Puzzle #85. Фокусник

Разбор

Предположим, что при каком-то значении N фокус удался. 

Тогда по каждому варианту последовательности с 2мя закрытыми цифрами (пусть их количество равно k1) фокусник может восстановить исходную. 

Значит, каждой последовательности с 2мя закрытыми цифрами фокусник однозначно может поставить в соответствие восстановленную последовательность из N цифр (пусть их количество равно k2). Следовательно, k1 ≥ k2.

Отметим, что k1 = (N – 1)10^(N–2), (есть N – 1 вариант вычеркнуть две цифры, а на остальные N – 2 позиции есть по 10 вариантов на каждую). А k2 = 10^N.  Значит, N – 1 ≥ 100, то есть N ≥ 101.

Теперь покажем, как выполнить фокус при N = 101.

Пусть сумма всех цифр на нечётных позициях имеет остаток s от деления на 10, а сумма всех цифр на чётных позициях имеет остаток t от деления на 10 (позиции нумеруются слева направо числами от 0 до 100). 

Положим, что p = 10s + t. Пусть помощник закроет цифры, стоящие на позициях p и p + 1. Увидев, какие цифры закрыты, фокусник определит p, а следовательно, определит s и t. 

Отметим, что одна закрытая цифра стоит на нечётной позиции, а другая – на чётной. Таким образом, вычислив сумму открытых цифр на нечётных позициях и зная s, фокусник определит закрытую цифру, стоящую на нечётной позиции. Аналогично определяется закрытая цифра, стоящая на чётной позиции.