Правильные многогранники . Реферат. Математика.
👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!
Похожие работы на - Правильные многогранники
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Нужна качественная работа без плагиата?
Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу Без плагиата!
Определение правильного многогранника.
Определение.
Многогранник называется правильным, если: 1) он выпуклый; 2) все его грани –
равные друг другу правильные многоугольники; 3) в каждой его вершине сходится
одинаковое число ребер; 4) все его двугранные равны.
Примером
правильного многогранника является куб: он является выпуклым многогранником,
все его грани – равные квадраты, в каждой вершине сходятся три ребра, и все
двугранные углы куба прямые. Правильный тетраэдр также является правильным
многогранником.
Возникает вопрос:
сколько существует различных типов правильных многогранников?
Пять типов правильных многогранников.
Рассмотрим
произвольный правильный многогранник М , у которого В вершин, Р
ребер и Г граней. По теореме Эйлера для этого многогранника выполняется
равенство:
В - Р + Г = 2.
(1)
Пусть каждая грань
данного многогранника содержит m ребер (сторон), и
в каждой вершине сходятся n ребер. Очевидно,
m , n . (2)
Так как у
многогранника В вершин, и каждой из которых сходятся n
ребер, то получаем n ребер. Но любое ребро соединяет
две вершины многогранника, поэтому в произведение n каждое ребро войдет
дважды. Значит у многогранника имеется различных ребер. Тогда
= Р В = . (3)
Далее, в каждой
грани многогранника М содержится m ребер, а число
граней равно Г. Так как каждое ребро принадлежит двум смежным граням, то число
различных ребер многогранника равно . Тогда
=Р Г= . (4)
Из (1), (3), (4)
получаем - Р + = 2, откуда
+ = + > . (5)
Из неравенств 3 и 3 следует, что гранями правильного
многогранника могут быть либо правильные треугольники, либо правильные
четырехугольники, либо правильные пятиугольники. Причем в случаях m = n = 4; m = 4, n = 5; m = 5, n = 4; m = n = 5 приходим к противоречию с условием . Поэтому остаются
возможными пять случаев: 1) m = n =
3; 2) m = 4, n = 3; 3) m = 3, n = 4; 4) m = 5, n = 3; 5) m = 3, n = 5.
Рассмотрим каждый
из этих случаев, используя соотношения (5), (4) и (3).
1) m = n = 3 (каждая
грань многогранника – правильный треугольник. Это – известный нам правильный
тетраэдр (« тетраэдр » означает четырехгранник).
2) m = 4, n = 3 (каждая
грань квадрат, и в каждой вершине сходятся три ребра). Имеем
Получаем правильный
шестигранник, у которого каждая грань – квадрат. Этот многогранник называется правильным
гексаэдром и является кубом (« гексаэдр» -- шестигранник), любой
параллелепипед – гексаэдр.
3) m = 3, n = 4 (каждая грань –правильный треугольник, в
каждой вершине сходятся четыре ребра). Имеем
Получаем правильный
восьмигранник, у которого каждая грань – правильный треугольник. Этот
многогранник называется правильным октаэдром ( «октаэдр» --
восьмигранник).
4) m = 5, n = 3 (каждая
грань – правильный пятиугольник, в каждой вершине сходятся три ребра). Имеем:
Получаем правильный
двенадцатигранник, у которого каждая грань – правильный пятиугольник. Этот
многогранник называется правильным додекаэдром (« додекаэдр »
-- двенадцатигранник).
5) m = 3, n = 5 (каждая
грань – правильный треугольник, в каждой вершине сходятся пять ребер). Имеем
Получаем правильный
двадцатигранник. Этот многогранник называется правильным икосаэдром (« икосаэдр »
- двадцатигранник).
Таким образом, мы
получили следующую теорему.
Теорема. Существует пять
различных ( с точностью до подобия) типов
правильных многогранников:
правильный тетраэдр, правильный гексаэдр
(куб), правильный октаэдр,
правильный додекаэдр и правильный икосаэдр.
К этому заключению
можно прийти несколько иначе.
Действительно, если
грань правильного многогранника – правильный треугольник, и в одной вершине
сходятся k ребер, т.е. все плоский углы выпуклого k -гранного угла равны , то . Следовательно, натуральное число k может принимать значения: 3;4;5. при этом Г = , Р = . На основании теоремы Эйлера имеем: В+ - = 2 или В ( 6 – k )
= 12. Тогда
при k = 3
получаем: В = 4, Г = 4 , Р = 6 (правильный тетраэдр);\
при k = 4 получаем: В = 6, Г = 8, Р = 12 (правильный октаэдр);
при k = 5 получаем: В = 12, Г = 20, Р = 30 (правильный икосаэдр).
Если грань
правильного многогранника – правильный четырехугольник , то . Этому условию соответствует
единственное натуральное число k = 3. Тогда: Г = , Р= ; В + - = 2 или . Значит, В = 8, Г = 6, Р = 12 – мы получаем куб (правильный гексаэдр).
Если гранью
правильного многогранника является правильный пятиугольник, то . Этому условию
соответствует тоже только k = 3 и Г = ; Р = . Аналогично предыдущим вычислениям
получаем: и В = 20, Г = 12, Р = 30 (правильный додекаэдр).
Начиная с правильных
шестиугольников, предположительно являющихся гранями правильного многогранника,
плоские углы становятся не меньше , и уже k = 3 их
сумма становится не менее , что невозможно. Следовательно, существует
всего пять видов правильных многогранников.
На рисунках
изображены разверстки каждого из пяти правильных многогранников.
Правильный октаэдр
Некоторые свойства
правильных многогранников приведены в следующей таблице.
У каждого из
правильных многогранников, помимо уже указанных, нас чаще всего будут
интересовать:
1. Величина его
двугранного угла при ребре (при длине ребра a ).
2. Площадь его
полной поверхности (при длине ребра a ).
4. Радиус описанной
около него сферы (при длине ребра a ).
5. Радиус вписанной
в него сферы (при длине ребра a ).
6. Радиус сферы,
касающихся всех его ребер (при длине ребра a ).
Наиболее просто
решается вопрос о вычислении площади полной поверхности правильного
многогранника; она равна Г , где Г – количество граней правильного
многогранника, а -
площадь одной грани.
Напомним, sin
= , что дает
нам возможность записать в радикалах: ctg = . Учитывая это составляем таблицы:
а) для площади
грани правильного многогранника
б) для площади
полной поверхности правильного многогранника
Теперь перейдем к
вычислению величины двугранного угла правильного многогранника при его ребре. Для
правильного тетраэдра и куба вы легко найдете величину этого угла.
В правильном
додекаэдре все плоские углы его граней равны , поэтому, применив теорему косинусов для
трехгранных углов к любому трехгранному углу данного додекаэдра при его
вершине, получим: cos , откуда
На изображенном
правильном октаэдре ABCDMF вы можете убедиться, что
двугранный угол при
ребре октаэдра равен 2arctg .
F
Для нахождения
величины двугранного угла при ребре правильного икосаэдра можно
рассмотреть трехгранный угол ABCD при вершине А: его
плоские углы ВАС и CAD равный , а третий плоский угол BAD, против которого лежит двугранный угол B(AC)D = , равен (BCDMF –
правильный пятиугольник). По теореме косинусов для трехгранного угла ABCD
имеем: .
Учитывая, что ,
получаем ,
откуда . Таким
образом, двугранный угол при
ребре икосаэдра равен .
Итак, получаем
следующую таблицу величин двугранных углов при ребрах правильных многогранников.
Величина двугранного угла при ребре
Прежде чем находить
объем того или иного правильного многогранника, сначала проведем рассуждения о
том, как можно найти объем правильных многогранников в общем виде.
Попытайтесь сначала
доказать, что если центр каждой грани любого правильного многогранника провести
прямую, перпендикулярную плоскости этой грани, то все проведенные прямые
пересекутся в некоторой одной точке О , удаленной от всех граней данного
многогранника на одно и тоже расстояние, которое обозначим r. Точка О окажется центром сферы, вписанной в данный
многогранник, а r – ее радиусом. Соединив
полученную точку О со всеми вершинами данного многогранника, мы разобьем
его на Г равных между собой пирамид (Г—число граней правильного многогранника):
основаниями образованных пирамид равны r . Тогда
объем данного многогранника равен сумме объемов всех этих пирамид. Так как
многогранник правильный, то его объем V можно найти
по формуле:
Остается найти длину
радиуса r . Для этого, соединив точку О с
серединой К ребра многогранника, попробуйте убедиться, что наклонная КО
к грани многогранника, содержащей ребро, составляет с плоскостью этой грани
угол, равный половине величины двугранного угла при этом ребре
многогранника; проекция же наклонной КО на плоскость этой грани
принадлежит ее апофеме и равна радиусу вписанной в нее окружности. Тогда
(2)
где p —полупериметр грани. Тогда из (1) и (2)
получаем общую для всех правильных многогранников формулу вычисления их
объемов:
Эта формула
совершенно не нужна для нахождения объемов куба, правильных тетраэдра и
октаэдра, но позволяет довольно легко находить объемы правильных икосаэдра и
додекаэдра.
Министерство образования РФ г. Янаул
по геометрии на тему «Правильные многогранники».
Похожие работы на - Правильные многогранники Реферат. Математика.
Контрольная работа по теме Правовое регулирование аудиторской деятельности
Реферат: Политический портрет Мао Цзэдуна. Скачать бесплатно и без регистрации
Отчет По Производственной Практике Преподавателя
Тема Реферата Влияние
Реферат По Теме Россия В Мировой Экономике
Юридическая Наука Как Система Знаний Эссе
Реферат: Организация производства в обрабатывающих цехах
Дипломная работа по теме Анализ системы управления персоналом на ООО УК "Спецстройгарант"
Курсовая работа: Современная теория демократии. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Fork Of A Road Essay Research Paper
Контрольная работа по теме Потрійний інтеграл
Сочинение Каким Я Представляю Автора Слова
Реферат: Поход флота к Ревелю 1713
Реферат На Тему Понятие Суицида
Формирование Команды Для Строительства Объекта Диссертация
Дипломная работа по теме Методы оценки риска инвестиционных проектов: исследование чувствительности
Дипломная работа: Эксплуатация резервуарного парка нефтепродуктов ЛУКОЙЛ – ОНПЗ
Реферат: 480-е до н. э.
Эссе На Тему Индивидуальный Стиль Руководства
Сочинение Про Осенние Каникулы
Реферат: История индустриализации Сибири
Реферат: Eldorado Essay Research Paper In the poem
Дипломная работа: Сбытовая политика