Пряма у просторі і її рівняння - Математика курсовая работа

Главная

Математика
Пряма у просторі і її рівняння

Різні способи завдання прямої і відповідні їм рівняння. Пряма, що задається точкою і напрямним вектором. Пряма, що задається двома точками. Пряма як перетин двох площин. Взаємне розташування прямих та кут між ними. Задачі на складання рівняння прямої.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

1. Пряма, що задається точкою і напрямним вектором
2. Пряма, що задається двома точками
4. Взаємне розташування прямих. Кут між двома прямими
7. Задачі на складання рівняння прямої
Пряма і її рівняння. При аксіоматичній побудові курсу геометрії пряма, так само як точка й площина, розглядається як основний, невизначений об'єкт. Основні властивості прямої задаються аксіомами, а інші виводяться з них логічним шляхом. У цій курсовій роботі терміну «пряма» ми надамо трохи інший зміст. Нехай -- деяка пряма, визначена аксіоматично. Надалі під терміном «пряма d» будемо розуміти геометричний образ, що складається із множини всіх точок, а також множини всіх векторів, що належать (векторами прямої називаються вектори, паралельні цій прямій). Для позначення належності точки або вектора прямії d ми будемо користуватися звичайними символами теорії множин: .
Така точка зору дещо ускладнює вихідне поняття прямої, однак по суті ми не ввели нічого нового, ми лише одне поняття замінили іншим, еквівалентним поняттям. Ця заміна, як ми побачимо нижче, дозволить дати аналітичну характеристику координат всіх точок і координат всіх векторів прямої. Таким чином, ми одержуємо можливість застосувати методи аналітичної геометрії до теорії прямої.
Як відомо, сукупність всіх векторів прямої d утворюють одномірний векторний підпростір. Цей підпростір будемо називати векторним підпростором прямої d.
Положення прямої d на площині визначається однозначно в кожному з розглянутих нижче випадків, якщо дані наступні об'єкти, що належать прямій:
а) Точка і ненульовий вектор прямої. Точка називається фіксованою точкою, а -- напрямним вектором. Очевидно, за фіксовану точку можна взяти будь-яку точку прямої, а за напрямний вектор -- будь-який її ненульовий вектор.
в) Дві різні площини , що перетинаються по прямій d.
Якщо на площині обрана загальна декартова система координат, то зазначені вище об'єкти, що визначають положення прямої на площині, задаються координатами.
Однією з основних задач теорії прямої є наступна задача: знаючи координати образів, що визначають положення прямої d на площині, написати рівняння множини всіх точок прямої, або будь-яке рівняння прямої d. Нижче розглянута ця задача при різних способах задання прямої.
При розв'язанні цієї задачі ми скористаємося наступним твердженням. Якщо -- фіксована точка прямої d, а -- ненульовий вектор цієї прямої, то, очевидно, кожна точка М прямої характеризується умовою: . Обернено, якщо , то точка М належить прямій d. Таким чином, точка М належить d тоді і тільки тоді, коли вектори і колінеарні.
1. Пряма, що задається точкою і напрямним вектором
Означення: напрямним вектором прямої d називається всякий вектор

Виберемо прямокутну декартову систему координат (Рис.1). В цій системі візьмемо пряму d, на прямій виберемо фіксовану точку , , . Нехай M(x;y;z) - будь-яка біжуча точка прямої. Точка М лежить на прямій d тоді і тільки тоді, коли вектори і колінеарні. Тобто
(2) - параметричні рівняння прямої .
Геометричний зміст рівняння (3) не втрачається, якщо в першому або другому знаменниках містяться нулі.
2. П рям а , що задається двома точками
Виберемо прямокутну декартову систему координат (Рис.2). В цій системі візьмемо пряму d, на прямій виберемо фіксовані точки . Нехай M(x;y;z) - будь-яка біжуча точка.

Оскільки вектори колінеарні, то їх координати пропорційні, тобто
(1) - рівняння прямої, що проходить через дві точки .

Виберемо прямокутну декартову систему координат (Рис. 3). В цій системі виберемо дві площини і , що перетинаються по прямій d. :, :. Оскільки площини перетинаються , то .
Тоді (1) - загальне рівняння прямої
Розв'язком системи (1) є координати точки М, .
Прямі в просторі можуть лежати в одній площині (паралельні, перетинаються), і не лежати в одній площині (мимобіжні), і можуть співпадати.
Виберемо прямокутну декартову систему координат (Рис. 4). В цій системі виберемо дві прямі і . :,  - напрямний вектор прямої , :, , - напрямний вектор прямої .
Прямі і лежать в одній площині тоді і тільки тоді, коли вектори компланарні, тобто .

Отже, умовою того, що прямі і лежать в одній площині є .
З цього слідує, що прямі і мимобіжні тоді і тільки тоді, коли .
Означення: кут між прямими в просторі -- це кут між прямими, паралельними даним, що проходять через одну точку. Його величина може бути знайдена як величина кута між напрямними векторами даних прямих.
Розглянемо окремі випадки розташування прямих:
Виберемо прямокутну декартову систему координат (Рис. 5). В цій системі виберемо пряму d, d: - напрямний вектор прямої d. Нехай точка - довільна точка, що не належить прямій d.

Шукана відстань - це довжина перпендикуляра, опущеного з точки на пряму d. Ця відстань може бути знайдена як висота паралелограма, побудованого на векторах і .
( 1 ) - формула для знаходження відстані від точки до прямої.
Означення: найкоротшою відстанню між двома прямими називається довжина відрізка спільного перпендикуляра до прямих, кінці якого належать цим прямим.
Виберемо прямокутну декартову систему координат (Рис. 6). В цій системі виберемо дві прямі і . :, , - напрямний вектор прямої , :, , - напрямний вектор прямої , - довжина перпендикуляра.
Через кожну з прямих можна провести площину, паралельну до іншої. Побудуємо на векторах , , паралелепіпед, висота цього паралелепіпеда h є відстанню між даними мимобіжними прямими .

(1)   - формула для знаходження відстані між двома мимобіжними прямими.
8 . Задачі на складання рівняння прямої
Розглянемо найбільш типові задачі на пряму, які розв'язуються методами аналітичної геометрії.
Задача 1 . У прямокутній системі координат дві прямі задані рівняннями
Довести, що ці прямі мимобіжні і знайти відстань між ними.

Прямі мимобіжні тоді і тільки тоді, коли виконується умова
Перевіримо її. Для цього складемо визначник, рядками якого є координати векторів
Щоб знайти відстань між цими прямими, проведемо через пряму площину , паралельну до .Відстань між мимобіжними прямими дорівнює відстані від точки прямої до площини .
Площина проходить через точку і має напрямний підпростір з базисними векторами .
Знайдемо відстань від точки до цієї площини:
Задача 2 . Довести, що прямі, задані параметричними рівняннями
Прямі перетинаються тоді і тільки тоді, коли виконуються такі умови: 1) Напрямні вектори прямих і вектор, що сполучає фіксовані точки на цих прямих, будуть компланарними (умова того, що прямі лежать в одній площині).
2) Напрямні вектори прямих не колінеарні.
Перевіримо виконання цих двох умов.
1) - напрямний вектор прямої , точка - фіксована точка прямої ; - напрямний вектор прямої , точка - фіксована точка прямої ; вектор - вектор, що сполучає фіксовані точки на прямих .
Прямі лежать в одній площині тоді і тільки тоді, коли визначник, складений із координат векторів і дорівнює нулю, тобто
Отже, прямі лежать в одній площині.
2) Вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли відношення їх відповідних координат рівні, тобто
, умова колінеарності не виконується, значить вектори і не колінеарні.
Отже, обидві умови того, що прямі перетинаються, виконуються, значить прямі перетинаються.
Задача 3 . Скласти рівняння прямої , яка проходить через точку , перетинає пряму і перпендикулярна до неї. Система координат прямокутна декартова.

1-й спосіб. Нехай шукана пряма а має рівняння .
Для знаходження координат напрямного вектора використаємо умову перетину прямих і умову їх перпендикулярності (Рис. 8).
1. Умова перетину: прямі перетинаються, якщо визначник складений із координат векторів , дорівнює нулю:
2. Умова перпендикулярності: прямі перпендикулярні, якщо скалярний добуток їх напрямних векторів дорівнює нулю:
Таким чином, шукана пряма задана пряма задається рівнянням

2-й спосіб . Знайдемо спочатку рівняння площини , що проходить через точку і перпендикулярна до прямої (Рис. 9). Напрямний вектор прямої буде нормальним вектором площини . Тому рівняння площини таке:
Знайдемо тепер координати точки перетину прямої і площини . Для цього перепишемо рівняння прямої у параметричній формі і розв'яжемо систему рівнянь:
Отже, точка має координати . Запишемо рівняння шуканої прямої а за двома точками і :
Задача 4 . Знайти відстань від точки до прямої . Система координат прямокутна декартова.

Знайдемо рівняння площини , що проходить через точку і перпендикулярна до прямої а. Напрямний вектор прямої є нормальним вектором площини . Тому її рівняння:
1. Знайдемо координати точки N перетину прямої a і площини . Для цього складемо і розв'яжемо систему рівнянь:
2. бо лежить у площині , а площина перпендикулярна до прямої a. Тому відстанню від точки до прямої a є довжина відрізка . Знайдемо її.
Задача 5 . Скласти канонічні рівняння прямої d, що проходить через точку паралельно: 1) вектору ; 2) прямій l:; 3) осі OX.
1) Канонічні рівняння прямої, що проходить через точку мають вигляд: . Якщо , то - напрямний вектор прямої d, тобто координати вектора задовольняють рівняння прямої d:
2) Вектор - напрямний вектор прямої l. Якщо , то , значить - напрямний вектор прямої d, тобто координати вектора задовольняють рівняння прямої d:
3)Вектор - напрямний вектор осі ОХ. Якщо , то , значить  - напрямний вектор прямої d, тобто координати вектора задовольняють рівняння прямої d:
Задача 6. Дані вершини трикутника Скласти параметричні рівняння його медіани, проведеної з вершини С.
Нехай точка - середина відрізка АВ, тоді

Задача 7. Скласти рівняння прямих , що утворюються при перетині площини з координатними площинами.
- загальне рівняння прямої, розв'язком цієї системи є координати точки, що належить прямій l.
l: - канонічні рівняння прямої, що задається як перетин двох площин, де - координати точки, що належить прямій, - координати векторів нормалі відповідних площин.
Задача 8. Дано прямі і . При якому значенні k вони перетинаються?
Прямі перетинаються тоді і тільки тоді, коли виконуються такі умови: 1) Напрямні вектори прямих і вектор, що сполучає фіксовані точки на цих прямих, будуть компланарними (умова того, що прямі лежать в одній площині).
2) Напрямні вектори прямих не колінеарні.
- напрямний вектор прямої , точка - фіксована точка прямої ; - напрямний вектор прямої , точка - фіксована точка прямої ; вектор - вектор, що сполучає фіксовані точки на прямих .
Прямі лежать в одній площині тоді і тільки тоді, коли визначник, складений із координат векторів і дорівнює нулю, тобто
Перевіримо це значення k умовою того, що вектори і не колінеарні, тобто відношення їх відповідних координат не рівні: .
Задача 9. Знайти косинус кута між прямими:
, де - відповідно напрямні вектори даних прямих.
Знайдемо координати напрямних векторів прямих :
Задача 10. Скласти рівняння прямої d, що утворюється при перетині площини з площиною S, що проходить через вісь ОХ та точку .
Якщо площина S проходить через вісь ОХ, то . Якщо точка , то . Тоді . Отже, .
Загальне рівняння прямої, що задається як перетин двох площин, тобто
Задача 11. Скласти параметричні рівняння прямої l, що проходить через точку паралельно: 1) вектору ; 2) прямій ; 3) прямій
1) - параметричні рівняння прямої, що задається точкою і напрямним вектором, де - координати точки, що належить прямій, - координати напрямного вектора. Тоді
2) Якщо , то напрямний вектор прямої , тобто
3) Якщо , то напрямний вектор прямої , тобто
Задача 12. Дані вершини трикутника і . Скласти канонічні рівняння бісектриси його внутрішнього кута при вершині В.

Нехай бісектриса кута В перетинає сторону АС в точці . То - за властивістю бісектриси.
Значить точка , тоді СК: - рівняння
прямої, що задається двома точками.
Створюючи свою курсову роботу на тему «Пряма в просторі», я досконало опрацювала матеріал, що стосується цієї теми і прийшла до висновку, що пряма і її різні завдання у просторі - дуже важливе питання не тільки в аналітичній геометрії, але і в нашому повсякденному житті, адже саме простір оточує нас, і зокрема в моїй майбутній професії вчителя. Тому, на мою думку, дуже важливо, щоб цю тему вивчали всі, хто в майбутньому буде навчати інших геометрії, що є основною складовою математики.
Саме тому вузівська програма з геометрії передбачає такий рівень знань, який дасть можливість майбутньому вчителю відповісти на будь-які запитання, що виникнуть в учнів у процесі вивчення даної дисципліни. Учитель, володіючи більшим обсягом знань, ніж вимагає шкільна програма, зможе вибрати оптимальну методику викладання відповідного матеріалу та здобути інтерес до вивчення геометрії.
Я вважаю, що одне з найважливіших завдань курсу аналітичної геометрії полягає в тому, щоб навчити майбутнього вчителя вмінню застосовувати аналітичний метод до розв'язування задач з геометрії, у тому числі й задач шкільної математики. Тому в курсовій роботі значну увагу я приділила розв'язуванню задач координатним методом.
В процесі пошуку необхідної інформації та підбору цікавих задач, я отримала незабутні враження та велике задоволення від моєї курсової роботи.
1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометри. - М.: Наука, 1968.
2. Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометри: Ч. І. - М.: Просвещение, 1973.
3. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия: Ч. І. - М.: Просвещение, 1986.
4. Атанасян Л.С. Геометрия: Ч. І. - М.: Просвещение, 1973.
5. Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия: Ч. І. - М.: Просвещение, 1974.
6. Бахвалов С.В., Бабушкин Л.И., Иваницкая В.П. Аналитическая геометрия. - М.: Просвещение, 1970.
7. Білоусова В.П. та ін. Аналітична геометрія. - К.: Вища школа, 1973.
8. Выгодский М.Я. Аналитическая геометрия. - М.: Физматгиз, 1963.
9. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометри. - М.: Наука, 1972.
10. Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1968.
11. Погорелов А.В. Геометрия. - М.: Наука, 1983.
12. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометри. - М.: Наука, 1970.
13. Яковець В.П., Боровик В.Н., Ваврикович Л.В. Аналітична геометрія. - Суми: Університетська книга, 2004.
14. Яковець В.П., Боровик В.Н., Ваврикович Л.В. Аналітична геометрія в просторі. - Ніжин: НДПУ, 2002.
Способи завдання площини на кресленні та її сліди. Положення площини у просторі відносно площин проекцій. Пряма та точка в площині, прямі особливого положення в площині. Взаємне розташування площин. Пряма, паралельна площині, перетин прямої з площиною. реферат [1,2 M], добавлен 11.11.2010
Пов’язування поточних координат лінії з заданими геометричними параметрами, одержання рівняння лінії. Визначення прямої на площині. Задачі на взаємне розташування прямих. Криві другого порядку: коло, еліпс, гіпербола та парабола, їх властивості. презентация [239,4 K], добавлен 30.04.2014
Рівняння площини, яка проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору. Опис прямої лінії у просторі. Взаємне розташування прямої та площини. Поверхні другого порядку. Параметричні рівняння ліній. Приклади їх побудови в полярних координатах. лекция [252,5 K], добавлен 30.04.2014
Просторова декартова прямокутна система координат. Рівняння прямої та площини у просторі. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих, двох площин, прямої та площини у просторі. Доказ координатним методом теореми про три перпендикуляри. курсовая работа [59,7 K], добавлен 22.09.2003
Теоретичні основи розв’язування рівнянь з параметрами. Функція пряма пропорційність. Загальне поняття про аналітичний та графічний метод. Дробово-раціональні рівняння з параметрами, що зводяться до лінійних. Система розв’язування задач для 9 класу. курсовая работа [596,8 K], добавлен 21.03.2013
Поняття особливої точки системи або рівняння. Пошук розв’язку характеристичного рівняння. Стійкий та нестійкий вузли, типові траєкторії. Дослідження особливої точки рівняння, способи побудови інтегральних кривих. Власний вектор матриці коефіцієнтів. контрольная работа [511,4 K], добавлен 18.07.2010
Основні поняття теорії диференціальних рівнянь. Лінійні диференціальні рівняння I порядку. Рівняння з відокремлюваними змінними. Розв’язування задачі Коші. Зведення до рівняння з відокремлюваними змінними шляхом введення нової залежної змінної. лекция [126,9 K], добавлен 30.04.2014
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Пряма у просторі і її рівняння курсовая работа. Математика.
Контрольная работа: Экономическая оценка проектируемых машин
Курсовая работа по теме Анализ и диагностика финансово-хозяйственной деятельности предприятия ОАО 'ТМЗ'
Скачать Реферат Влияние
Дипломные Проекты Дизайн Архитектурной Среды Городского Пространства
Реферат: Характеристика культуры первобытной эпохи
Гдз По Географии 6 Практическая Работа
Контрольная работа по теме Правила перевозки стрихнина
День России На Английском Языке Сочинение
Реферат Организация Работы Удаленных Пользователей Серверная Часть
Реферат На Тему Опухоли Головного Мозга
Реферат: Здание кунсткамеры Санкт-Петербурга
Примеры Учителей В Литературе Для Сочинения
Сочинение: Вчера, сегодня, завтра в пьесе А. П. Чехова «Вишневый сад»
Курсовая работа: Транспортная инфраструктура Мальдивских островов
Курсовая работа по теме Проектирование привода ленточного транспортера
Реферат Нематериальных Активов
Сочинение По Английскому Мой Любимый Город
Курсовая работа по теме Линия по производству силикатного кирпича Q=250 млн.шт./год. Пресс для производства силикатного кирпича
Курсовая работа: Управление проектом создание системы информационной безопасности
Дипломная работа по теме Система доходов федерального бюджета
Використання прав інтелектуальної власності у сфері господарювання - Государство и право реферат
Социальные гарантии в трудовом и гражданском праве - Государство и право дипломная работа
Образование Древнерусского государства - История и исторические личности контрольная работа