Puzzle #145. Как провести шашку в дамки?!

Два соседа-пенсионера каждые выходные играют шашечные этюды на деньги. На доске 4×6 клеток стоят: 

• 2 чёрные шашки (Сергея Петровича)
• 2 белые шашки (Прокофия Александровича, см. рис.). 

Каждый из игроков по очереди двигает любую из своих шашек на одну клетку вперёд (по вертикали). Начинает Сергей Петрович. Если после хода любого из игроков чёрная шашка окажется между двумя белыми по горизонтали или по диагонали (как на нижних рисунках), она считается "убитой" и снимается с доски. 

Сергей Петрович хочет провести обе свои шашки с верхней горизонтали доски на нижнюю. Может ли Прокофий Александрович ему помешать?

Разбор

Очевидно, что крайнюю черную шашку зажать нельзя. Давайте попробуем провести среднуюю черную шашку.

Пусть высота h - номер горизонтали, на которой шашка стоит.  Например, изначально у черных высота равна 6, у белых - 1.

Если черная шашка будет зажата между белыми, то ее двойная высота 2*h будет равна сумме высот белых шашек. Если все шашки стоят на одной горизонтали это очевидно, если по диагонали, то получаем (h + 1) + (h - 1) = 2*h. 

• Пусть черную шашку зажали после хода белых: значит соперники сделали равное кол-во ходов - N (начинали черные). Тогда сумма высот белых шашек будет равна N + 2, а высота черной фищки будет равна 6 - N. Получаем соот-вие N + 2 = 2 * (6 - N) -> 12 = 3N + 2 -> получаем противоречие.
• Пусть черную шашку зажали после хода черных: значит черные сделали на 1 ход больше, т.е. черные сделали N + 1, белые - N. Тогда получаем соот-вие N + 2 = 10 - 2N -> 12 = 3N + 4 -> также получаем противоречие.

Значит белые не успевают зажать черную шашку и она проходит в дамки!