Puzzle #48. Хамелеоны
🎲 На острове было 13 красных, 15 зеленых и 17 синих хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (например, синий и зеленый - меняются на красный).
Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны окажутся одного цвета?
Разбор
Пусть: красный - 0, зелёный - 1, синий - 2.
Тогда встречи хамелеонов описываются суммами их цветов:
- 0 + 1 → 2 + 2
- 1 + 2 → 0 + 0
- 0 + 2 → 1 + 1
Можно заметить, что при встрече хамелеонов неизменной остаётся сумма их цветов, взятая по модулю 3. То есть:
- 0 + 1 (остаток равен 1) → 2 + 2 = 4 (остаток равен 1)
- 1 + 2 (остаток равен 0) → 0 + 0 = 0 (остаток равен 0)
- 0 + 2 (остаток равен 2) → 1 + 1 = 2 (остаток равен 2)
Другими словами, при любой встрече хамелеонов остаток от деления суммы всех цветов на 3 не изменится.
Изначально сумма цветов хамелеонов была равна 13 * 0 + 15 * 1 + 17 * 2 = 49. 49 mod 3 = 1, поэтому как бы ни меняли свой цвет хамелеоны, остаток от деления суммы их цветов на 3 останется 1. В случае, если все хамелеоны стали бы одного цвета, остаток стал бы равен 0, а значит, такого произойти не может.
Ответ - нет, все хамелеоны на острове никогда не станут одного цвета.