Puzzle #2. Шахматная олимпиада

В шахматной олимпиаде мужчин в 7 раз больше, чем девушек. Мужчины вместе набрали в 3 раза больше очков, чем все девушки. Необходимо определить сколько девушек участвовали в олимпиаде ?

Примечание: шахматная олимпиада проводилась по круговой системе: каждый играл с каждым по 2 партии: белыми и черными. За победу в партии начисляется 1 очко, за ничью 0.5, за поражение - 0.

Разбор: возьмем за x - кол-во девушек, тогда 7x - кол-во мужчин и всего 8x участников.

Также положим y - очки, набранные девушками, тогда 3y - очки, набранные мужчинами и всего 4y очков.

При круговой системе кол-во партий расчитывается по формуле

N*(N - 1) / 2, где N - кол-во участников.

В нашей олимпиаде каждый участник играл с каждым 2 раза, поэтому в нашем случае кол-во партий надо еще умножить на 2.

Получаем: 8x * (8x - 1).

Так как после каждой партии, вне зависимости от того кто выиграл, в общую копилку очков прибавляется 1 очко, то получаем след.формулу для общего кол-ва очков за турнир:

4y = 8x*(8x - 1) => y = 2x*(8x - 1).

Дальше используем тот факт, что девушки также играли между собой. Каждая девушка может набрать максимум 2*(8x - 1) очков. Всего девушек x, поэтому вместе они могут набрать максимум:

2x*(8x - 1) - x*(x - 1) / 2, где x*(x-1) - кол-во игр между девушками.

В итоге получаем след.неравенство: 

y <= 2x*(8x - 1) - x*(x - 1) / 2.

Делаем преобразования и получаем:

x*(x - 1) <= 0. 

Это неравенство выполняется только при x = 1, где x - искомое кол-во девушек, ктр участвуют в шахматной олимпиаде.