Puzzle #52. Квадрат числа

🎲 ABCDEF – число из 6ти цифр. Все цифры разные и расположены в возрастающем порядке. Это число - полный квадрат 3х-значного числа. Определите число ABCDEF ?

Разбор

Имеем следующую формулу: ABCDEF = XYZ^2.  

Примечание: Если число a = b^2, то последняя цифра числа a равна последней цифре квадрата последней цифры b. К примеру: 31329 = 177^2; 7^2 = 49.

Тогда получаем, что F - число единиц числа Z^2.

Так как А, В, С, D, Е, F расположены в порядке возрастания, то А ≤ 4, E ≥ 5, F ≥ 6.

Предположения: eсли А = 4, то ABCDEF = 456789 - не является квадратом натурального числа.

Свойство квадрата числа: последняя цифра квадрата в десятичной записи может быть равной 0, 1, 4, 5, 6 или 9.

Пусть F = 6, тогда число ABCDEF будет равно 123456 - не является квадратом натурального числа.

Значит, F = 9, а Z равно 3 или 7.

Определяем X: X >= 3, т.к. при X <= 2, макс.квадрат будет 5ти-значное число, нам нужно 6ти значное.

Дальше, можно выполнить небольшой перебор, начиная c 317 - первое число, квадрат которого равен 6ти значному числу.

Свойство квадрата числа: квадрат либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1. Квадрат либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.

Свойство квадрата числа: две последние цифры квадрата в десятичной записи могут принимать значения 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89 или 96.

В нашем случае, подходят след.значения: 69 и 89. Значения 29 и 49 не подходят, т.к. цифры ABCDEF расположены по возрастанию.

Попробуем выполнить перебор, увеличивая 317 (можно увеличивать сразу на 4 или на 6, чтобы последняя цифра числа была либо 3, либо 7). Находим такое число: 367^2 = 134689.