Пространства Соболева - Математика курсовая работа

Главная

Математика
Пространства Соболева

Понятие и основные характеристики пространства Соболева, их главные свойства, сущность простейшей теоремы вложения. Порядок применения пространства Соболева для доказательства существования и единственности обобщённого решения уравнения Лапласа.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Пространства Соболева и тесно связанное с ним понятие обобщённой производной в смысле Соболева были введены в математическую практику академиком С.Л. Соболевым и играют важнейшую роль в теоретических и прикладных вопросах математической физики и функционального анализа. Пополнение пространства гладких функций некоторыми идеальными элементами, которые можно с любой степенью точности вычислить с помощью элементов из приводит, с одной стороны, вследствие полноты к точности и завершённости многих математических утверждений, а с другой стороны, сохраняет все вычислительные возможности.
Пусть в задана замкнутая ограниченная область Рассмотрим линейное пространство вещественных функций раз непрерывно дифференцируемых на Дифференцируемость на замкнутой области можно понимать в различных смыслах. Мы будем предполагать, что в функции раз непрерывно дифференцируемы, причём каждая частная производная функции имеет предел при стремлении к любой граничной точке области так что в результате её продолжения на она становится непрерывной в Граница области предполагается достаточно гладкой. Кроме того, обычно мы будем считать область односвязной и удовлетворяющей таким дополнительным ограничениям, которые могут понадобиться в тех или иных рассуждениях.
Воспользуемся для краткости следующими обозначениями. Набор индексов называется мультииндексом. Число называется длиной мультииндекса. Для обозначения частных производных примем
Введём в рассмотренном выше линейном пространстве норму
Полученное нормированное пространство обозначается Его пополнение в норме (1.1) обозначается и называется пространством Соболева.
В прикладных задачах довольно часто встречается случай Общепринято следующее обозначение: Пространство Соболева является гильбертовым пространством - пополнением пространства в норме, порождённой скалярным произведением
Ниже мы подробнее остановимся на частных случаях и то есть рассмотрим пространства Соболева на вещественной оси и в трёхмерном пространстве.
Рассмотрим на отрезке пространство состоящее из всевозможных функций непрерывно дифференцируемых на со скалярным произведением
и соответствующей этому скалярному произведению нормой
является пополнением в этой норме. Элементами согласно теореме о пополнении, являются классы, состоящие из последовательностей фундаментальных в в среднем, точнее, таких, что
Две такие последовательности и принадлежат одному классу, если является бесконечно малой по норме то есть, если
Из условия фундаментальности в среднем в следует, что отдельно при
Аналогично, из условия эквивалентности и по норме следует, что при
Согласно определению пространства существуют функции и такие, что при а в среднем.
Мы приходим к следующему важнейшему определению. Пусть Тогда в определены элемент с представителем и элемент с представителем называется обобщённой производной (в смысле Соболева) от При этом пишут:
Из определения обобщённой производной видно, что она определяется не локально, в отдельных точках, а глобально - сразу на всём отрезке Пусть так что Перейдём к пределу при в равенствах
и, согласно теореме о пополнении и определению интеграла Лебега, придём к формулам (1.2) и (1.3), где теперь производные понимаются в обобщённом смысле, а интеграл - в смысле Лебега. Для конкретных вычислений, разумеется, можно и нужно пользоваться формулами (1.4) и (1.5), взяв достаточно большое то есть вместо идеальных элементов воспользоваться их гладкими приближениями
Пусть - множество всех непрерывно дифференцируемых на отрезке финитных функций Если теперь непрерывно дифференцируема на отрезке то для произвольной функции справедливо следующее интегральное тождество:
проверяемое интегрированием по частям. Этим тождеством полностью определяется.
Допустим, что, кроме того, для любых и некоторой непрерывной на отрезке функции
Вычитая эти тождества, получим, что для любых
Отсюда, вследствие плотности в на отрезке Оказывается, интегральное тождество (1.7) можно принять за определение обобщённой производной. Прежде всего, справедлива следующая лемма.
Лемма 1. Если то для любых справедливо тождество ( 1. 6).
Доказательство. Пусть тогда для всех имеем (1.6):
Вследствие свойства непрерывности скалярного произведения в последнем равенстве можно перейти к пределу при В результате мы получим тождество (1.6) для любой функции Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть даны такие, что для всех справедливо тождество ( 1. 7). Тогда (обобщённая производная).
Пусть - класс, представителем которого является
Тогда для любых Отсюда Лемма доказана.
Доказательство. Пусть непрерывно дифференцируема на отрезке Согласно теореме о среднем, вследствие непрерывности найдётся точка такая, что Поэтому на отрезке справедливо следующее тождество:
С помощью неравенства Коши-Буняковского имеем
где Следовательно, для любой непрерывно дифференцируемой на отрезке функции справедливо неравенство
Пусть теперь последовательность - фундаментальная по норме Тогда
при Следовательно, фундаментальна в смысле равномерной сходимости и, по критерию Коши равномерной сходимости, сходится к Тем более в среднем. Таким образом, в классе из содержащим в качестве представителя, содержится непрерывная функция и, значит, этот класс можно отождествить с Отождествим элементы с непрерывными функциями. Пусть Переходя в неравенстве к пределу при придём к неравенству (1.8).
Итак, вложение в доказано. Доказательство теоремы закончено.
Пусть - односвязная область с достаточно гладкой границей В замкнутой области рассмотрим линейное пространство всевозможных непрерывно дифференцируемых функций со скалярным произведением
Полученное пространство со скалярным произведением обозначается а его пополнение - это, по определению, пространство Соболева
Пусть - фундаментальная последовательность в то есть при Отсюда следует, что в будут фундаментальными последовательности
Вследствие полноты в имеются элементы, которые мы обозначим
Элементы называются обобщёнными частными производными элемента
Скалярное произведение и норма задаются в теми же формулами, что и в в которых теперь производные обобщённые, а интегрирование понимается в смысле Лебега. Введем в рассмотрение пространство Это пространство является пополнением в норме
линейного пространства функций, непрерывно дифференцируемых на и таких, что является гильбертовым пространством со скалярным произведением
Доказательство. Достаточно доказать первую из этих формул. Она справедлива, если а Пусть - фундаментальная в последовательность, предел которой - элемент Переходя в тождестве к пределу при получим для любой Действительно, из сходимости в следует, что
то есть непрерывность скалярного произведения.
Пусть теперь - фундаментальная последовательность в Перейдём к пределу в тождестве и получим исходное тождество.
Следствие. содержится строго внутри
Действительно, функция Но иначе мы имели бы то есть для любой Возьмём и получим противоречие.
Теорема 2 (Фридрихс). Существует постоянная такая, что для любых
Доказательство. По самому определению всякий элемент из принадлежит Пусть и сходится в к
Построим куб содержащий область Функции доопределим нулём в Частная производная существует всюду в за исключением, быть может, тех точек, в которых прямая, параллельная оси абсцисс, пересекает границу области Для любой точки имеем
Интегрируя полученное неравенство по находим
Переходя к пределу при приходим к доказываемому неравенству Фридрихса.
Следствие 1. Пространство вложено в
Это предложение непосредственно вытекает из определения вложения банаховых пространств и неравенства Фридрихса.
Следствие 2. В нормы ( 1. 9) и ( 1. 10) эквивалентны.
Действительно, используя неравенство Фридрихса, имеем
Теорема 3 (Рисс). Пусть - гильбертово пространство. Для любого линейного ограниченного функционала заданного всюду на существует единственный элемент такой, что для всех
Доказательство приведено в [1, стр. 171].
Теорема Рисса эффективно применяется в теории разрешимости граничных задач для уравнений с частными производными. Будем говорить, что гильбертово пространство вложено в гильбертово пространство если из следует, что причём существует постоянная такая, что для всех
Имеет место следующее следствие из теоремы Рисса.
Теорема 4. Если гильбертово пространство вложено в гильбертово пространство то для каждого элемента найдётся единственный элемент такой, что для всех имеет место тождество
Тождество это определяет оператор такой, что при этом
Доказательство. При каждом фиксированном выражение при всевозможных определяет линейный ограниченный функционал на Линейность функционала очевидна. Его ограниченность вытекает из оценки
По теореме Рисса существует единственный элемент такой, что Тем самым всюду на задан линейный оператор Далее, из доказанного выше неравенства следует, что
Полагая здесь получим то есть и, значит, ограничен. Теорема доказана.
В качестве приложения доказанной теоремы и пространств Соболева докажем существование и единственность обобщённого решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. В замкнутой ограниченной односвязной области с достаточно гладкой границей рассмотрим следующую граничную задачу:
Предположим, что правая часть непрерывна в по совокупности переменных. Функция называется классическим решением задачи (2.2) - (2.3), если непрерывна как функция трёх переменных в имеет в непрерывные производные, входящие в левую часть (2.2), удовлетворяет в уравнению (2.2) и равна нулю на то есть удовлетворяет граничному условию (2.3).
Пусть - классическое решение задачи (2.2) - (2.3), а непрерывна в равна нулю на и непрерывно дифференцируема в тогда для любой такой справедливо следующее интегральное тождество:
Для доказательства этого тождества воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского:
Пусть теперь а интегралы (2.4) понимаются в смысле Лебега. Функция называется обобщённым решением краевой задачи (2.2) - (2.3), если для любой функции выполняется интегральное тождество (2.4).
Докажем, что для любой правой части обобщённое решение краевой задачи (2.2) - (2.3) существует и единственно.
Для этого заметим, что гильбертово пространство вложено в гильбертово пространство так как, по определению всякая функция принадлежит также и и справедлива оценка для любой (см. п. 1.5):
Следовательно, по теореме 4 для всякой функции существует единственная функция такая, что для всех
а это и есть интегральное тождество (2.4).
Таким образом, мы рассмотрели пространства Соболева, их основные свойства и применение в математической физике.
1. Треногин В.А. Функциональный анализ: Учебник. - 3-е изд., исп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 488 с.
2. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. - 3-е изд., перераб. и доп. / Под ред. О.А. Олейник. - М.: Наука. Гл. Ред. физ.-мат. лит., 1988. - 336 с.
Понятие и характерные свойства обобщенных функций и обобщенных производных, их отличительные признаки и направления анализа. Решение и определение данных величин на основе специальных теорем. Сущность и структура, элементы пространства Соболева. презентация [179,4 K], добавлен 30.10.2013
Понятие и характеристика линейного пространства, его главные свойства и особенности. Исследование аксиом векторного пространства. Анализ отличий и признаков векторного подпространства. Базис и формулы линейного пространств, определение его размерности. реферат [249,4 K], добавлен 21.01.2011
Наделение множества метрикой, основные аксиомы метрического пространства. Равномерная метрика, нормы элементов и линейное пространство. Фундаментальная последовательность элементов линейного нормированного пространства. Понятие банахова пространства. реферат [375,9 K], добавлен 04.12.2011
Доказательство теоремы единственности для кривых второго порядка. Преимущества и недостатки разных способов доказательства теоремы единственности. Пучок кривых второго порядка. Методы решения теоремы единственности для поверхностей второго порядка. курсовая работа [302,7 K], добавлен 22.01.2011
Дифференциальное уравнение первого порядка. Формулировка теоремы существования и единственности. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Доказательство теоремы существования и единственности для одного уравнения. Теория устойчивости Ляпунова. дипломная работа [1,0 M], добавлен 11.04.2009
Понятие нормированного пространства. Пространства суммируемых функций. Интеграл Лебега-Стилтьеса. Интерполяция в пространствах суммируемых функций. Теорема Марцинкевича и ее применение. Пространства суммируемых последовательностей. дипломная работа [354,0 K], добавлен 08.08.2007
Общее понятие и характеристика простейшего пространства элементарных исходов. Способы вычисления вероятности события. Классическая вероятностная модель, ее главные свойства и доказательства. Основные аксиомы теории вероятности, примеры решения задач. реферат [42,6 K], добавлен 24.04.2009
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Пространства Соболева курсовая работа. Математика.
Дипломная работа по теме Применение электронной системы обработки заявок авиакомпаний в деятельности Федерального агентства воздушного транспорта по регулированию пассажирских перевозок
Экономические Риски Темы Рефератов
Дипломная работа: Арбитражный процесс в Российской Федерации. Скачать бесплатно и без регистрации
Силовые Упражнения Реферат
Контрольная работа: Тяговый расчет автомобиля. Скачать бесплатно и без регистрации
Курсовая работа: Анализ текучести кадров. Скачать бесплатно и без регистрации
Методичка На Тему Бухгалтерская Отчетность
Курсовая работа: Договор пожизненного содержания
Курсовая работа: Технико-технологические особенности и функции готического витража в архитектурном ансамбле
Реферат по теме Эвклидова геометрия
Контрольная работа: Фихте о соотношении гражданской и политической свободы в проекте замкнутого торгового государства
Реферат: Полемічна проза Київської Русі XV—XVI ст.
Курсовая работа по теме Эффективность инвестиционного проекта
Особенности Налогообложения Прибыли Иностранных Организаций Курсовая Работа
Вывод К Сочинению По Цитате
Реферат: Развитие животноводства
Курсовая работа по теме Современная антикризисная политика
Дипломная работа по теме Разработка универсального транспортного-технологического модуля для ТОО 'Викторовское'
Контрольная Работа По Математике Зубарева
Курсовая работа по теме Возрастной подход в деятельности школьного социального педагога
Как встречают Новый Год в Китае и Японии - Культура и искусство презентация
Сущность и содержание решения хозяйственного суда - Государство и право реферат
Искажения в бухгалтерской отчетности, способы выявления и роль аудита в оценке достоверности - Бухгалтерский учет и аудит курсовая работа