Puzzle #143. Игра на скучной паре

Два студента, Алексей и Георгий, на скучной паре затеяли игру.

• на листке написано некоторое натуральное число;
• ход состоит в том, чтобы вычесть из числа какую-нибудь его ненулевую цифру и написать на месте старого числа получившееся число;
• выигрывает тот, кто получит ноль;
• начинает игру Алексей.

Какое число первоначально должно быть написано, чтобы Георгий имел выигрышную стратегию?

Разбор

Итак, чтобы последним ходом получить 0, нужно, чтобы было записано однозначное число. И чтобы вынудить соперника записать однозначное число, нужно перед его ходом записать число 10. 

Опишем выигрышную стратегию для Георгия. После хода Алексея получится число с ненулевой последней цифрой. Своим ходом Георгий должен вычесть последнюю цифру, в результате получится число, оканчивающееся на 0. 

Продолжая таким же образом, после некоторого количества ходов Георгий запишет 10. Какое бы число Алексей не вычел, следующим ходом Георгий получит ноль. Если же первоначальное число не будет оканчиваться на 0, тогда Алексей вычтет последнюю цифру и дальше воспользуется описанной выигрышной стратегией.