Пределы. Ответы на вопросы. Математика.

⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.


Помощь в написании работы, которую точно примут!


Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе


Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе


Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе


Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе


Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе


Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе

Нужна качественная работа без плагиата?

Не нашел материал для своей работы?


Поможем написать качественную работу Без плагиата!

Число А
наз-ся пределом последоват-ти X n если для любого числа
Е>0, сколь угодно малого, $ N 0 , такое что при
всех n>N 0 будет выполн-ся нер-во |X n -A|
A-EN 0 попадают в Е-окрестность (.)А.


1.если
послед-ть имеет предел, то он единственный.


Док-во:
предп, что пределы различны: lim Xn=a, lim Xn=b (n®¥), тогда
|a-b|=|a-Xn+Xn-b|. Из lim Xn=a (n®¥) => " E/2 $ N 1 "n>N 1 |a-Xn| " E/2 $ N 2 "n>N 2 |Xn-и|N 0 . |a-b|=|a-Xn+Xn-b|£|a-Xn|+|Xn-b| |a-b|=0 => a=b.


2.теорема
о сжатой переменной. n>N 1
Xn³Zn³Yn $ limXn = lim Yn = a (n®¥) => $ lim Zn=a (n®¥)


Док-во: 1.
из того, что $ lim Xn=a (n®¥) => n>N 2 |Xn-a| n>N 3 ,
a-EN 0 Xn³Zn³Yn. a+E>Xn³Zn³Yn>a-E => lim Zn=a (n®¥)


Функция
y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х,
если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих
рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|£M. Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной
в данной обл-ти.


Величина Xn
наз-ся бесконечно малой при n®¥, если lim Xn = 0 (n®¥). "E>0, N 0 , n>N 0 , |Xn| " E/2 $N 1 , n>N 1 |Xn|" E/2 $N 2 , n>N 2 |Yn|N 0 , |Xn±Yn|£|Xn|+|Yn| lim(Xn±Yn)=0 (n®¥). Теорема справедлива для любого конечного числа б.м. слагаемых.


2.Произведение
ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.


Док-во:Xn –
огр. величина => $ K, |Xn| £ K,


Yn – б.м.
=> " E/K $N 0 n>N 0
|Yn| Xn=a+Yn, Yn – б.м.


Док-во: Из lim Xn=a (n®¥) => "E $N 0 n>N 0
|Xn-a| Xn=a+Yn. Справедливо и обратное: если переменную величину можно
представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n®¥).


Xn – бесконечно
большая n®¥, если "M>0 $N 0 ,
n>N 0 , |Xn|>M => M"M $N 1 , n>N 1
|Xn|>M


из Yn – б.б.
=> "M $ N 2 , n>N 2
|Yn|>M


N 0 =max(N 1 ,
N 2 ) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M 2 >M


2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м.
lim Xn=¥ (n®¥) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из
lim Xn=¥ => M=1/E $N 0 ,
n>N 0 |Xn|>M =>n>N 0 .


|Yn|=1/|Xn|<1/M=E
=>Yn – б.м. => lim Yn=0 (n®¥).


3.Сумма б.б
величины и ограниченной есть б.б. величина.


lim
Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)


Док-во: lim Xn=a => Xn=a+a n ;
lim Yn=b => Yn=b+b n ;


Xn
± Yn = (a + a n ) ± (b + b n )
= (a ± b) + (a n ± b n ) => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).


lim
Xn=a, lim Yn=b (n®¥) =>  lim Xn/Yn =   
(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.


Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+a n )/(b+b n )
– a/b = (ab+a n b–ab–ab n )/b(b+b n ) =(ba n -ab n )/b(b+b n )=g n => Xn/Yn=a/b+g n
=> $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).


Пределы
ф-ии непрерывного аргумента.


Число А
наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при х®x 0 , если
для любого Е>0 сколь угодно малого сущ-ет такое число d>0, что при "x будет выпол |x-x 0 | A-E0 сколь угодно большого $ d>0, что "x |x-x 0 |M, "x x 0 -df(x)>M.


Число
А наз-ся пределом y=f(x) x ® ¥ , если для любого Е>0 можно найти число К, "x |x|>K |f(x)-A|(sinX)/x>cosX.


Lim
cosX=1, lim 1=1 (x®0) =>lim (sinX)/x=1.


1.
lim x ® 0 (tgX)/x=lim(sinX)/x*1/cosX=


2.lim x ® 0 (arcsinX)/x={arcsinX=t,sint=x,t®0}=


3.
lim x ® 0 (sin ax)/bx = lim (aSin ax)/(ax)b=


Бином Ньютона: (a+b) n =a n +na n-1 b+(n(n-1)a n-2 b 2 )/2!+...
+(n(n-1)(n-2)(n-3)a n-4 b 4 )/4!+...+b n .


(1+1/n) n =1+n1/n+n(n-1)/2!n 2 +n(n-1)(n-2)/3!n 3 +...+1/n n =
=2+1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+1/4!(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+...+1/n n ={послед-ть возрастающая}< 2+0.5(1-1/n) +1/2 2 (1-1/n)(1-2/n)+1/2 3 (1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+1/2 n
< 2+0.5+1/2 2 +1/2 3 +...+1/2 n =2+0.5(1-1/2 n )/(1-0.5)=2+1-1/2 n =3-1/2 n
<3.


2£(1+1/n) n <3 => $ lim n ® ¥ (1+1/n) n =e.


(1/n+1) n+1 ³(1+1/x) x ³(1+1/(n+1)) n
lim n ® ¥ (1+1/n) n (1+1/n)=e*1=e,· lim n ® ¥ (1+1/(n+1)) n+1 *1/(1+1/(n+1))=e*1/1=e => $lim x ® + ¥ (1+1/x) x =e.


-фун. y=f(x)
наз. непрерывной в точке х 0 , если сущ. предел фун. y=f(x)
при х®х 0 равный значению фун f(x 0 ). limf ( x )= f ( x 0 )


1. f(x) –
опред ф-ия; 2. $lim x ® x0-0 f(x) $lim x ® x0+0 f(x)
– конечные пределы; 3. lim x ® x0- f(x)=lim x ® x0+ f(x);


Если Х 0
т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х 0 – 1 род


Если Х 0
– 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.


Если Х 0
т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х 0 – 2род.


1.Если фун f 1 (x)
и f 2 (x) непрерывны в точке х 0 , то сумма (разность) y(х)=f 1 (x)±f 2 (x), произведение у(х)=f 1 (x)*f 2 (x),
а также отношение этих фун у(х)=f 1 (x)/f 2 (x), есть
непрерывная фун в точке х 0 .


Док-во
(суммы): По определению получ lim х ® х0 f 1 (x)=f 1 (x 0 ) и lim х ® х0 f 2 (x)=f 2 (x 0 )
на основании св-ва1 можем написать: lim х ® х0 у(х)=lim х ® х0 [f 1 (x)+f 2 (x)
]=


=lim х ® х0 f 1 (x)+lim х ® х0 f 2 (x)=f 1 (x 0 )+f 2 (x 0 )=у(х 0 ).
Итак сумма есть непрерывная фун.· 


2.Всякая
непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.


3.Если фун z=j(х) непрерывна в точке х=х 0 , а фун y=f(z)
непрерывна в соот-й точке z 0 =j(х 0 ), то фун y=f(j(х)) непрерывна в точке х 0 .


Если фун
непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят,
что фун непреывна на этом интервале.


Если фун
непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах
интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке
(а,в).


Непрерывности
на заданном промежутке


Ф-ия
наз-ся непрерывной на пром-ке (a;b) ,
если она непрерывн в кажд т-ке этого пром-ка.


1. достиг
наиб и наим значения; 2. если м и М – наиб и наим знач-ия, то она достиг любые
значения м Dy=Df(x 0 )=f(x 0 +Dx)-f(x 0 ),
Dy/Dx=(f(x 0 +Dx)-f(x 0 ))/Dx.


Если $ lim D x ® 0 Dy/Dx, то этот предел наз-ся производн ф-ии в т-ке Х 0 .
· Если f(x) имеет производ в кажд т-ке xÎX, то мы можем брать прозвол Х, считая его фиксир, х+DхÎХ. Lim D х ® 0 (f(x 0 +Dx)-f(x 0 ))/Dx= =f / (х)=df(x)/dx=dy/dx=y | (x).


Производная
фун f(x) в точке х 0 равна угловому коэф-ту касательной к гр-ку фун
f(x) в точке М (х 0 ;f(x 0 )).


Если т-ка М
будет приближ-ся к т-ке М 0 (при Dх®0), то секущая приближ-ся к касат.


y | (x 0 )=lim D х ® 0 (f(x 0 +Dx)-f(x 0 ))/ /Dx=lim D х ® 0 Dy/Dx=lim D х ® 0 tga==lim a ® a 0 tga=tga 0 .



N l =y-f(x 0 )=-(x-x 0 )/f \ (x 0 ).


1.
y=U(x)+V(x), y | =U | (x)+ V | (x) . Док-во: для х+Dх имеем: y+Dy=(u+Du)+(v+Dv). Следовательно, Dy=Du+Dv, Dy/Dx=Du/Dx+Dv/Dx, y | =lim D x ® 0 Dy/Dx = lim D x ® 0 Du/Dx+ lim D x ® 0 Dv/Dx=U | (x)+V / (x).


2. y=uv, y | =u | v+uv | .
Док-во: y+Dy=(u+Du)(v+Dv), Dy=(u+Du)(v+Dv)-uv=Duv+uDv+DuDv, Dy/Dx=Duv/Dx+Dvu/Dx+DuDv/Dx,


y | =
lim D x ® 0 Dy/Dx= lim D x ® 0 Duv/Dx + lim D x ® 0 Dvu/Dx + lim D x ® 0 DuDv/Dx={ lim D x ® 0 Du=0, т.к ф-ия
дифф-ма и непрерывна}=u | v+uv | .


3.
y=u/v, y | =(u | v-uv | )/v 2 . Док-во:
y+Dy=(u+Du)/(v+Dv), Dy=(u+Du)/(v+Dv)-u/v=(vDu-uDv)/v(v+Dv)


4.
y=a x , y | =a x ln a. Док-во:
ln y=x ln a, y | /y=ln a, y | =yln a y | =a x ln
a.


Неявно
задан фун и нахождение ее производ.


Говорят, что
соот-е F(x;y)=0 задается неявно, если сущ фун у=f(x), х
принадлежит отрезку [а,в] и, если подстав-е в F(x;y)=0
соот-е обращает его в тождество(º)· {F(x;y)=0,$у=f(x),х
принадлежит отрезку [а,в],F(x;f(x)) º0}


Правило
нахождения: Если F(x;y)=0 задает
фцн неявно, т.е это будет тождество, то тождественное равенство можно по членно
продифференцировать. {[F(x;y)] / =0 / }


y ( n ) =( uv ) ( n ) =( u ) ( n ) v + nu ( n -1) v | +([ n ( n -1)]/[1*2])* n ( n -2) v || +…+ uv ( n )


Ф-ия y=f(x)
наз-ся дифференцируемой в т-ке Х 0 , если Dy=ADx+O(Dx), где А не зависит от DХ, О(DХ) – б.м., более высокого порядка малости, чем DХ, когда DХ®0, т.е. lim D x ® 0 O(Dx)/Dx=0. АDХ – главная часть приращения.


Теорема:
y=f(x) дифф-ма в т-ке Х 0
т и тт, когда она в этой т-ке имеет конечную производную A=f \ (x 0 ).


Необход
усл-ие дифф-ти: если ф-ия дифф-ма, то она имеет кон производ. Дано: Dy=ADx+O(Dx)


f \ (x 0 )=lim D x ® 0 Dy/Dx= lim D x ® 0 [(ADx+O(Dx))/Dx] = lim D x ® 0 (A+O(Dx)/Dx)=A => Dy=f \ (x 0 )Dx+O(Dx) => lim D x ® 0 Dy=0 =>
f(x) – непрерывна.


Достат
усл-ие дифф-ти: если ф-ия в заданной т-ке имеет кон производ, то она
дифф-ма. Дано: $f \ (x 0 ) – число, f \ (x 0 )=lim D x ® 0 Dy/Dx => Dy/Dx=f \ (x 0 )+a(Dx) {a(Dч) – б.м.}, Dy=f \ (x 0 )Dx+a(Dx)Dx => Dy=f \ (x 0 )Dx+O(Dx), т.е. O(Dx)=a(Dx)Dx => lim D x ® 0 O(Dx)/Dx=lim D x ® 0 a(Dx)=0. Дифференциал ф-ии это главная часть приращения,
линейная относит DХ.


Приближ
знач ф-ии в некот т-ке: Dy=f(x 0 +Dx)-f(x 0 ) =>f(x 0 +Dx)=f(x 0 )+Dy»f(x 0 )+df(x 0 )=f(x 0 )+f \ (x 0 )dx,
dx=Dx.


Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.shpori4all.narod.ru/






Похожие работы на - Пределы Ответы на вопросы. Математика.
Реферат: Правовые основы европейской безопасности
Реферат по теме Привод клети
Курсовая работа по теме Основи побудови обліку фінансування витрат
Дипломная Пгс
Положение Диссертации Сгюа
Курсовая работа по теме Экономическая эффективность и социальная справедливость рыночной экономики
10 Зарождение Русского Марксизма Эссе
Курсовая работа: Учет и анализ движения основного капитала на материалах ООО "Балтийский Банк"
Портрет Дориана Грея Аргументы К Сочинению
Строительный Отчет Практика
Курсовая работа: Психологическая реабилитация
Дипломная работа по теме Маркетинговые стратегии построения имиджа туристической компании (на примере ООО 'ТК 'Розовый слон')
Доклад: Единая теория Вселенной или теория всего
Аристотелева Картина Мира Реферат
Реферат по теме Синдром профессионального выгорания личности
Курсовая работа по теме Культура и теория цивилизаций
Отчет Практики На Плодоовощной Базе
Реферат по теме Основные составляющие мерчендайзинга
Подведомственность дел и принципы арбитражного судопроизводства
Курсовая работа: Инвентаризация ТМЗ: порядок проведения, оформления и учет ее результатов
Похожие работы на - Зарождение философской традиции (Доклад)
Похожие работы на - Рынок труда
Дипломная работа: Оценка эффективности инвестиционного проекта по строительству газопровода "Ковыкта-Саянск-Иркутск-Китай"