Признак сходимости лейбница

Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов

=== Скачать файл ===

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

1.5. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница

Дом Здоровье Зоология Информатика Искусство Искусство Компьютеры Кулинария Маркетинг Математика Медицина Менеджмент Образование Педагогика Питомцы Программирование Производство Промышленность Психология Разное Религия Социология Спорт Статистика Транспорт Физика Философия Финансы Химия Хобби Экология Экономика Электроника. Знакочередующимся рядом называют числовой ряд, члены которого имеют чередующиеся знаки. Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине, т. Модуль суммы остатка ряда не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена. Построим последовательность частичных сумм знакочередующегося ряда с четными индексами:. Поскольку любая скобка в этой сумме положительна, то последовательность возрастающая. Докажем, что она ограничена. Для этого представим в виде:. Здесь также каждая из скобок положительна. Поэтому в результате вычитания из положительных чисел получаем число, меньше чем , то есть для любого. Итак, последовательность - возрастающая, ограниченная сверху, значит, она имеет конечный предел. Обозначим его через S , то есть , причем. Согласно условию , поэтому. Таким образом, предел частичных сумм равен S как для сумм с четными индексами, так и для сумм с нечетными индексами. Следовательно, а это значит, что ряд сходится и его сумма равна S. Он также является знакочередующимся рядом, удовлетворяющим условиям признака Лейбница. Следовательно, он сходится и его сумма меньше абсолютной величины первого члена то есть. Проверим выполнение условий этого признака:. Легко убедится, что с возрастанием n , члены ряда убывают по абсолютной величине и. Таким образом, исследуемый ряд сходится. Ряд называют знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные числа. Если ряд , составленный из абсолютных величин знакопеременного ряда, сходится, то ряд 1 тоже сходится. Обозначим через - частичную сумму ряда 1. Выберем из этих слагаемых положительные члены и их сумму обозначим. Сумму оставшихся отрицательных членов, взятых по абсолютной величине, обозначим. Частичную сумму ряда 2 обозначим. По условию ряд 2 сходится, значит, имеет конечный предел , причем. Так как можно записать то и. Таким образом - возрастающие и ограниченные последовательности и, следовательно, они имеют предел, если. Тогда последовательность тоже имеет предел, а это значит, что ряд 1 сходится. Знакопеременный ряд называют абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин этого ряда, сходится. Сходящийся знакопеременный ряд называют условно сходящимся , если ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов, причем сумма ряда не зависит от порядка следования его членов. Если ряд сходится условно, то можно так переставить члены этого ряда, что сумма ряда изменится. Более того, можно так переставить члены ряда, что ряд, полученный после перестановки, окажется расходящимся. Исследовать на сходимость ряд. Этот ряд знакопеременный, так как при различных значениях n может быть как положительным, так и отрицательным. Так как при любом n то для каждого слагаемого можно записать оценку: Таким образом, члены ряда из абсолютных величин не превосходят соответствующие члены сходящегося ряда. Согласно первому признаку сравнения ряд, составленный из абсолютных величин, сходится. Из этого следует сходимость ряда с произвольными членами, т. Запишем ряд в виде. Это числовой ряд с положительными членами, общий член которого имеет вид. Обобщенный гармонический ряд расходится. Таким образом, исследуемый ряд 1 не может быть абсолютно сходящимся. Проверим его на условную сходимость. Если задать переменной числовое значение , то получится числовой ряд ,. Множество значений , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости. В области сходимости сумма функционального ряда является некоторой функцией от переменной и определяется как. Областью сходимости ряда служат два промежутка и. Одним из видов функциональных рядов являются степенные ряды , которые записывают:. Если степенной ряд принимает вид:. Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно в интервале , то есть при всех x, удовлетворяющих условию. По условию теоремы в точке степенной ряд сходится. Общий членсходящегосячислового ряда , в силу необходимого признака, стремится к нулю: Представим степенной ряд в виде. Сравним его с рядом, составленным из членов геометрической прогрессии: Этот ряд сходится, если и знаменатель прогрессии. В силу неравенств , члены ряда меньше соответствующих членов сходящегося ряда , по первому признаку сравнения, ряд также сходится. Мы показали, что при любом из интервала степенной ряд сходится, значит, ряд внутри этого интервала сходится абсолютно. Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится при любом x , по модулю, большем, чем b , то есть если. Таким образом, можно сказать, что для любого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число R , что для всех x, по модулю меньших R , ряд сходится абсолютно, а для всех x , по модулю больших R , ряд расходится. Радиусом сходимости степенного ряда называют такое число R, что для всех , , степенной ряд сходится, а для всех , , расходится. Интервал называют интервалом сходимости степенного ряда. Для степенного ряда областью сходимости служит интервал симметричный относительно точки. На границах интервала сходимости, в точках степенной ряд может вести себя различным образом. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин. Все члены этого ряда положительны, поэтому к нему можно применить признак Даламбера: Найдем значения , при которых этот предел будет меньше единицы, то есть решим неравенство. Умножим обе части неравенства на 3: Интервал симметричен относительно точки , а радиус сходимости. Исследуем сходимость ряда на концах интервала. В точке получим ряд с положительными членами. Это обобщенный гармонический ряд, который, как мы знаем, расходится. В точке получим знакочередующийся ряд. Окончательно, областью сходимости степенного ряда является промежуток , причем, если ряд сходится условно. Радиус сходимости степенного ряда равен. Найти интервал сходимости ряда. Общий член ряда имеет вид , тогда. Составим ряд из абсолютных величин и применим к нему признак Даламбера: После сокращения на множители и и вынесения за знак предела множителя , не зависящего от n , выражение примет вид:. Таким образом, предел равен нулю при любом x , то есть по признаку Даламбера областью сходимости этого ряда является вся числовая ось. Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз, причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны , где - сумма ряда. Степенной ряд можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до , если , причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Следующая. Главная Случайная страница Категории: Последнее изменение этой страницы:

Карловы вары отель английский двор

Алгоритм извлечения квадратного корня

Объяснение значения слова толкование

Зимняя теплица термос своими руками

Эффективные ноотропные препараты

Частно педагогические понятия

Причины появления болезни паркинсона

Построить из несъемной опалубки во владимирской области

Схема заземления опор вл

Судебный прецедент как источник международного частного права

Заговоры ванги чтобы найти хорошую работу

Подделка на день рождения сестре своими руками