Применение численных методов для решения уравнений с частными производными - Математика лабораторная работа
Главная
Математика
Применение численных методов для решения уравнений с частными производными
Методы оценки погрешности интерполирования. Интерполирование алгебраическими многочленами. Построение алгебраических многочленов наилучшего среднеквадратичного приближения. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
посмотреть текст работы
скачать работу можно здесь
полная информация о работе
весь список подобных работ
Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
«Применение численных методов для решения Уравнений с частными производными»
Лабораторная работа N1 "Интерполирование алгебраическими многочленами"
Для решения задачи локального интерполирования алгебраическими многочленами в системе MATLAB предназначены функции polyfit (POLYnomial FITting - аппроксимация многочленом) и polyval (POLYnomial VALue - значение многочлена).
Функция polyfit (X,Y,n) находит коэффициенты многочлена степени n , построенного по данным вектора Х, который аппроксимирует данные вектора Y в смысле наименьшего квадрата отклонения. Если число элементов векторов X и Y равно n+1, то функция polyfit (X,Y,n) решает задачу интерполирования многочленом степени n.
Функция polyval (P,z) вычисляет значения полинома, коэффициенты которого являются элементами вектора P, от аргумента z . Если z - вектор или матрица, то полином вычисляется во всех точках z.
Воспользуемся указанными функциями системы MATLAB для решения задачи локального интерполирования алгебраическими многочленами функции, заданной таблицей своих значений
и вычисления ее приближенного значения в точке x* = 2.2 .
Задача 1 (задача локального интерполирования многочленами)
Построить интерполяционные многочлены 1-ой, 2-ой и 3-ей степени.
Записать многочлены в канонической форме и построить их графики.
Решение задачи средствами системы MATLAB:
X=[0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000];
Y=[0.0378 0.0653 0.3789 1.0353 0.5172 0.9765];
P1=polyfit(X(4:5),Y(4:5),1) Коэффициенты многочлена P1
P2=polyfit(X(3:5),Y(3:5),2) Коэффициенты многочлена P2
P3=polyfit(X(3:6),Y(3:6),3) Коэффициенты многочлена P3
Полученные таким образом коэффициенты интерполяционных многочленов и значения этих многочленов при x=x* :
P3 = 2.8692 -15.2604 25.8351 -13.0650
P 2 = -2.3490 *X 2 + 7.1853 *X+ -4.4574
P 3 = 2.8692 *X 3 -15.2604 *X 2 + 25.8351 + -13.0650
Для построения графиков интерполяционных многочленов следует создать векторы xi1, xi2, xi3, моделирующие интервалы (X(3):X(4)), (X(2):X(4)),(X(2):X(5)), соответственно, и вычислить значения многочленов P1, P2, P3 для элементов векторов xi1, xi2, xi3, соответственно:
plot(X,Y,'*k',xi1,y1,xi2,y2,xi3,y3);grid
Интерполирование нелинейной функцией Y=A*exp(-B*X)
Функция plot с указанными аргументами строит табличные значения функции черными звездочками('*k'), а также графики многочленов P1 (по векторам xi1 и y1), P2 (по векторам xi2 и y2) и P3 (по векторам xi3 и y3), и функцией Y=A*exp(-B*X), соответственно синей, красной и зеленой кривыми.
plot(X,Y,'*k',xi1,y1,xi2,y2,xi3,y3,xi1,exp(Pu(2))*exp(Pu(1)*xi1));grid
О ценка погрешности интерполирования
При оценке погрешности решения задачи интерполирования в точке x* за погрешность epsk интерполяционного многочлена степени k принимается модуль разности значений этого многочлена и многочлена степени k+1 в точке x*.
С помощью уже полученных значений мы можем оценить погрешности интерполяционных многочленов P1 и P2 в точке x* , используя функцию abs системы MATLAB для вычисления модуля:
Для оценки погрешности многочлена P3 необходимо предварительно вычислить
значение z4=P4(x*), а затем - eps3.
P4=polyfit(X,Y,4);z4=polyval(P4,xzv);
X=[0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000];
Y=[0.0378 0.0653 0.3789 1.0353 0.5172 0.9765];
plot(X,Y,'*m',xx,ppval(cs,xx),'-k');
B=[6*(Y(2)-Y(1))/h 0 0 0 0 6*(Y(length(Y))-Y(length(Y)-1))/h]
B1=[2*(2*Y(2)-Y(1)-Y(3))/h 0 0 0 0 2*(2*Y(length(Y)-1)-Y(length(Y))-Y(length(Y)-2))/h]
plot(X,Y,'ob',xx,ppval(cs,xx),'-',x1,ppval(c1,x1),'*',x2,ppval(c2,x2),'^',xx,spline(X,Y,xx));
B = 0.3300 2.0466 0 0 0 5.5116
B = 0.3300 2.0466 5.8200 0 0 5.5116
B = 0.3300 2.0466 5.8200 0.8298 0 5.5116
B = 0.3300 2.0466 5.8200 0.8298 -0.3528 5.5116
B1 = -1.1444 2.0466 0 0 0 -3.9096
B1 = -1.1444 2.0466 5.8200 0 0 -3.9096
B1 = -1.1444 2.0466 5.8200 0.8298 0 -3.9096
B1 = -1.1444 2.0466 5.8200 0.8298 -0.3528 -3.9096
Лабораторная работа N2 "Построение алгебраических многочленов наилучшего среднеквадратичного приближения"
X=[0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000];
Y=[0.0378 0.0653 0.3789 1.0353 0.5172 0.9765];
0.5000 0.0653 0.2500 0.0326 0.0163 0.1250 0.0625
1.0000 0.3789 1.0000 0.3789 0.3789 1.0000 1.0000
1.5000 1.0353 2.2500 1.5530 2.3294 3.3750 5.0625
2.0000 0.5172 4.0000 1.0344 2.0688 8.0000 16.0000
2.5000 0.9765 6.2500 2.4413 6.1031 15.6250 39.0625
7.5000 3.0110 13.7500 5.4402 10.8966 28.1250 61.1875 - Сумма
По данным таблицы запишем и решим нормальную систему МНК-метода:
S1=[n, TABL(7,1);TABL(7,1) TABL(7,3)] матрица коэффициентов
T1=[TABL(7,2);TABL(7,4)] вектор правых частей
coef1=S1\T1 решение нормальной системы МНК
A1=coef1(2);B1=coef1(1); коэффициенты многочлена 1-ой степени
S2=[n TABL(7,1) TABL(7,3);TABL(7,1) TABL(7,3) TABL(7,6);TABL(7,3) TABL(7,6) TABL(7,7)] матрица коэффициентов
T2=[TABL(7,2);TABL(7,4);TABL(7,5)] вектор правых частей
coef2=S2\T2 решение нормальной системы МНК
A2=coef2(3);B2=coef2(2);C2=coef2(1); коэффициенты многочлена 2-ой степени
Для построения графиков функций y1=A1*x+B1 и y2=A2*x^2+B2*x+C2 с найденными коэффициентами зададим вспомогательный вектор абсциссы xi, а затем вычислим элементы векторов g1=A1*xi+B1 и g2=A2*xi^2+B2*xi+C2:
coef1=polyfit(X,Y,1) коэффициенты многочлена первой степени
coef2=polyfit(X,Y,2) коэффициенты многочлена второй степени
Для построения графиков зададим вспомогательный вектор абсциссы xi, а затем c помощью функции polyval вычислим элементы векторов g1 и g2:
Очевидно, что построенные таким способом графики совпадут с полученными ранее.
Для того, чтобы определить величину среднеквадратичного уклонения, вычислим суммы квадратов уклонений g1(x) и g2(x) от таблично заданной функции в узлах таблицы X а затем
delt1=sum((Y-G1).^2); delt1=sqrt(delt1/5)
delt2=sum((Y-G2).^2); delt2=sqrt(delt2/5)
Последние две строки можно заменить другими, если использовать функцию mean , вычислющую среднее значение:
X=[0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000];
Y=[0.0378 0.0653 0.3789 1.0353 0.5172 0.9765]
TABL=[X,sum(X);Y,sum(Y);... означает перенос строки
По данным таблицы запишем и решим нормальную систему МНК-метода:
S2=[n TABL(7,1) TABL(7,3);TABL(7,1) TABL(7,3) TABL(7,6);TABL(7,3) TABL(7,6) TABL(7,7)] матрица коэффициентов
T2=[TABL(7,2);TABL(7,4);TABL(7,5)] вектор правых частей coef2=S2\T2 решение нормальной системы МНК
A2=coef2(3);B2=coef2(2);C2=coef2(1); коэффициенты многочлена 2-ой степени
Дл построения графиков функции y2=A2*x^2+B2*x+C2 с найденными коэффициентами зададим вспомогательный вектор абсциссы xi, а затем вычислим элементы векторов g1=A1*xi+B1 и g2=A2*xi^2+B2*xi+C2 :
coef2=polyfit(X,Y,2) коэффициенты многочлена второй степени
Для построения графиков зададим вспомогательный вектор абсциссы xi, а затем c помощью функции polyval вычислим элементы векторов g1 и g2:
plot(X,Y_o,'*k',xi,log(1./g2));grid
Очевидно, что построенные таким способом графики совпадут с полученными ранее.
Для того, чтобы определить величину среднеквадратичного уклонения, вычислим суммы квадратов уклонений g1(x) и g2(x) от таблично заданной функции в узлах таблицы X а затем
delt2=sum((Y-G2).^2); delt2=sqrt(delt2/5)
Последние две строки можно заменить другими, если использовать функцию mean , вычисляющую среднее значение:
Y = 0.0378 0.0653 0.3789 1.0353 0.5172 0.9765
Y_o = 0.0378 0.0653 0.3789 1.0353 0.5172 0.9765
Y = 0.9629 0.9368 0.6846 0.3551 0.5962 0.3766
0.5000 0.9368 0.2500 0.4684 0.2342 0.1250 0.0625
1.0000 0.6846 1.0000 0.6846 0.6846 1.0000 1.0000
1.5000 0.3551 2.2500 0.5327 0.7990 3.3750 5.0625
2.0000 0.5962 4.0000 1.1924 2.3848 8.0000 16.0000
2.5000 0.3766 6.2500 0.9416 2.3539 15.6250 39.0625
7.5000 3.9122 13.7500 3.8196 6.4565 28.1250 61.1875
Ч исленные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
X=[0.00000 0.10000 0.20000 0.30000 0.40000 0.50000];
Y0=input('Значение функции в точке 0 = ');
X=[0.00000 0.10000 0.20000 0.30000 0.40000 0.50000];
Y0=input('Значение функции в точке 0 = ');
Y_n1=Y_n1*(1+0.1*X(n))/(1-0.1*(X(n)+0.1));
Y_sot=Y_sot*(1+0.01*X1(n))/(1-0.01*(X1(n)+0.01));
Y_tys=Y_tys*(1+0.001*X2(n))/(1-0.001*(X2(n)+0.001));
или Y2=input('Введите значение Yn в точке X=0 =')
y_2(i+1)=y_2(i)/(1-h_2*2*X_2(i+1));
y_3(i+1)=y_3(i)/(1-h_3*2*X_3(i+1));
TABL=[X; Y;... ... означает перенос строки
plot(X,Y,'-',X,y_1,X,[y_2(1),r1],X,[y_3(1),r2])
function [ output_args ] = koshi( input_args )
KOSHI Summary of this function goes here
while (eps >= 0.000001) & (i < 10000)
a_new=a-psi*(a-a_old)/(psi-psi_old)
Генерация матрицы 10*10 из элементов равномерно распределённых 1..10
function [ output_args ] = ravnomern10_10_1_10( input_args )
RAVNOMERN10_10_1_10 Summary of this function goes here
Решение краевой задачи методом сеток для УЧП.
v=v.*((1*9+sum(0:h:1)+sum(0:h:1))/40)
d = max(max(abs(v(2:end-1,2:end-1)-v_new(2:end-1,2:end-1))))
HELM ВЫЧИСЛЯЕТ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО (АЛГОРИТМ "БЛУЖДАНИЙ ПО СЕТКЕ") РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ЗАДАННОЙ ТОЧКЕ (x,y) ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ D, ОПРЕДЕЛЕННОЙ ГРАНИЦАМИ.
function [z1,z2,z3]=helm(c,fun,xm,ym,gr,x0,y0,h,n);
HELM ВЫЧИСЛЯЕТ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО (АЛГОРИТМ "БЛУЖДАНИЙ ПО СЕТКЕ")
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ЗАДАННОЙ
ТОЧКЕ (x,y) ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ D, ОПРЕДЕЛЕННОЙ ГРАНИЦАМИ
c - КОЭФФИЦИЕНТ (функциональный) ЛЕВОЙ ЧАСТИ УЧП;
fun - ФУНКЦИЯ F(x,y) В ПРАВОЙ ЧАСТИ УЧП (ФУНКЦИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ);
xm,ym - ГРАНИЦЫ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ;
gr - ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ (ФУНКЦИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ);
x0,y0 - КООРДИНАТЫ ТОЧКИ, В КОТОРОЙ ИЩЕТСЯ РЕШЕНИЕ;
h - ШАГ СЕТКИ (ЗАДАЕТСЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕМ);
z1 - ПРИБЛИЖЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ РЕШЕНИЯ;
Обращение: [z1,z2,z3]=helm(c,fun,xm,ym,gr,x0,y0,h,n)
disp(' ============================= ');
disp(' при числе траекторий');disp(n);
disp('значение в точке с координатами ');
z1=mean(z);disp(' ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ - ');disp(z1);
z2=0.6745*std(z)/sqrt(n);disp(' ВЕРОЯТНОЙ ОШИБКИ - ');disp(z2);
z3=z2*3/0.6745;disp(' ВЕРХНЕЙ ГРАНИЦЫ ОШИБКИ - ');disp(z3);
[z1,z2,z3]=helm(c,f,xm,ym,gr,x0,y0,h,n);
значение в точке с координатами x0 y0 0.6000 0.7000
Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Применение рекуррентного соотношения. Техника применения метода Эйлера для численного решения уравнения первого порядка. Численные методы, пригодные для решения задачи Коши. реферат [183,1 K], добавлен 24.08.2015
Решение нелинейных уравнений методом касательных (Ньютона), особенности и этапы данного процесса. Механизм интерполирования функции и численное интегрирование. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера. курсовая работа [508,1 K], добавлен 16.12.2015
Задачи Коши и методы их решения. Общие понятия, сходимость явных способов типа Рунге-Кутты, практическая оценка погрешности приближенного решения. Автоматический выбор шага интегрирования, анализ брюсселятора и метод Зонневельда для его расчета. курсовая работа [1,7 M], добавлен 03.11.2011
Использование метода конечных разностей для решения краевой задачи уравнений с частными производными эллиптического типа. Графическое определение распространения тепла методом конечно-разностных аппроксимаций производных с применением пакета Mathlab. курсовая работа [1,0 M], добавлен 06.07.2011
Приближенные числа и действия над ними. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Интерполирование и экстраполирование функций. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Отделение корня уравнения. Поиск погрешности результата. контрольная работа [604,7 K], добавлен 18.10.2012
Определение и анализ многошаговых методов, основы их построения, устойчивость и сходимость. Постановка задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Адамса, значение квадратурных коэффициентов. Применение методов прогноза и коррекции. контрольная работа [320,8 K], добавлен 13.03.2013
Неизвестная функция, ее производные и независимые переменные - элементы дифференциального уравнения. Семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, их систем. Методы наименьших квадратов, золотого сечения, прямоугольников. контрольная работа [138,9 K], добавлен 08.01.2016
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .
© 2000 — 2021
Применение численных методов для решения уравнений с частными производными лабораторная работа. Математика.
Курсовая работа по теме Обеспечение работы с/х предприятия в условиях радиактивного заражения
THE "CHICAGO SCHOOL" OF POETRY
Сочинение Гроза Егэ Литература
Реферат: Смысл жизни по С.Л.Фpанку. Скачать бесплатно и без регистрации
Доклад по теме 68171
Математическая Логика Реферат
Практическое задание по теме Разработка программы работы школы здоровья и долголетия пожилых людей
Курсовая Работа На Тему Земельный Налог
Реферат: Понятие отгруженной и реализованной готовой продукции и ее правовое регулирование
Реферат: Методические рекомендации предназначены для составителей учебных модулей применяющихся в дистанционном обучении при усовершенствовании и переподготовки врачей. Содержание
Реферат: Поражающие факторы, характерные для аварий на радиоактивно-опасных объектах. Загрязнение окружа
Реферат: Экологическая экспертиза в России: нормативная и правовая основа
Реферат по теме Задачи маркетинга, решаемые автоматизированными системами
Курсовая работа по теме Учет расчетов с бюджетом по корпоративному подоходному налогу
Контрольная работа по теме Политико-правовые взгляды М.М.Сперанского и политические идеи Н.М.Карамзина.
Контроль в деятельности мсу. Контрольный орган мун образования
Реферат по теме Происхождение и эволюция человека
Контрольная работа: Політична система Чехії
Отчет По Практике В Клинике Ветеринария
Контрольная работа: Предмет и задачи педагогики
Научное изучение Казахстана - История и исторические личности презентация
Принцип свободы договора - Государство и право дипломная работа
Древнегреческая бухгалтерия - Бухгалтерский учет и аудит реферат