отсутствует член с произведением координат , т. е. уравнение имеет вид
1) (эллиптический тип). Без ограничения общности можно считать, что и -- положительные числа.
Если , то уравнение (11) приводится к виду
где . Это уравнение определяет эллипс.
Если , то уравнению (11) соответствует пустое множество.
Если , то уравнение (11) принимает вид
2) (гиперболический тип). Не нарушая общности, можно считать, что , . Как и в первом случае, уравнение (10) можно привести к виду (11).
Если , то уравнение (11) можно записать в виде
Оно определяет гиперболу, действительная ось которой параллельна оси .
Если , то получим гиперболу, заданную уравнением
Действительная ось этой гиперболы параллельна оси .
Если , то уравнение (11) принимает вид
Ему соответствует пара пересекающихся прямых.
3) (параболический тип). Предположим, что , , т. е. уравнение (10) имеет вид
Не нарушая общности, можно считать, что . Тогда получим
Если , то уравнение можно записать в виде
Этому уравнению соответствует парабола с осью симметрии, параллельной оси . Если и , то уравнение
которые определяют пару параллельных прямых.
Если и , то получим также уравнение (12), которому в этом случае соответствует пустое множество.
Оно определяет пару совпадающих прямых .
Если предположить, что ,, то уравнение (10) будет иметь вид
Это уравнение при определяет параболу с осью симметрии, параллельной оси , и может быть приведено к виду
Если , то уравнение определяет пару параллельных (в частном случае слившихся) прямых или пустое множество.
Таким образом, уравнению (10) могут соответствовать только следующие фигуры: эллипс, гипербола, парабола, пара прямых, точка или пустое множество.
Общее уравнение кривой второго порядка
Канонические уравнения фигур второго порядка
Положительные числа называются полуосями эллипсоида.
В частном случае, когда две полуоси равны, эллипсоид называется эллипсоидом вращения, так как этот эллипсоид может быть получен вращением эллипса вокруг одной из его осей.
Если , то уравнение (13) определяет шаровую поверхность.
2) Пустое множество точек (мнимый эллипсоид)
4) Однополостный гиперболоид (рис. 5)
В частном случае, когда , однополостный гиперболоид называется однополостным гиперболоидом вращения, так как такой гиперболоид может быть получен вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси.
5) Двуполостный гиперболоид (рис. 6)
В частном случае, когда , двуполостный гиперболоид называется двуполостным гиперболоидом вращения, так как такой гиперболоид может быть получен вращением гиперболы вокруг ее действительной оси.
6) Эллиптический параболоид (рис. 7)
В частном случае, когда , эллиптический параболоид называется параболоидом вращения, так как такой параболоид может быть получен вращением параболы вокруг ее оси симметрии.
7) Гиперболический параболоид (рис. 8)
В частном случае, если, то эллипс, определяемый уравнениями
есть окружность с центром на оси , и, следовательно, конус оказывается круглым.
10) Пустое множество (мнимый эллиптический цилиндр)
12) Гиперболический цилиндр (рис. 11)
14) Параболический цилиндр (рис. 12)
16) Пустое множество (мнимые плоскости)
2.1 Определение линейного оператора
Пусть даны два линейных вещественных (комплексных) пространства и , размерности которых равны соответственно и . Будем говорить, что задано отображение пространства в или оператор, действующий из в , если каждому поставлен в соответствие единственный , и писать .
Вектор y назовем образом вектора , а -- прообразом вектора . В этом случае будем говорить, что оператор переводит вектор в вектор , и писать .
Оператор называется линейным, если для любых векторов пространства и произвольного числа (вещественного, если пространство вещественное, и комплексного, если комплексное), выполняются следующие условия:
Пусть -- линейный оператор некоторого пространства, переводящий элементы базиса соответственно в векторы . Так как -- базис, то
называется матрицей линейного оператора в базисе .
2.3 Характеристическое уравнение линейного оператора
Характеристическим уравнением линейного оператора называется уравнение
где -- матрица этого оператора в некотором базисе.
Уравнение (21) называется также характеристическим уравнением матрицы , а его корни -- характеристическими числами линейного оператора, а также матрицы .
2.4 Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
Вектор линейного пространства называется собственным вектором линейного оператора этого пространства, если этот вектор ненулевой и существует число , такое, что
При этом вещественное, если линейное пространство вещественное, и комплексное, если пространство комплексное.
Число называется собственным значением вектора относительно оператора , а также собственным значением оператора .
Собственные значения и собственные вектора линейного оператора называются также собственными значениями и собственными векторами матрицы этого оператора.
Пусть даны переменных , , …, , принимающих числовые значения. Рассмотрим всевозможные парные произведения ; и составим сумму
где - некоторые числа, среди которых хотя бы одно отлично от нуля. Эта сумма называется квадратичной формой переменных , , …, , и обозначается . Таким образом,
Числа называются коэффициентами квадратичной формы. В дальнейшем будем рассматривать квадратичные формы с вещественными коэффициентами. Такие формы называются вещественными. Кроме того, будем считать, что областью изменения каждой из переменных является множество всех вещественных чисел.
составленную из коэффициентов квадратичной формы, будем называть матрицей этой квадратичной формы.
Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы.
Квадратичная форма называется невырожденной, если ее матрица невырожденная.
3.2 Приведение квадратичной формы к каноническому виду
называется канонической (иначе говоря, имеет канонический вид), если все при .
Следовательно, каноническая квадратичная форма имеет вид
а ее матрица является диагональной.
Заметим, что любая квадратичная форма одной переменной
Каноническая форма называется нормальной, если каждый ее коэффициент, отличный от нуля, по абсолютной величине равен единице.
Нахождение по данной квадратичной форме конгруэнтной ей канонической квадратичной формы называется приведением квадратичной формы к каноническому виду.
Теорема 1. Для любой квадратичной формы существует конгруэнтная ей каноническая квадратичная форма.
Доказательство. Для квадратичной формы одной переменной теорема справедлива в силу того, что невырожденным однородным линейным преобразованием, переводящим квадратичную форму в самое себя, является тождественное преобразование.
Для доказательства теоремы применим метод полной математической индукции. Предположим, что теорема справедлива для всех квадратичных форм переменных, где . Докажем, что она справедлива для квадратичной формы переменных.
1. Хотя бы один из коэффициентов (при квадратах переменных) отличен от нуля. Не нарушая общности, можно считать, что . Этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных.
В данной квадратичной форме выделим члены, содержащие , и запишем ее в виде
где - квадратичная форма, -й переменной. (В частном случае может быть квадратичной формой переменных, число которых меньше .)
Выражение, стоящее в скобке, преобразуем следующим образом:
По индуктивному предположению, для формы существует конгруэнтная каноническая форма. Следовательно, существует невырожденное линейное однородное преобразование
переводящее в каноническую форму. Тогда преобразование
переводит данную квадратичную форму в каноническую:
Преобразование (23) является невырожденным, так как его матрица
2. Все коэффициенты . Этот случай сводится к предыдущему.
Пусть некоторый коэффициент . Существует невырожденное преобразование, например, преобразование
переводящее квадратичную форму (22) в квадратичную форму, у которой коэффициент при отличен от нуля. Теорема доказана.
Легко показать, что в квадратичной форме (24) число коэффициентов , отличных от нуля, равно рангу квадратичной формы. Поэтому любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду
Заметим, что если квадратичная форма является невырожденной, то конгруэнтная ей каноническая форма имеет вид
Записать общее уравнение фигуры второго порядка на плоскости
Записать общее уравнение в матричном виде
Что называется квадратичной формой, соответствующей уравнению ? Записать матрицу этой квадратичной формы.
уравнения (25) является квадратичной формой двух переменных и , соответствуящая уравнению (25).
Матрица этой квадратичной формы в базисе имеет вид
Пусть в системе координат фигура задана уравнением или
1) Как найти такой ортонормированный базис , чтобы квадратичная форма, соответствующая уравнению данной фигуры в системе координат , имела канонический вид?
2) Записать соответствующий канонический вид квадратичной формы.
3) Записать уравнение данной фигуры в системе координат .
1) Надо найти ортогональный оператор с матрицей
который переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис , причем , .
При каком условии уравнение определяет фигуру:
а) эллиптического типа; б) гиперболического типа; в) параболического типа?
Записать общее уравнение фигуры второго порядка в пространстве.
где хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.
Записать общее уравнение в матричном виде.
Что называется квадратичной формой, соответствующей уравнению ? записать матрицу этой квадратичной формы.
уравнения (26) является квадратичной формой трех переменных , соответствующая уравнению (26).
Матрица этой квадратичной формы в базисе имеет вид
Пусть в системе координат фигура задана уравнением или
1) Как найти такой ортонормированный базис , чтобы квадратичная форма, соответствующая уравнению данной фигуры в системе координат , имела канонический вид?
2) Записать соответствующий вид квадратичной формы.
3) Записать уравнение данной фигуры в системе координат .
1) Надо найти ортогональный оператор с матрицей
который переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис , причем
1. Звести до канонічного вигляду задане рівняння кривої другого порядку та побудувати її
Рівняння (27) задане в системі координат .
Матриця квадратичної форми, що присутня в (27)
Знаходимо . Маємо криву гіперболічного типу.
Виконуємо зведення рівняння до канонічного виду таким чином:
1. Складаємо характеристичне рівняння
і знаходимо його корені . Це власні значення матриці .
У цій системі послідовно покладемо .
-- власний вектор; -- нормований власний вектор.
-- власний вектор; -- нормований власний вектор.
Маємо нову систему координат , яка отримується з попередньої поворотом на відповідний кут.
3. Записуємо матрицю переходу від базису до базису .
Перевіряємо: , значить збережена взаємна орієнтація осей при повороті системи координат.
Підставимо формули перетворення (28) в рівняння кривої (27). Тоді матриця квадратичної форми прийме діагональний вигляд і група старших членів представиться так:
Таким чином, рівняння кривої у змінних та прийме вигляд:
5. Виділяємо повні квадрати відносно змінних та у (29).
Це відповідає паралельному переносу початку координат у точку . Отримаємо рівняння
Це канонічне рівняння гіперболи. Воно записане в системі координат .
6. З формул паралельного переносу (30) знайдемо вираз через та підставимо у формули перетворення (28). Отримаємо результуюче перетворення координат.
Очевидно, що якщо підставити формули перетворення (32) у вихідне задане рівняння кривої (27), то отримаємо канонічне рівняння (31):
Таким чином, (32) -- результуюче перетворення координат, а канонічна система координат , де
7. Побудуємо гіперболу, задану рівнянням (31). Послідовно нанесемо три системи координат і в останній канонічній системі представимо гіперболу, задану цим рівнянням (рис. 13).
Враховуємо, що -- гіпербола з дійсною віссю , -- півосі гіперболи.
2. Звести до канонічного вигляду задане рівняння поверхні другого порядку та побудувати її
Рівняння (33) задане в системі координат .
Матриця квадратичної форми, що присутня в (33)
1. Складаємо характеристичне рівняння
-- власний вектор; -- нормований власний вектор.
-- власний вектор; -- нормований власний вектор.
-- власний вектор; -- нормований власний вектор.
Маємо нову систему координат , яка отримується з попередньої поворотом на відповідний кут.
3. Записуємо матрицю переходу від базису до базису .
Перевіряємо: , значить збережена взаємна орієнтація осей при повороті системи координат.
Підставимо формули перетворення (34) в рівняння кривої (33). Тоді матриця квадратичної форми прийме діагональний вигляд і група старших членів представиться так:
Таким чином, рівняння поверхні у змінних прийме вигляд:
5. Виділяємо повні квадрати відносно змінних та у (35).
Це канонічне рівняння еліптичного циліндра. Воно записане в системі координат .
6. Результуючим перетворенням координат є (34).
Якщо підставити формули перетворення (34) у вихідне задане рівняння кривої (33), то отримаємо канонічне рівняння (36):
Таким чином, (34) -- результуюче перетворення координат, а канонічна система координат , де
7. Побудуємо еліптичний циліндр, заданий рівнянням (36), (рис. 14).
Враховуємо, що, еліптичний циліндр, у якого напрямна -- вісь , -- півосі еліптичного циліндра.
Завдяки даній курсовій роботі ми навчились зводити до канонічного вигляду криві та поверхні другого порядку методом ортогональних перетворень, будувати їх за заданими канонічними рівняннями.
Здобуті навички мають велике значення для подальшого навчання на спеціальності ПМ.
канонічний крива поверхня квадратичний
1. Апатенок Р. Ф. и др. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. -- Минск: Вышейш. шк., 1986. -- 272 с.
2. Тевяшев А. Д., Литвин О. Г. Алгебра і геометрія: Лінійна алгебра. Аналітична геометрія. -- Харків: ХТУРЕ, 2000. -- 388 с.
3. Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике. -- М.: Наука, 1967. -- 638 с.
4. Апатенок Р. Ф. и др. Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометри. -- Минск: Вышейш. Шк.., 1990. -- 286 с.
Теорія приведення загального рішення кривих і поверхонь другого порядку до канонічного виду в системі побудови графіків. Основні поняття (лінійний оператор, власний вектор і власне значення матриці, характеристичне рівняння, квадратична форма) і теореми. курсовая работа [328,3 K], добавлен 13.11.2012
Аналіз рівняння еліпсоїда, властивостей кривих і поверхонь другого порядку. Канонічне рівняння гіперболи за допомогою перетворень паралельного переносу й повороту координатних осей. Дослідження форми поверхні другого порядку методом перетину площинами. курсовая работа [137,1 K], добавлен 27.12.2010
Аксіоматика і основні метричні формули псевдоевклідової площини. Канонічні рівняння кривих другого порядку (параболи, еліпса, гіперболи). Елементи загальної теорії кривих другого порядку псевдоевклідової площини. Перетворення координат рівняння. презентация [787,6 K], добавлен 17.01.2015
Поняття лінійного оператора, алгебраїчні операції над ним та базові властивості. Лінійні перетворення (оператори) із простору V в W. Матриця лінійного оператора. Перетворення матриці оператора при заміні базису. власні значення і власні вектори. курсовая работа [452,3 K], добавлен 25.03.2011
Означення і найпростіші властивості лінійних операторів. Контрольний приклад отримання власних значень. Матриця лінійного оператора. Опис та текст програми. Власні вектори й значення лінійного оператора. Теорія лінійних просторів та її застосування. курсовая работа [74,8 K], добавлен 28.03.2009
Поняття приватного інтеграла. Побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем із приватним інтегралом у вигляді параболи, окружності або гіперболи. Умови існування в системи двох часток інтегралів. Якісне дослідження побудованих класів систем. дипломная работа [290,0 K], добавлен 14.01.2011
Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають пониження порядку. Лінійні диференціальні рівняння II порядку зі сталими коефіцієнтами. Метод варіації довільних сталих як загальний метод розв’язування та й приклад розв’язання задачі Коші. лекция [202,1 K], добавлен 30.04.2014
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Рівняння кривих та поверхонь другого порядку курсовая работа. Математика.
Реферат по теме Прикладные аспекты медитативной практики
Курсовая работа по теме Капітальний ремонт кришки підшипника ведучого вала коробки передач
Реферат: Measure For Measure Textual Analysis Essay
Реферат: Банкрутство 4
Контрольная работа по теме Оказание финансовой помощи кредитной организации
Реферат по теме Устройство, оптическая схема, неполная разборка и сборка теодолита 2Т2П, ЗТ2КП
Сочинение: Речь в защиту Раскольникова
Дипломная работа по теме Процесс управления продажами и формирование программы лояльности покупателей
Реферат по теме Травматизм в спорте
Курсовая работа по теме Виховний ідеал козака у козацькій педагогіці
Реферат по теме Устройство автомобиля
Доклад по теме Группа крови
Контрольная работа по теме Моделі і методи прийняття рішень в аналізі і аудиті
Реферат: Занятия аэробикой. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Специализация производства
Профессиональная Преступность И Криминальная Субкультура Курсовая
Реферат по теме Диплом - Проектирование котельной
Защита При Автомобильных Авариях Реферат
Гжель Сочинение 6
Курсовая работа по теме Организационная структура в системе государственного и муниципального управления: проблема выбора, построения, совершенствования
Дежурные части территориальных ОВД в системе органов внутренних дел - Государство и право контрольная работа
Использование принципов имажинизма при создании пейзажа в поэзии Есенина - Литература курсовая работа
Маршал Тухачевский М.Н. - История и исторические личности доклад