Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач в MATLab - Математика реферат

Главная

Математика
Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач в MATLab

История интегрального и дифференциального исчисления. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики. Моменты и центры масс плоских кривых, теорема Гульдена. Дифференциальные уравнения. Примеры решения задач в MatLab.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Отдел образования гомельского городского
Государственное учреждение образования
«Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач в MATLab»
Исполнитель: Орехова Ксения Ивановна,
Руководитель: Горский Сергей Михайлович,
Государственного учреждения образования
1. История интегрального и дифференциального исчисления
3. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
Факультативный курс «Применение дифференциального и интегрального исчисления к р е шению физических и геометрических задач» имеет своей целью изучение курса математического анализа на основе практического освещения мат е риала, на основе использования методов данного раздела математики для решения задач геометрии и физики; а так же реализации этих задач на компьютере (с помощью пакета MATLAB ).
В результате можно сказать, что такое объёмное, не конкретное формулирование темы и цели факультативного курса даёт возможным его ре а лизацию в школе. В школьном курсе алгебры и начал анализа курс «Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач» н а правлен на изучение определённого интеграла.
Место темы в школьном курсе математики .
Факультативный курс «Применение интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач» углубляет материал курса а л гебры и начал анализа в одиннадцатом классе и раскрывает возможности для практического закрепления материала по темам, входящим в школ ь ный курс математики. Это темы «Производная функции», «Определённый интеграл» в алгебре, и некоторые темы в геометрии и физике. В результате данный факультативный курс реализует межпредметную связь алгебры и математического анализа с геометрией, информатикой и физикой.
Развитию у учащихся правильных представлений о характере отраж е ния алгеброй основных элементов в геометрии и физике, роли математич е ского моделирования в научном познании способствует знакомство их с решением и визуализацией различных математических задач на компьют е ре. Изложение факультативного курса базируется на основных возможностях версии 6.1 пакета математических и инженерных вычислений MATLAB , ставшего в настоящее время стандартным средством поддержки из у чения высшей математики, численного анализа и других учебных курсов во многих университетах. Учащимся излагаются основные возможности численных и символьных вычислений, программирования и визуализации результатов, предоставляемые ядром системы MATLAB и его пакета ра с ширения Symbolic Math Toolbox .
Основные понятия факультативного курса : определённый интеграл, длина кривой, площадь, поверхность вращения, цилиндрическая повер х ность, объём тела и др.
1. Обучающие : провести практическое закрепление по теме «Опред е лённый интеграл», познакомить учащихся с пакетом математических и инженерных вычислений MATLAB 6.1, проиллюстрировать реализацию межпредметной связи математического анализа с геометрией, информат и кой и физикой.
2. Воспитывающие: создание условий для успешного профессионал ь ного самоопределения учащихся посредством решения трудных задач с использованием компьютера, воспитание мировоззрения и ряда личнос т ных качеств , средствами углубленного изучения математики.
3. Развивающие: расширение кругозора учащихся, развитие математ и ческого мышления, формирование активного познавательного интереса к предмету, развитие профессиональных интересов учащихся, развитие н а выков самостоятельной и исследовательской деятельности, развитие ре ф лексии учащихся (осознание своих склонностей и способностей, необх о димыми для будущей профессиональной деятельности).
1. История интегрального и дифференциального исчисления
История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как «придание квадратной формы». Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античное время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты привычные для нас представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача «о квадратуре круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)
Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) пл оских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 -- ок. 355 до н.э.). Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом (ок. 287 - 212 до н.э.). С этой модификацией вы знакомы: вывод формулы площади круга, предложенный в курсе геометрии, основан на идеях Архимеда
Его остроумные и глубокие идеи, связанные с вычислением площадей и объёмов тел, решением задач механики, по существу, предвосхищают о ткрытие математического анализа и интегрального исчисления, сделанное почти 2000 лет спустя. Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.
Кроме этого Архимед дал оценку числа «пи» (), нашел объемы шара и эллипсоида, площадь сегмента параболы и т. д. Сам Архимед высоко ценил эти результаты: согласно его желанию на могиле Архимеда высечен шар, вписанный в цилиндр (Архимед показал, что объем такого шара равен 2/3 объема цилиндра).
Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод -- метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f (х) , которым, тем не менее, приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.
На такой кажущейся теперь, по меньшей мере, сомнительной основе И. Кеплер (1571--1630) в своих сочинениях «Новая астрономия» (1609 г.) и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на бесконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598--1647) и Э. Торричелли (1608--1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип для площадей плоских фигур: Пусть прямые некоторого пучка пара л лельных пересекают фигуры Ф1 и Ф2 по отрезкам равной длины. Тогда площади фигур Ф1 и Ф2 равны.
Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезным при нахождении объемов. Простейшие следствия принципа Кавальери вы можете вывести сами. Докажите , например, что прямой и наклонный цилиндры с общим основанием и высотой имеют равные объемы.
В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 г. решил задачу квадратуры любой кривой , где п -- целое (т. е. по существу вывел формулу , и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести.
Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона -- Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.
Символ ? введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa ). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro , которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово integer означает целый.
В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики -- интегральное исчисление ( calculus integralis ), которое ввел И. Бернулли.
Другие известные вам термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: -- начальная (или первоначальная, или первообразная) для f(x), которая получается из F(х) дифференцированием.
В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. А называют определенным инт е гралом (обозначение ввел К. Фурье (1768--1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).
Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии. В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801--1862), В. Я. Буняковский (1804-1889), П. Л. Чебышев (1821--1894).
Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупне йших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826--1866, см. рис. 4.), французского математика Г. Дарбу (1842-- 1917).
Мы ввели понятие дифференциала с помощью равенства . Для вычисления дифференциала надо найти производную. Однако, помня о том, что дифференциал -- это главная часть приращения функции, линейно зависящая от приращений аргумента, мы из физических соображений получим равенства вида dy = kdx и сделаем вывод о том, что k -- это производная у по х.
1. Работа. Найдем работу, которую совершает заданная сила F при перемещении по отрезку оси х. Если сила F постоянна, то работа А равна произведению F на длину пути. Если сила меняется, то ее можно рассматривать как функцию от х: F = F ( x ). Приращение работы А на отрезке [х, x + dx ] нельзя точно вычислить как произведение F ( x ) dx , так как сила меняется, на этом отрезке. Однако при маленьких dx можно считать, что сила меняется незначительно и произведение представляет главную часть , т. е. является дифференциалом работы ( dA = = F ( x ) dx ). Таким образом, силу можно считать призводной работы по перемещению.
Заряд. Пусть q -- заряд, переносимый электрическим током через поперечное сечение проводника за время t . Если сила тока / постоянна, то за время dt ток перенесет заряд, равный Idt . При силе тока, изменяющейся со временем по закону / = /(/), произведение I ( t ) dt дает главную часть приращения заряда на маленьком отрезке времени [/, t +- dt ], т.е.- является дифференциалом заряда: dq = I { t ) dt . Следовательно, сила тока является производной заряда по времени.
Масса тонкого стержня. Пусть имеется неоднородный тонкий стержень. Если ввести координаты так, как показано на рис. 130, то функция т= т(1) -- масса куска стержня от точки О до точки /. Неоднородность стержня означает, что его линейная плотность не является постоянной, а зависит от положения точки / по некоторому закону р = р(/). Если на маленьком отрезке стержня [/, / + d/] предположить, что плотность постоянна и равна р(/), то произведение p(/)d/ дает дифференциал массы dm . Значит, линейная плотность -- это производная массы по длине.
Теплота. Рассмотрим процесс нагревания какого-нибудь вещества и вычислим количество теплоты Q { T ), которое необходимо, чтобы нагреть 1 кг вещества от 0 °С до Т. Зависимость Q = Q ( T ) очень сложна и определяется экспериментально. Если бы теплоемкость с данного вещества не зависела от температуры, то произведение cdT дало бы изменение количества теплоты. Считая на малом отрезке [ T , T + dT ] теплоемкость постоянной, получаем дифференциал количества теплоты dQ = c ( T ) dT . Поэтому теплоемкость -- это производная теплоты по температуре.
Снова работа. Рассмотрим работу как функцию времени. Нам известна характеристика работы, определяющая ее скорость по времени, -- это мощность. При работе с постоянной мощностью N работа за время dt равна Ndt . Это выражение представляет дифференциал работы, т.е. dA = N ( t ) dt , и мощность выступает как производная работы по времени.
Все приведенные примеры были построены по одному и тому знакомыми нам из курса физики: работа, перемещение, сила; заряд, время, сила тока; масса, длина, линейная плотность; и т. д. Каждый раз одна из этих величин выступала как коэффициент пропорциональности между дифференциалами двумя других, т. е. каждый раз появлялось соотношение вида dy = k ( x ) dx . На такое соотношение можно смотреть как на способ определения величины k ( x ). Тогда k ( x ) находится (или определяется) как производная у по х. Этот вывод мы и фиксировали в каждом примере. Возможна и обратная постановка вопроса: как найти зависимость у от х из заданного соотношения между их дифференциалами.
3. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
1. Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением y = f ( x ), a ? x ? b , и имеет плотность = ( x ) , то статические моменты этой дуги M x и M y относительно координатных осей Ox и O y равны
моменты инерции I Х и I у относительно тех же осей Ох и Оу вычисляются по формулам
а координаты центра масс и -- по формулам
Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох
и Оу дуги цепной линии y = chx при 0 ? x ? 1.
В приложениях часто оказывается полезной следующая
Теорема Гульдена . Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.
Пример 2. Найти координаты центра масс полуокружности
<Вследствие симметрии . При вращении полуокружности вокруг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна , а длина полуокружности равна па. По теореме Гульдена имеем
Отсюда , т.е. центр масс C имеет координаты C .
2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах.
Пример 4. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.
< Так как путь, пройденный телом со скоростью ( t ) за отрезок времени [t 1,t 2], выражается интегралом
Многие физические законы имеют вид дифференциальных уравнений, т. е. соотношений между функциями и их производными. Задача интегрирования этих уравнений -- важнейшая задача математики. Одни дифференциальные уравнения удается проинтегрировать в явном виде, т.е. записать искомую функцию в виде формул. Для решения других до сих пор не удается найти достаточно удобных формул. В этих случаях можно найти приближенные решения с помощью вычислительных машин. Мы не будем подробно изучать методы интегрирования дифференциальных уравнений, а только рассмотрим несколько примеров.
1. Уравнение механического движения. Пусть материальная точка массы т движется под действием силы F по оси х. Обозначим t время ее движения, и -- скорость, а -- ускорение. Второй закон Ньютона, а = Fm примет вид дифференциального уравнения, если записать ускорение, а как вторую производную: a = x '' .
Уравнение тх" = F называют уравнением, механического движения, где x = x ( t ) -- неизвестная функция, т и F -- известные величины. В зависимости от условий задачи по-разному и записываются различные дифференциальные уравнения.
-- масса распадающего вещества. Количество распадающего вещества пропорционально количеству и времени, т.е. при имеем
Решение дифференциального уравнения- . Дополнительные условия- , тогда задача
3.Движение системы N материальных точек.
-масса, - радиус вектор i- ой точки, - сила воздействующая на i -ую точку.
При малых колебаниях и тогда уравнение имеет вид:
Если стержень однороден, то вдоль стержня постоянное касательное натяжение . Тогда вертикальная сила в точке x , где смещение u(x ). Если в каждой точке стержня действует внешняя сила то
Рассмотрим частный случай , тогда получаем уравнение
Дополнительные условия (закрепленные концы) - . Тогда задача
Задача 1 . Построить семейство функций () и найти их общие точки, при чём в объекте Figure подписать графики и точки, обозначить оси, подписать заголовок и использовать разные цвета для построенных графиков. При решении использовать функцию num2str(x), переводящее число x в строковую величину:
set(hPlot,'Color',[1.8/n 0.7 0.5]);
s=['(' num2str(x(i)) ',' num2str(y(i)) ')'];
hText=text(x(i),y(i)+2, s); set(hText,'FontSize',[16]);
hText=text(1.5, 1.5^2*n-1, s2); set(hText,'FontSize',[14]);
Задача 2. Написать программу-функцию, строящую график функции (funstr) и касательную к нему в точке х0.
f=sym(funstr); y0=subs(f,'x',x0); A=x0-1; B=x0+1; X=[A:(B-A)/100:B]; F=subs(f,'x',X);
Hline=plot(X,F); set(Hline,'LineWidth',2)
k=diff(f,x,1); K=subs(k,'x',x0); yt=sym('y0+k*(x-x0)');
yt=subs(yt,'k',K); yt=subs(yt,'x0',x0); yt=subs(yt,'y0',y0);
Результат (рис. 13): >> kasat('x^4',2)
Задача 3. Построить поверхность вращения графика функции заданной явно: (где ), вокруг оси Ох.
set(hFigure,'Color',[0.9 0.8 0.8]);
x=0:0.1:x0; y=a*(exp(-x/a)+exp(x/a))/2;
hPlot=plot(x,y); set(hPlot,'LineWidth',5)
Задача 4. Визуализировать поверхность, образованной вращением астроиды .
h=300; figure('Units','Pixels','position',
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
Задача 5. Построить в полярных координатах лемнискату Бернулли: .
Задача 6 . Используя численные и символьные вычисления в MATLAB найти: а) определённый интеграл; б) двойной интеграл; в) поверхностный интеграл (1-го рода).
а) Классической задачей численного анализа является задача о вычислении определённых интегралов. Из всех методов вычисления определённых интегралов самым простым, но в то же время довольно успешно применяемым является метод трапеции. В MATLAB для этого метода предусмотрена функция: trapz(x,y) (команда edit trapz позволяет вывести текст этой функции). Одномерный массив х (вектор) содержит дискретные значения аргументов подынтегральной функции. Значения подынтегральной функции в этих точках сосредоточены в одномерном массиве y. Чаще всего для интегрирования выбирают равномерную сетку, то есть значения элементов массива х отстоят друг от друга на одну и ту же величину - шаг интегрирования. Точность вычисления интеграла зависит от величины шага интегрирования: чем меньше этот шаг, тем больше точность.
Задача 7 . Вычислить интеграл методом трапеции с различными шагами интегрирования (для наблюдения 14 десятичных цифр после запятой нужно предварительно ввести и исполнить команду format long).
Метод трапеций является очень универсальным методом и хорошо подходит интегрирования не слишком гладких функций. Если же функция под знаком интеграла является гладкой (существуют и непрерывны несколько первых производных), то лучше применять методы интегриров ания более высоких порядков точности. При одном и том же шаге интегрирования методы более высоких порядков точности достигают более точных результатов.
В системе МАТLАВ методы интегрирования более высоких порядков точноcти реализуются функциями quad (метод Симпсона) и quad8 (метод Ньютона-Котеса 8-го порядка точности). Оба этих метода являются к тому же адаптивными . Последнее означает, что пользователю нет необходимости контролировать достигнутую точность результата путем сравнения последовательных значении, соответствующих разным шагам интегрирования. Все это указанные данные функции выполняют самостоятельно.
У функции quad8 более высокий порядок точности по сравнению с функцией quad, что очень хорошо для гладких функций, так как обеспечивается более высокая точность результата при большем шаге интегрирования (меньшем объеме отчислений). Однако функция quad может иметь не меньшее, а даже большее быстродействие для не слишком гладких функций (разрывны или велики по абсолютной величине вторая или третья производные). В любом случае обе эти функции по умолчанию обеспечивают одинаковую относительную точность результата, равную 0.001.
Как и многие другие функции системы МАТ LАВ, функции quad и quad8 могут принимать различное количество параметров. Минимальный формат вызова этих функций включает в себя три параметра: имя подынтегральной функции, нижний предел интегрирования и верхний предел интегрирования. Если применяется четвертый параметр, то он является требуемой относительной точностью результата вычислений. Кстати, если обе эти адаптивные функции не могут обеспечить получение необходимой точности (расходящийся или близкий к этому интеграл), то они возвращают символическую бесконечность Inf.
Для вычисления определённых интегралов символьными методами можно использовать два варианта решения: напрямую или по этапам (с подстановкой символьных чисел).
Задача 8 . Вычислить определённый интеграл .
% 1 способ: работа с подстановкой символьных чисел
symbol2a=subs(symbol,[a,b],[a1,b1])
% 2 способ: работа с символьными числами
Задача 9. Вычислить площадь поверхности, полученной вращением астроиды вокруг оси Ox : . (поверхность визуализирована в задаче 2) .
t 1=sym('0'); t2=sym('pi/2'); a=sym('1');
symbol=simplify(int(4*pi*f,'t',t1,t2))
б) Двойные интегралы сводятся к вычислению повторных определё нных интегралов, один из которых является внутренним, а другой внешним. Внутренний интеграл является подынтегральной функцией для внешнего интеграла. Можно было бы для численных вычислений написать некоторую цепочку вычислений, в которой многократные вычисления подынтегральной функции сводились бы к многократным вызовам функции quad. Однако нет необходимости делать это самостоятельно, так как в системе MATLAB для этого имеется специальная функция dblquad.
Задача 8 . Вычислить интеграл , где .
z=x.*sin(y)+y.*sin(x); >> format long
Задача 9. С помощью символьных вычислений получить следующие интегралы , , , , , где .
i5=int(int(x+y,'y',x,1),'x',0,1) i1 =
Так как символьные вычисления не дают погрешности метода вычи сления и сами по себе они более точные, то можно увидеть, что функция dblquad даёт точный результат до 7 знака после запятой.
в) Из высшей математики известно, что к определенным и двойным интегралам могут быть сведены многие другие типы интегралов, например поверхностный интеграл 1-го рода. Так как при его нахождении используется дифференцирование под знаком интеграла, то использовать численные вычисления некорректно.
Задача 10 . Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода: , где S - часть плоскости , лежащая в первом октанте (по теореме 2).
intpov1=int(int(fun*sqrt(d),'y',y1,y2),'x',x1,x2)
Задача 11 . Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода , где S - сфера (по теореме 3).
Сначала создадим функцию, описывающую поверхность по которой происходит интегрирование:
E=diff(x0,'u')^2+diff(y0,'u')^2+diff(z0,'u')^2;
G=diff(x0,'v')^2+diff(y0,'v')^2+diff(z0,'v')^2;
F=diff(x0,'u')*diff(x0,'v')+diff(y0,'u')*
diff(y0,'v')+diff(z0,'u')*diff(z0,'v');
W=sqrt(E*G-F^2); f2=W*subs(f,[x,y],[x0,y0]);
intpov=p*int(int(f2,'v',v1,v2),'u',u1,u2)
Примечание. Функция с sgn является специфической в MATLAB. Она не может быть введена пользователем и возникает только при оперировании с функцией simplify (упрощение символьных выражений). Например:
??? Undefined function or variable 'csgn'.
Моменты и центры масс плоских кривых. Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности. лекция [20,9 K], добавлен 04.09.2003
Условия существования определенного интеграла. Приложение интегрального исчисления. Интегральное исчисление в геометрии. Механические приложение определенного интеграла. Интегральное исчисление в биологии. Интегральное исчисление в экономике. курсовая работа [1,9 M], добавлен 21.01.2008
Идеи интегрального исчисления в работах древних математиков. Особенности метода исчерпывания. История нахождения формулы объема тора Кеплера. Теоретическое обоснование принципа интегрального исчисления (принцип Кавальери). Понятие определенного интеграла. презентация [1,8 M], добавлен 05.07.2016
Общая схема применения определенного интеграла, правила и принципы реализации данного процесса. Вычисления координат центра тяжести плоских фигур. Решения задач на вычисление силы взаимодействия двух материальных тел, вращающихся вокруг неподвижной оси. методичка [195,5 K], добавлен 15.06.2015
Нахождение наибольшего и наименьшего значения (экстремумы) функции в замкнутой ограниченной области. Геометрический и симплексный метод составления плана выпуска продукции, разложение в ряд Фурье по синусам непериодической функции, её график и сумма. курсовая работа [282,7 K], добавлен 25.04.2011
Жерар Дезарг как известный французский математик, краткий очерк его жизни и деятельности. Сущность и содержание теоремы данного ученого, исторические основы ее создания и развития, особенности применения к решению задач, на евклидовой плоскости. курсовая работа [151,3 K], добавлен 28.04.2011
Рассмотрение видов арифметических задач, используемых в работе с дошкольниками. Этапы обучения решению арифметических задач. Изучение структуры, модели записи математического действия. Алгоритм решения задач. Роль данных занятий в общем развитии ребенка. презентация [379,7 K], добавлен 19.06.2015
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач в MATLab реферат. Математика.
Контрольная работа по теме Психологические основы восприятия рекламы
Клише Сочинение Егэ По Абзацам
Реферат по теме Модели и методы адаптивного контроля знаний
Курсовая работа по теме Гарантии прав и свобод человека и гражданина
Итоговое Сочинение Егэ Количество Слов
Контрольная работа: Концепция существования и развития культуры Питирима Сорокина
Контрольная Работа По Теме Социальная Сфера
Дипломная работа по теме Правовой минимум и государственная регистрация юридических лиц
Реферат по теме Психологические особенности управленческой деятельности
Виды Уборки В Лпу Реферат
Функции Сапр Тп Сборки Реферат
Управление оборотными активами
Сочинение Описание Баян
Курсовая Работа На Тему Понятие Защиты Гражданских Прав
Отчет по практике по теме Производство медицинского стекла
Доклад по теме Эрих Фромм о некрофильном и биофильном типе личности
Реферат: "Роль биологического азота в азотном балансе почв"
Эссе Особенности Отдельных Отраслей Североамериканского Права
Курсовая работа: Кооперация труда
Курсовая работа по теме Финансовые результаты организации от реализации продукции животноводства
Оценка возможностей и результата работы студии ТВ "Павловск" по созданию информационного продукта - Журналистика, издательское дело и СМИ контрольная работа
Сущность и понятие права - Государство и право контрольная работа
Научно-технические достижения в начале 20 века - Биология и естествознание презентация