Правило умножения дробей на число
Правило умножения дробей на числоСкачать файл - Правило умножения дробей на число
Сложение дробей имеет много сходства со сложением целых чисел. Сложение дробей есть действие, состоящее в том, что несколько данных чисел слагаемых соединяются в одно число сумму , содержащее в себе все единицы и доли единиц слагаемых. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Сложение дробей с разными знаменателями. Возьмём отрезок АВ рис. Отсюда получаем следующее правило: Таким образом, чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно предварительно привести их к наименьшему общему знаменателю, сложить их числители и подписать общий знаменатель. Рассмотрим пример дополнительные множители будем писать над соответствующими дробями:. Вычитание дробей определяется так же, как и вычитание целых чисел. Рассмотрим последовательно три случая:. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Вычитание дробей с разными знаменателями. Значит, мы можем написать:. Сделанный нами пример показывает, что числитель разности получился от вычитания числителей, а знаменатель остался тот же самый. Таким образом, чтобы вычесть дробь из дроби, нужно предварительно привести их к наименьшему общему знаменателю, затем из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого и под их разностью подписать общий знаменатель. Мы вычли целое из целого и дробь из дроби. Но бывают случаи, когда дробная часть вычитаемого больше дробной части уменьшаемого. В таких случаях нужно взять одну единицу из целой части уменьшаемого, раздробить её в те доли, в каких выражена дробная часть, и прибавить к дробной части уменьшаемого. Умножение дроби на целое число. Нахождение дроби данного числа. Умножение целого числа на дробь. Умножение дроби на дробь. Нахождение процентов данного числа. Умножение дроби на целое число имеет тот же смысл, что и умножение целого числа на целое. Умножить дробь множимое на целое число множитель — значит составить сумму одинаковых слагаемых, в которой каждое слагаемое равно множимому, а число слагаемых равно множителю. Рассмотрение этого действия показывает, что умножение дроби на целое число равносильно увеличению этой дроби во столько раз, сколько единиц содержится в целом числе. А так как увеличение дроби достигается или путём увеличения её числителя. Чтобы умножить дробь на целое число, нужно умножить на это целое число числитель и оставить тот же знаменатель или, если возможно, разделить на это число знаменатель, оставив без изменения числитель. Существует множество задач, при решении которых приходится находить, или вычислять, часть данного числа. Отличие этих задач от прочих состоит в том, что в них даётся число каких-нибудь предметов или единиц измерения и требуется найти часть этого числа, которая здесь же указывается определённой дробью. Для облегчения понимания мы сначала приведём примеры таких задач, а потом познакомим со способом их решения. У меня было 60 руб. Поезд должен пройти расстояние между городами А и В, равное км. Сколько это составляет километров? Сколько всего кирпичных домов? Вот некоторые из тех многочисленных задач на нахождение части от данного числа, с которыми нам приходится встречаться. Их обычно называют задачами на нахождение дроби данного числа. Для нахождения двух третей от нужно полученное частное увеличить вдвое, т. Для вычисления трёх четвертей от полученное частное нужно увеличить втрое, т. Чтобы найти величину дроби от данного числа, нужно разделить это число на знаменатель дроби и полученное частное умножить на её числитель. В настоящем параграфе пункт 1 было установлено, что умножить дробь на целое число — это значит найти сумму одинаковых слагаемых, равных этой дроби. Теперь мы переходим к умножению целого числа на дробь. Здесь мы встретимся с таким, например, умножением: Совершенно очевидно, что прежнее определение умножения не подходит к данному случаю. Это видно из того, что мы не можем такое умножение заменить сложением равных между собой чисел. В силу этого нам придётся дать новое определение умножения, т. Смысл умножения целого числа на дробь выясняется из следующего определения: Но теперь возникает интересный и важный вопрос: Происходит это потому, что прежнее действие повторение числа слагаемым несколько раз и новое действие нахождение дроби числа дают ответ на однородные вопросы. Значит, мы исходим здесь из тех соображений, что однородные вопросы или задачи решаются одним и тем же действием. Чтобы это понять, рассмотрим следующую задачу: Сколько будет стоить 4 м такого сукна? Эта задача решается умножением числа рублей 50 на число метров 4 , т. Возьмём такую же задачу, но в ней количество сукна будет выражено дробным числом: Так как эти задачи имеют одно и то же содержание и отличаются только числами, то мы называем действия, применяемые при их решении, одним и тем же словом — умножение. Чтобы умножить целое число на дробь, надо умножить целое число на числитель дроби и это произведение сделать числителем, а знаменателем подписать знаменатель данной дроби. Чтобы это правило стало совершенно понятным, следует помнить, что дробь можно рассматривать как частное. Обратите внимание на то, что там была получена такая же формула. Умножение дроби на дробь имеет тот же смысл, что и умножение целого числа на дробь, т. Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числитель на числитель, а знаменатель — на знаменатель и первое произведение сделать числителем, а второе — знаменателем произведения. Так как смешанные числа легко могут быть заменены неправильными дробями, то этим обстоятельством обычно пользуются при умножении смешанных чисел. Это значит, что в тех случаях, когда множимое, или множитель, или оба сомножителя выражены смешанными числами, то их заменяют неправильными дробями. Перемножим, например, смешанные числа: Обратим каждое из них в неправильную дробь и потом будем перемножать полученные дроби по правилу умножения дроби на дробь:. Чтобы перемножить смешанные числа, нужно предварительно обратить их в неправильные дроби и потом перемножить по правилу умножения дроби на дробь. Если один из сомножителей — целое число, то умножение может быть выполнено на основании распределительного закона так:. При решении задач и при выполнении различных практических расчётов мы пользуемся всевозможными дробями. Можно взять четверть рубля, т. Единица измерения веса, т. Вообще наши метрические меры являются десятичными и допускают десятичные подразделения. Однако надо заметить, что крайне полезно и удобно в самых разнообразных случаях пользоваться одинаковым однообразным способом подразделения величин. В школе обучалось всего 1 учащихся, из них окончили школу 60 человек. Вместо того чтобы говорить: Сберегательные кассы выплачивают вкладчикам за год 2 процента с суммы, положенной на сбережение. Число выпускников одной школы составляло 5 процентов числа всех учащихся школы. Обратно, нужно привыкнуть вместо дроби с знаменателем писать целое число с указанным значком:. Школа получила куб. Сколько было берёзовых дров? Значит, перед нами задача на нахождение дроби от числа. Можно было бы с самого начала выполнить это сокращение; решение задачи от этого не изменилось бы. В лагере было детей различных возрастов. Сколько было детей каждого возраста в лагере? В этой задаче нужно выполнить три вычисления, т. Следует также обратить внимание на то, что сумма процентов, данных в условии задачи, составляет Рабочий получил за месяц 1 руб. Сколько денег израсходовано на указанные в задаче нужды? Рассуждая подобно предыдущему, мы придём к следующему вычислению:. Для проверки полезно сложить числа, найденные в этих 5 вопросах. Сумма должна составить 1 руб. Мы решили три задачи. Несмотря на то, что в этих задачах речь шла о различных вещах доставка дров для школы, число детей различных возрастов, расходы рабочего , они решались одним и тем же способом. Это произошло потому, что во всех задачах нужно было найти несколько процентов от данных чисел. Деление целого числа на целое. Деление дроби на целое число 3. Деление целого числа на дробь. Деление дроби на дробь. Нахождение числа по данной его дроби. Нахождение числа по его процентам. Как было указано в отделе целых чисел, делением называется действие, состоящее в том, что по данному произведению двух сомножителей делимому и одному из этих сомножителей делителю отыскивается другой сомножитель. Деление целого числа на целое мы рассматривали в отделе целых чисел. Мы встретили там два случая деления: Мы можем, следовательно, сказать, что в области целых чисел точное деление не всегда возможно, потому что делимое не всегда является произведением делителя на целое число. После введения умножения на дробь мы можем всякий случай деления целых чисел считать возможным исключается только деление на нуль. Например, разделить 7 на 12 —это значит найти такое число, произведение которого на 12 было бы равно 7. Таким образом, чтобы разделить целое число на целое, нужно составить дробь, числитель которой равен делимому, а знаменатель — делителю. Очевидно, он должен быть втрое меньше этого произведения. Мы уже знаем, что уменьшение дроби можно выполнить или путём уменьшения её числителя, или путём увеличения её знаменателя. В данном случае числитель 6 делится на 3, поэтому следует уменьшить в 3 раза числитель. Здесь числитель 5 не делится нацело на 2, значит, на это число придётся умножить знаменатель:. На основании этого можно высказать правило: Чтобы это было понятнее, запишем наши действия следующим образом: Рассмотрим ещё один пример. Попробуем сначала найти искомый результат с помощью чертежа рис. Изобразим отрезок АВ, равный 6 каким-нибудь единицам, и разделим каждую единицу на 3 равные части. Соединим при помощи маленьких скобочек 18 полученных отрезков по 2; получится всего 9 отрезков. Каким образом получить этот результат без чертежа при помощи одних только вычислений? В целой единице — 3 трети, а в 6 единицах — в 6 раз больше, т. Отсюда получаем правило деления целого числа на дробь. Чтобы разделить целое число на дробь, надо это целое число умножить на знаменатель данной дроби и, сделав это произведение числителем, разделить его на числитель данной дроби. Что будет обозначать число, которое получится в результате деления? Чтобы разобраться в этом вопросе, сделаем чертёж рис. Мы можем рассуждать так: Таким образом, чтобы разделить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй и первое произведение сделать числителем, а второе — знаменателем. При делении смешанных чисел их нужно предварительно обращать в неправильные дроби,а затем производить деление полученных дробей по правилам деления дробных чисел. Таким образом, чтобы разделить смешанные числа, нужно обратить их в неправильные дроби и затем разделить по правилу деления дробей. Среди различных задач на дроби иногда встречаются такие, в которых даётся величина какой-нибудь дроби неизвестного числа и требуется найти это число. Этого типа задачи будут обратными по отношению к задачам на нахождение дроби данного числа; там давалось число и требовалось найти некоторую дробь от этого числа, здесь даётся дробь от числа и требуется найти само это число. Эта мысль станет ещё яснее, если мы обратимся к решению такого типа задач. Сколько всего окон в этом доме? Каков был первоначальный запас муки в магазине? Чтобы найти, число по данной величине его дроби, достаточно разделить эту величину на числитель дроби и результат умножить на знаменатель дроби. Мы решили две задачи на нахождение числа по данной его дроби. Такие задачи, как это особенно хорошо видно из последней, решаются двумя действиями: Однако после того как мы изучили деление дробей, указанные выше задачи можно решать одним действием, а именно: В дальнейшем задачи на нахождение числа по его дроби мы будем решать одним действием — делением. В начале текущего года я получил в сберегательной кассе 60 руб. Сколько денег я положил в сберегательную кассу? Смысл задачи состоит в том, что некоторая сумма денег была положена мной в сберегательную кассу и пролежала там год. По прошествии года я получил с неё 60 руб. Следовательно, зная часть этих денег, выраженную двумя способами в рублях и дробью , мы должны найти всю, пока неизвестную, сумму. Это обыкновенная задача на нахождение числа по данной его дроби. Решаются такие задачи делением:. Какой у них был план? Из условия задачи известно, что рыболовы выполнили часть плана. Сколько тонн рыбы нужно заготовить по плану, нам неизвестно. В нахождении этого числа и будет состоять решение задачи. Поезд шёл из Риги в Москву. Когда он миновал й километр, один из пассажиров спросил проходящего кондуктора, какую часть пути они уже проехали. На это кондуктор ответил: Каково расстояние от Риги до Москвы? Нам нужно найти всё расстояние между этими городами, т. Мы получили дробь, обратную данной. Для того чтобы получить дробь, обратную данной, нужно её числитель поставить на место знаменателя, а знаменатель — на место числителя. Этим способом мы можем получить дробь, обратную любой дроби. Две дроби, обладающие тем свойством, что числитель первой является знаменателем второй, а знаменатель первой является числителем второй, называются взаимно обратными. Отыскивая дробь, обратную данной, мы получили целое число. И этот случай не единичный; напротив, для всех дробей с числителем 1 единица обратными будут целые числа, например:. Так как при отыскании обратных дробей мы встретились и с целыми числами, то в дальнейшем мы будем говорить не об обратных дробях, а об обратных числах. Выясним, как написать число, обратное целому числу. Для дробей это решается просто: Этим же способом можно получить обратное число и для целого числа, так как у любого целого числа можно подразумевать знаменатель 1. Эту мысль можно выразить иначе: Такое утверждение справедливо не только для целых чисел, но и для дробей. Теперь укажем одно свойство взаимно обратных чисел, которое будет нам полезно: Пусть нужно найти число, обратное 8. Мы ввели здесь понятие о взаимно обратных числах для того, чтобы немного дополнить сведения о делении дробей. В обоих случаях получается одно и то же. Поэтому мы можем сказать, что деление одного числа на другое можно заменить умножением делимого на число, обратное делителю. Действия над дробными числами. Мы последовательно рассмотрим три случая: Рассмотрим пример дополнительные множители будем писать над соответствующими дробями: Теперь сложим последовательно целые и дробные части: Рассмотрим последовательно три случая: Значит, мы можем написать: При изучении умножения дробей мы будем рассматривать следующие вопросы: Следовательно, Рассмотрение этого действия показывает, что умножение дроби на целое число равносильно увеличению этой дроби во столько раз, сколько единиц содержится в целом числе. При умножении возможны сокращения, например: На основании решения этих задач мы можем вывести следующее правило: В обоих случаях умножение состояло в нахождении суммы одинаковых слагаемых. Как выполняется умножение целого числа на дробь? Возьмём числа, встретившиеся в последней задаче: Рассмотрим ещё один пример: Следовательно, Отсюда получаем правило: Запишем это правило с помощью букв: Как выполняется умножение дроби на дробь? Таким образом, Еще пример: Это правило в общем виде можно записать так: При умножении необходимо делать если возможно сокращения. Обратим каждое из них в неправильную дробь и потом будем перемножать полученные дроби по правилу умножения дроби на дробь: Если один из сомножителей — целое число, то умножение может быть выполнено на основании распределительного закона так: Прежняя цена книги 10 руб. Она понизилась на 1 рубль. В кассу положено руб. Сотая часть числа называется процентом. Изложенные выше примеры можно высказать иначе: Цена на книги понизилась на 12 процентов прежней цены. Нужно уметь заменять целое число с указанным значком дробью с знаменателем Обратно, нужно привыкнуть вместо дроби с знаменателем писать целое число с указанным значком: Значит, здесь нужно будет три раза отыскать дробь от числа. Для решения этой задачи нужно 5 раз найти дробь от числа 1 Рассуждая подобно предыдущему, мы придём к следующему вычислению: При изучении деления дробей мы будем рассматривать следующие вопросы: Деление дроби на целое число. Здесь числитель 5 не делится нацело на 2, значит, на это число придётся умножить знаменатель: При делении возможны сокращения, например: Запишем правило при помощи букв: Следовательно, Таким образом, чтобы разделить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй и первое произведение сделать числителем, а второе — знаменателем. Запишем правило с помощью букв: Обратим смешанные числа в неправильные дроби: Очевидно, весь запас будет в 8 раз больше. Первоначальный запас муки в магазине был равен 4 кг. Из рассмотрения этой задачи можно вывести следующее правило. Например, последняя задача может быть решена одним действием так: В этих задачах нужно будет найти число, зная несколько процентов этого числа. Решаются такие задачи делением: Значит, в сберегательную кассу было положено руб. Такие задачи решаются делением: Значит, по плану нужно заготовить т рыбы. И этот случай не единичный; напротив, для всех дробей с числителем 1 единица обратными будут целые числа, например: Примеры, которые мы даём ниже, вполне подтверждают этот вывод:
Как умножить число на дробь
Печка радиатора нексия сколько стоит
Встать на очередь в садик в красноярске
Правила умножения дробей
Как сделать крутой скин в kogama
Займ на карту круглосуточно без отказа москва
Принтер kyocera m2035dn плохо печатает что сделать
Умножение дробей
Понятие корпоративного управления шпаргалка
Приказ мчс россии 191 от 26.04 17