Производная и ее применение для решения прикладных задач - Математика контрольная работа

Главная

Математика
Производная и ее применение для решения прикладных задач

Понятие производной, ее геометрический и физический смысл, дифференциал. Исследование функций и построение графиков. Разложение на множители, упрощение выражений. Решение неравенств, систем уравнений и доказательство тождеств. Вычисление пределов функции.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Министерство образования и науки Украины
Министерство образования и науки АР Крым
Малая академия наук школьников Крыма «Искатель»
Производная и ее применение для решения прикладных задач
I-II ступеней- морской технический лицей
1. Производная и ее применение для решения прикладных задач
1.2 Понятие производной, ее геометрический и физический смысл
3. Примеры решения прикладных задач
3.1 Исследование функций и построение их графиков.
3.2 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, решение прикладных задач (задач на оптимум).
3.4 Нахождение приближенных значений функции
3.5 Нахождение величины угла между прямыми и кривыми.
3.6 Разложение на множители и упрощение выражений.
3.8 Сравнение чисел и доказательство неравенств
3.13 Отбор кратных корней уравнения
3.14 Вычисление пределов функции с помощью правила Лопиталя
3.15 Решение физических задач, связанных с нахождением скорости, ускорения и т.д.
3.17 Разложение функций в ряд с помощью формулы Тейлора
Из всех теоретических успехов знания вряд
ли какой-нибудь считается столь высоким три-
умфом человеческого духа, как изобретение ис-
числения бесконечно малых во второй половине
Тема исследовательской работы выбрана не случайно, поскольку применение производной позволяет более эффективно решать многие задачи повышенной сложности. Применение производной для решения задач требует от учащихся нетрадиционного мышления. Следует отметить, что знание нестандартных методов и приемов решения задач способствует развитию нового, нешаблонного мышления, которое можно успешно применять также и в других сферах человеческой деятельность (вычислительная техника, экономика, физика, химия и т.д.) Это доказывает актуальность данной работы.
Целью работы было: изучение применения производной для решения задач по алгебре и началам анализа, физике, экономике; углубление и расширение знаний по теме «Производная».При изучении изменяющихся величин очень часто возникает вопрос о скорости, о быстроте происходящего изменения. Так мы говорим о скорости движения самолета, поезда, автобуса, ракеты, о скорости падения камня, вращения шкива и т.д. Можно говорить о скорости выполнения определенной работы, о скорости протекания химической реакции, о быстроте роста населения в данном городе. О скорости можно говорить по отношению к любой величине, которая изменяется с течением времени. Для всего этого используется понятие производной.
d( l )=m / ( l ) - линейная плотность
K (t) = l / (t) - коэффициент линейного расширения
Дифференциальное исчисление широко применяется для экономического анализа как математический аппарат. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.
Производная в экономических формулах:
П (t) = х / (t) - производительность труда,
J(x) = y / (x) - предельные издержки производства,
где y- издержки производства в зависимости от объема выпуска е мой продукции x.
В работе рассмотрены прикладные задачи, способы решения которых можно использовать для решения нестандартных задач по алгебре и началам анализа, при подготовке к государственной итоговой аттестации, внешнему независимому оцениванию. Достаточно большое число задач раскрывают потенциальные возможности анализа бесконечно малых величин .
1. Производная и ее применение для решения прикладных задач
Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности. Они встречались у Евклида. Ряд таких задач был решен Архимедом, разработавшим способ проведения касательной, примененный им к спирали, но применимый для других кривых. Основное понятие дифференциального исчисления - понятие производной - возникло в XVII в. В связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики. Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем на основе двух задач: 1) о разыскании касательной к произвольной линии2) о разыскании скорости при произвольном законе движенияЕще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.
1.2 Понятие производной, ее геометрический и физический смысл
Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a; b), и пусть х 0 - произвольная точка этого промежутка
Дадим аргументу x приращение ?x, тогда функция y = f(x) получит приращение ?y = f(x + ?x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение ?y / ?x при ?x > 0, называется производной от функции f(x).
Геометрический смысл производной состоит в том, что она равна угловому коэффициенту касательной. Рассмотрим график функции (рис.). Видно,
что , т.е. это отношение равно угловому
коэффициенту секущей mm. Если , то секущая,
поворачиваясь вокруг точки М, в пределе переходит в
касательную , так как касательная является предельным
положением секущей, когда точки пересечения сливаются.
, где - координаты точки касания, а - текущие координаты точки касательной прямой.
Физический смысл производной заключается в скорости изменения функции.
Пусть s = s ( t ) -- закон прямолинейного движения. Тогда v ( t 0 ) = s '( t 0 ) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t 0 . Вторая производная a ( t 0 ) = s ''( t 0 ) выражает мгновенное ускорение в момент времени t 0 .Вообще производная функции y = f ( x ) в точке x 0 выражает скорость изменения функции в точке x 0 , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f ( x ).
Пусть дана функция и - внутренняя точка её области определения. Придадим аргументу приращение и рассмотрим приращение функции
Если это приращение можно представить в виде где величина не зависит от приращения, а - бесконечно малая при величина, имеющая больший порядок малости, чем , то произведение называется дифференциалом функции в точке и обозначается .
-составление уравнения касательной к графику функции;
-нахождение угла между пересекающимися прямыми, между графиками функций;
-исследование и построение графиков функций;
- преобразование алгебраических выражений;
-разложение многочлена на множители;
-приближенные вычисления и оценка погрешностей;
-доказательство неравенств и тождеств;
-нахождение пределов функции с помощью правила Лопиталя;
-разложение функций в ряд с помощью формулы Тейлора;
-приближенное решение уравнений методом проб, хорд и касательных;
-линеаризация алгебраических функций и многое другое.
3. Примеры решения прикладных задач
3.1 Исследование функций и построение их графиков
Исследовать и построить график функции
2. Функция не является ни четной, ни нечетной,
3. В точке х=0 функция имеет разрыв в точке х=0.
4. Находим производную: и приравниваем ее к нулю:
Проверим достаточные условия экстремума в точке . Так как знаменатель производной всегда положителен, то достаточно проследить за знаком числителя. Получаем: при и при . Следовательно, в точке функция имеет минимум, ее значение в точке .
5. Точек пересечения с осью ОY нет, так как данная функция не определена при х=0. Чтобы найти точки пересечения кривой с осью ОХ, нужно решить уравнение .
Получим, что при функция убывает; х= y=0; функция убывает; при функция убывает; при х= функция имеет минимум y=3; при функция возрастает.
График данной функции представлен на рисунке.
Кривая, рассмотренная в этой задаче называется «Трезубец Ньютона».
3.2 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, решение прикладных задач (задач на оптимум)
Из бревна, имеющего радиус R, сделать балку наибольшей прочности .
Составляем функцию, выражающую необходимое условие.
В данной задаче высота балки (представляющей собой прямоугольник, вписанный в окружность радиуса R и ширины х), равна . Поэтому прочность такой балки равна . При этом х изменяется от 0 до 2R.
Функция обращается в нуль при х=0 и х=2R и положительна между этими значениями. Значит она имеет максимум, лежащий между 0 и 2R. Но производная этой функции обращается в нуль на отрезке лишь при . Это и есть оптимальное значение ширины b балки. Высота h балки такой ширины равна и отношение равно . Именно такое отношение высоты вытесываемой балки к ее ширине предписывается правилами производства строительных работ.
Требуется построить открытый цилиндрический резервуар вместимостью . Материал имеет толщину d. Какими должны быть размеры резервуара (радиус основания и высота), чтобы расход материала был наименьшим?
Радиус основания внутреннего цилиндра обозначим через х, высоту внутреннего цилиндра через h. Объем дна и стенки резервуара
С другой стороны, по условию , откуда
Полученную функцию нужно исследовать на экстремум при х>0:
Единственный положительный корень производной - это точка Она и дает решение задачи. При этом
Является ли периодической функция ?
Воспользуемся следующим утверждением: если дифференцируемая в каждой точке числовой прямой функция имеет период Т, то ее производная также имеет период Т.
Предположим, что данная функция является периодической с периодом Т. Применяя формулу
Поскольку по предположению функция имеет период Т, то функция , а следовательно, и функция также имеют период Т.
Также имеет период Т. Отсюда следует, что существует число , , такое, что Т=. Аналогично показывается, что существует число , такое, что Т=.
т.е. число является рациональным, что неверно. Следовательно данная функция НЕ является периодической.
3.4 Нахождение приближенных значений функции
Найти приращение и дифференциал функции в точке х=2 при и при . Найдите абсолютную и относительные погрешности, которые мы допускаем при замене приращения функции ее дифференциалом.
Относительная погрешность то есть относительная погрешность будет около 4%.
Абсолютная погрешность а относительная погрешность то есть относительная погрешность будет уже около 0,4%.
Пользуясь понятием дифференциала функции вычислите приближенно изменение, претерпеваемое функцией при изменении х от значения 5 к значению 5,01.
В данном случае будем считать х=5, а . Изменение функции
3.5 Нахождение величины угла между прямыми и кривыми.
Углом между графиками функций и в точке их пересечения называется угол между касательными к их графикам в этой точке (рис.).
Найти угол между графиками функций и
в точке их пересечения (с положительной абсциссой).
Абсциссы точек пересечения данных графиков удовлетворяют уравнению
Отсюда находим, что графики функций пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны 0 и 2. Найдем тангенсы углов наклона касательных к обоим графикам функций в точке с абсциссой, равной 2. Имеем
Отсюда и Так как , то уравнения касательных к графикам функций и в точке (2;2) соответственно имеют вид
Следовательно величина угла между касательными удовлетворяют уравнению
и тем самым графики функций и в точке с абсциссой х=2 пересекаются под углом, равным
3.6 Разложение на множители и упрощение выражений.
Считая х переменной величиной, рассмотрим функцию . Имеем .
Получаем , где С не зависит от х, но зависит от y и z.
Так как последнее равенство верно при любом х, то, полагая, например, в нем х=0 и учитывая, что , найдем .
Считая х переменной величиной, рассмотрим функцию
Отсюда находим, что , где С не зависит от х, но может зависеть
от y и z. Полагая, например, х=0, получаем
Поскольку есть сумма первых членов геометрической прогрессии со знаменателем х, , то
3.8 Сравнение чисел и доказательство неравенств
При доказательстве неравенств или для сравнения двух чисел полезно перейти к общему функциональному неравенству.
То функция возрастает на интервале .
Рассмотрим функцию Так как и при то функция возрастает на множестве всех действительных чисел. Поэтому , т.е.
. В точке =6, то есть имеет минимум, равный . При функция убывает от до , а при , то есть функция возрастает. При , что и доказывает неравенство.
Найдем участки возрастания и убывания функции . Производная этой функции равна . Так как дискриминант квадратного трехчлена является отрицательным числом и коэффициент при этого квадратного трехчлена больше нуля, то для каждого действительного х имеем неравенство .
Таким образом, функция является непрерывной и возрастающей на всей числовой прямой; поэтому ее график может пересекать ось ОХ только в одной точке. Учитывая, что , заключаем, что решениями данного неравенства являются все числа х из промежутка .
Рассмотрим функцию и найдем ее производную:
При то есть функция монотонно убывает. При то есть функция монотонно возрастает. При функция имеет минимум, равный нулю.
Доказать, что при имеет место неравенство
Найдем участки возрастания и убывания функции
Функция непрерывна на поэтому она возрастает на отрезке и убывает на промежутке Отсюда заключаем, что точка является точкой локального максимума функции (рис.).
Поэтому следовательно, функция при является тождественно равной постоянной. Чтобы найти эту постоянную, вычислим, например, ; имеем:
Таким образом, данное тождество доказано для всех .
, заметим, что его корнями являются абсциссы точек пересечения или касания графиков функций и .
Для выяснения взаимного расположения графиков этих функций найдем их точки экстремумов.
Так как , то эта функция достигает своего наименьшего значения, ровно 1, в точке х=1. Область существования функции состоит из всех х таких, что . Так как
Так как функция непрерывна на , то отсюда заключаем, что функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке . Следовательно, точка х=1 является наибольшим значением функции на ее области существования.
Следовательно уравнение имеет один единственный корень х=1.
Взаимное расположение графиков показано на рисунке.
Из первого уравнения этой системы следует, что ее решениями могут быть такие пары чисел (х, y), для каждого из которых y>0. Тогда эти пары чисел должны удовлетворять неравенству х>y>0, что следует из второго уравнения системы. Пусть тогда из первого уравнения системы находим, что Подставляя во втором уравнении системы вместо х и вместо y, получаем
то уравнение имеет не более одного корня. Нетрудно заметить, что число t=1 является корнем. Отсюда находим, что решением данной системы может быть только пара чисел х=2 и y=1.
3.13 Отбор кратных корней уравнения
Применение производной позволяет не только убедиться в существовании кратных корней (если они есть), но и дать способ отобрать все кратные корни, отделив их от простых корней. Имеет место следующее утверждение:
Наибольший общий делитель многочленов и имеет своими корнями лишь корни многочлена , причем только те из них, которые имеют кратность не меньше 2. Каждый их этих кратных корней многочлена является корнем наибольшего общего делителя кратности на единицу ниже. Простые корни многочлена не являются корнями наибольшего общего делителя многочленов и .
Отсюда вытекает следующее правило для нахождения кратных корней уравнения:
2. Находим наибольший общий делитель многочленов и .
3. Находим корни наибольшего общего делителя многочленов и .
Каждый из найденных корней наибольшего общего делителя многочленов и является корнем многочлена , причем кратность этого корня на единицу больше его кратности в наибольшем общем делителе.
Отметим, что если наибольший общий делитель многочленов и есть константа, то уравнение =0 не имеет кратных корней.
Найдем наибольший общий делитель многочленов и .
Рис.1. - наибольший общий делитель многочленов
Таким образом, наибольший общий делитель многочленов и равен х-1 (с точностью до постоянного множителя).
Так как х=1 является простым корнем наибольшего общего делителя, что число х=1 будет двукратным корнем данного уравнения, и, значит, многочлен делится без остатка на Разделив на , находим, что Следовательно, корни исходного уравнения- это числа и х=6 и только они.
3.14 Вычисление пределов функции с помощью правила Лопиталя
Раскрытие неопределенностей типа и . Пусть однозначные функции и дифференцируемы при причем производная не обращается в нуль.
Если и - обе бесконечно малые или бесконечно большие при т.е. если частное представляет в точке х= неопределенность типа или , то при условии, что предел отношения производных существует (правило Лопиталя). Правило применимо и в случае, когда .
Если частное вновь дает неопределенность в точке х= одного из двух упомянутых типов и и удовлетворяют всем требованиям, ранее сформулированным для и , то можно перейти к отношению вторых производных и т.д.
Приведя дроби к общему знаменателю, получим:
Прежде чем применить правило Лопиталя, заменим знаменатель последней дроби эквивалентной ему бесконечно малой
3.15 Решение физических задач, связанных с нахождением скорости, ускорения и т.д.
Дано уравнение прямолинейного движения тела: , где S- путь, пройденный телом, м; t- время, с. Найдите скорость тела в момент времени t=1 c.
Скорость это производная пути по времени. Значит:
Подставив значение времени получим:
Точка движется по закону . Найти скорость и ускорение через 2 с после начала движения (движение считать прямолинейным).
Скорость это производная пути по времени. Значит: .
Тело движется прямолинейно по закону Найти его кинетическую энергию через 5 с после начала движения, если масса тела 3 кг.
Формула нахождения кинетической энергии: .
Кинетическая энергия тела составит: .
Выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью:
р (q) = R(q) - C(q) = q 2 - 8q + 10
р '(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 > q extr = 4
При q < q extr = 4 > р'(q) < 0 и прибыль убывает
При q > q extr = 4 > р'(q) > 0 и прибыль возрастает
При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.
Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) = p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей.
Кривая спроса задана выражением , где - объем продаж; - цена товара в условных единицах. Объем продаж составляет 10 000. Определите, каким должно быть изменение цены товара, чтобы объем продаж возрос на 1%.
Определим цену , соответствующую объему продаж
Для оценки изменения цены товара воспользуемся формулой приближенных вычислений По условию задачи составляет 1% от 10000 или 10000/100=100. Найдем значение
Тогда Таким образом, для увеличения объема продаж на 1% цена товара должна быть снижена приблизительно на 0,105 у.е.
3.17 Разложение функций в ряд с помощью формулы Тейлора
1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.(Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности).
2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х ? а.
Тогда между точками х и а найдется такая точка ?, что справедлива формула:
- это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:
называется остаточным членом в форме Лагранжа.
Многочлен разложить по целым положительным степеням бинома х-2.
Функцию разложить по степени бинома х+1 до члена, содержащего
Разложить функцию в ряд Маклорена.
Как известно, этот интеграл нельзя выразить через элементарные функции. Для отыскания разложения данного интеграла в ряд Маклорена необходимо разложить подынтегральную функцию в степенной ряд, а затем почленно проинтегрировать (степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, лежащем внутри промежутка сходимости, поэтому его можно проинтегрировать почленно).
По всей вероятности, исторически задача стояла так: «Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой ». Дело в том, что ученым (в частности вычислителям) надо было в случае довольно «громоздкой» зависимости между переменными заменить в окрестности некоторой точки эту зависимость более простой. А самой простой является линейная зависимость. Поэтому вместо сформулированной выше задачи выдвинулись требования: «Заменить данную функцию линейной функцией в окрестности точки ». Эта идея занимала Тейлора. В случае, если эта замена давала вычислителям большие погрешности, ставилась задача замены данной функции в окрестности точки квадратичной функцией, многочленом третьей степени, четвертой и т.д.- до тех пор, пока не получалась нужная точность вычислений. Эта идея имеет простой геометрический смысл: при замене данной функции линейной в окрестности точки рассматривается касательная , при замене квадратичной- соприкасающаяся парабола, при замене многочленом третьей степени- соприкасающаяся кубическая парабола и т.д.
Замена данной функции линейной получила название линеаризации. Поскольку не было явно сформулировано понятие предела (это уже IX век), то на основе интуиции бесконечно малые «более высоких порядков» просто отбрасывались.
Замените данную функцию линейной вблизи нуля:
Если , то так же стремятся к нулю, поэтому ими можно пренебречь, то есть отбросить. В результате получаем
Замените данную функцию линейной вблизи нуля:
Отбрасываем в числителе и знаменателе х в степени выше первой:
Умножим числитель и знаменатель дроби на двучлен, сопряженный со знаменателем:
Отбрасываем в числителе и знаменателе х в степени выше первой. Будем иметь
В ходе написания работы были использованы такие ключевые понятия дифференциального исчисления как производная, дифференциал, геометрический и физический смысл производной, касательная к графику функции и многое другое, которые используются для решения прикладных задач в математике, физике, экономике.
Цель данной работы - которые решаются с помощью производной. Список использованной литературы:
1. Терешин Н.А., Терешина Т.Н. «2000 задач по алгебре и началам анализа. 10 кл./
-М.:Аквариум, К.: ГИППВ, 2000. 256 с. Стр.192-193; 216-217 ; 194; 200; 240.
2. Ф.Ф.Нагибин «Экстремумы»/- М. «Просвещение» 1966 г. Стр. 30-35.
3. Виленкин Н.Я. «Функция в природе и технике»: Кн. для внеклас. чтения IX-X кл. - 2-е изд., испр. -М.: Просвещение, 1985. - 192 с. Стр.88; 94.
4. О.Н. Афанасьева «Сборник задач по математике для техникумов» - М.:Наука 1992.-208 с. Стр.84.
5. Н.В. Мирошин «Сборник задач с решениями для поступающих в вузы.» - М.: ООО «Издательство Астрель» 2002.-832 с. Стр.496.
6. Вавилов В.В. «Задачи по математике. Начала анализа.»-М.: Наука.Гл. ред.физ.-мат.лит., 1990.-608 с. Стр. 411;412-413; 413-414; 416-417; 419-420; 432-433 ; 422; 423; 424; 430; 365.
7. Мышкис А.Д. «Лекции по высшей математике» Изд. «Наука» 1967 г. Стр. 135.
8. Глейзер Г.И. «История математики в школе» - М.: Просвещение, 1983 г. Стр. 42.
9. Волькенштейн В.С. «Сборник задач по общему курсу физики» М., 1979 г.
10. «Математический энциклопедический словарь.»/Гл.ред. Ю.В.Прохоров.-М:Сов.энциклопедия, 1988.-847 с.
11. «Задачник по курсу математического анализа». ч. II. Под ред. Н.Я.Виленкина.-М: «Просвещение», 1971.
12. «Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов.»/Под ред. Б.П.Демидовича- М: Физматгиз, 1963 г. 472 стр.
13. «Элементы высшей математики»: сб. заданий для практ. занятий: Учеб. Пособие/ С.В.Сочнев.-М: Высш.шк., 2003 г.- 192 с.
Определение производной, понятие интеграла и определение предела функции. Дифференцирование и применение производной к решению задач. Исследование функции, вычисление интегралов и доказательство неравенств. Порядок вычисления пределов, Правило Лопиталя. курсовая работа [612,2 K], добавлен 01.06.2014
Производная функция. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной. Производные от элементарных функций. Изучение функций с помощью производной. Максимум и минимум функции. Точки перегиба. Дифференциал. статья [122,0 K], добавлен 11.01.2004
Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений. контрольная работа [153,6 K], добавлен 19.01.2010
Определение производной функции, геометрический смысл ее приращения. Геометрический смысл заданного отношения. Физический смысл производной функции в данной точке. Число, к которому стремится заданное отношение. Анализ примеров вычисления производной. презентация [696,5 K], добавлен 18.12.2014
Правило нахождения производной произведения функций. Формулы нахождения производных для функций, заданных параметрически. Геометрический смысл производной. Приращение и дифференциал функции. Наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве. контрольная работа [75,5 K], добавлен 07.09.2010
Понятие производной, правила её применения, геометрический и физический смысл производной. Применение производной в науке и технике и о решении задач в этой области. Актуальность дифференциального исчисления в связи с научно-техническим прогрессом. реферат [458,8 K], добавлен 17.05.2009
Изучение формул Крамера и Гаусса для решения систем уравнений. Использование метода обратной матрицы. Составление уравнения медианы и высоты треугольника. Нахождение пределов выражений и производных заданных функций. Определение экстремумов функции. контрольная работа [59,1 K], добавлен 15.01.2014
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Производная и ее применение для решения прикладных задач контрольная работа. Математика.
Государственная муниципальная собственность на землю
Реферат по теме Кибернетика и сознание. Проблемы искусственного интеллекта
Гдз По Английскому Контрольные Работы 9 Класс
Годовая Контрольная Работа По Истории 7 Класс
Реферат: Stonehenge Essay Research Paper Many have wondered
Курсовая работа по теме Сравнение жизненной емкости легких у лиц, адаптированных и неадаптированных к физической нагрузке
Контрольная работа по теме Інформаційні технології в біології
Курсовая работа: Основы управления в органах внутренних дел
Учебное Пособие На Тему Эксплуатация И Наладка Систем Теплогазоснабжения И Вентиляции
Реферат по теме Современный материализм
Курсовая работа по теме Развитие и государственная поддержка малого предпринимательства в условиях нестабильности
Реферат: Преобразования в области культуры в первой четверти XVIII века
Собачье Сердце Примеры Для Сочинения Егэ
Ильин Собрание Сочинений В 10 Томах
Контрольная работа: Проблема возникновения сознания
Реферат: Методические рекомендации по ознакомлению младших школьников с библейскими сказаниями Заключение
Реферат: Desperation
Формат Написания Сочинения Егэ
Курсовая Работа Баскетбол
Отчет По Практике Сервис
Геологическая деятельность моря, воды в замкнутых водоемах. Взаимосвязь эндогенных и экзогенных геологических процессов - Геология, гидрология и геодезия реферат
Аудит учета кассовых операций - Бухгалтерский учет и аудит курсовая работа
Современное правовое положение профсоюзов - Государство и право курсовая работа