Позиционные системы счисления. Реферат. Информационное обеспечение, программирование.
💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Информационное обеспечение, программирование
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!
Похожие работы на - Позиционные системы счисления
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Нужна качественная работа без плагиата?
Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу Без плагиата!
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Курганский государственный
университет
Кафедра экономической теории и
моделирования экономических процессов
По дисциплине «Экономическая
информатика»
Перевод в десятичную систему
счисления
Перевод из десятичной системы
счисления
Перевод из двоичной в
восьмеричную и шестнадцатеричную системы
Перевод из восьмеричной и
шестнадцатеричной систем в двоичную
Перевод дробной части из
двоичной системы в 8- и 16-ричную
Перевод из произвольной
системы счисления в десятичную
Перевод из десятичной системы
в произвольную
Двоичные комплексные системы
счисления
Системой счисления называются определенные символы и правила их
использования при записи чисел. Ежедневно мы пользуемся различными системами
счисления и не замечаем этого. Это может быть подсчет времени - секунды,
минуты, часы, года, запись чисел XXXIV и много другого.
Выделят
два вида систем счисления: позиционные
<#"656202.files/image001.gif">,
где - это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие
неравенству
Каждая степень в такой записи называется разрядом (позицией), старшинство
разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя степени . Обычно для ненулевого числа требуют, чтобы старшая цифра в b-ричном представлении была также ненулевой.
Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в
виде уникальных письменных знаков), число записывают в виде последовательности
его b-ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева
направо:
Построение такой записи числа называют позиционным кодированием числа, а
саму запись - позиционным кодом числа.
Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в
виде:
Во избежание путаницы при одновременной работе с несколькими системами
счисления основание указывается в качестве нижнего индекса:
С помощью n позиций в b-ричной системе счисления можно записать целые
числа от 0 до b n−1 , то есть, всего b n различных
чисел.
- единичная (унарная) система счисления, может рассматриваться как
вырожденный случай позиционной системы счисления;
- двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании);
- восьмеричная (в программировании);
- двенадцатеричная (широко использовалась в древности, в некоторых
частных областях используется и сейчас);
- шестнадцатеричная (наиболее распространена в программировании, а также
в шрифтах);
- сорокаичная система счисления (применялась в древности: в частности,
«сорок сороков» = 1600);
- шестидесятеричная (измерение углов и, в частности, долготы и широты,
измерение времени).
Для записи чисел в системах счисления с основанием до 36 включительно в
качестве цифр (знаков) используются арабские цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9) и затем буквы латинского алфавита (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n,
o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z). При этом, a = 10, b = 11 и т. д., иногда x
= 10.
В некоторых специальных областях применяются особые правила указания
основания. Например, в программировании шестнадцатеричная система обозначается:
o в ассемблере и записях общего рода, не привязанных к
конкретному языку, буквой h (от hexadecimal) в конце числа (синтаксис Intel);
o в Паскале знаком «$» в начале числа;
o в C и многих других языках комбинацией 0x или 0X (от
hexadecimal) в начале.
В некоторых диалектах языка Си по аналогии с «0x» используется префикс
«0b» для обозначения двоичных чисел. (Обозначение «0b» не входит в стандарт
ANSI C.)
В
русских счётах
<#"656202.files/image011.gif">, а количество представимых ими чисел соответственно - . Как функция от b, это выражение
достигает максимума при b равном числу e = 2,718281828…. При целых значениях b
максимум достигается для b = 3. Таким образом, наиболее экономичной является
троичная система счисления (используемая в троичных ЭВМ), следом за которой
идут двоичная система счисления (традиционно используемая в большинстве
распространённых ЭВМ) и четверичная система счисления.
Экономичность системы счисления - немаловажное обстоятельство с точки
зрения её использования в вычислительной машине. Поэтому, хотя применение в
вычислительной машине троичной системы вместо двоичной влечёт некоторые
конструктивные трудности (при этом нужно пользоваться элементами, каждый из
которых может находиться не в двух, а в трёх устойчивых состояниях), эта
система уже была использована в некоторых реально существующих вычислительных
устройствах. С.В. Фомин, советский математик
Эквивалентное описание экономичности системы счисления можно получить,
используя понятие информационной энтропии. При условии равновероятности
появления каждой из цифр в записи числа информационная энтропия записи
n-разрядного числа в системе счисления с основанием b принимает значение (с точностью до постоянного
коэффициента). Поэтому плотность записи (то есть, количество информации на один
разряд) чисел в системе счисления с основанием b равна , которая также принимает
максимальное значение при b = e, а для целых значений b - при b = 3.
Позиционная система счисления обладает рядом свойств:
· Основание системы счисления в ней самой всегда записывается как 10;
например, в двоичной системе счисления 10 означает число 2. Данное утверждение
неприменимо к унарной системе счисления, в которой используется только одна
цифра.
· Для записи числа x в b-ричной системе счисления требуется цифр, где означает взятие целой части числа.
o 3 = 3 - результат сравнения чисел пока не определён;
o 2 > 1 - первое число больше (независимо от оставшихся
цифр).
· Арифметические операции над числами. Позиционная система счисления
позволяет без труда выполнять сложение, вычитание, умножение, деление и деление
с остатком чисел, зная только таблицу сложения однозначных чисел, а для трёх
последних операций ещё и таблицу умножения в соответствующей системе. (См.,
например, деление столбиком).
Если число в b-ричной системе счисления равно:
то для перевода в десятичную систему вычисляем такую сумму:
либо, наконец, в виде схемы Горнера:
2
= 1 · 2 5 + 0 · 2 4 + 1 · 2³ + 1 · 2² + 0 · 2 1 + 0 · 1 = 1 · 32
+ 0 · 16 + 1
+ 1 · 4 + 0 · 2 + 0 · 1 = 32 + 8 + 4 + 0 = 44 10
. Последовательно делить целую часть десятичного числа на основание,
пока десятичное число не станет равно нулю.
2. Полученные при делении остатки являются цифрами нужного числа.
Число в новой системе записывают, начиная с последнего остатка.
. Дробную часть десятичного числа умножаем на основание системы, в
которую требуется перевести. Отделяем целую часть. Продолжаем умножать дробную
часть на основание новой системы, пока она не станет равной 0.
2. Число в новой системе составляют целые части результатов
умножения в порядке, соответствующем их получению.
Частное равно нулю, деление закончено. Теперь записав все остатки снизу
вверх получим число 101100 2
Для этого типа операций существует упрощённый алгоритм.
Для восьмеричной - разбиваем переводимое число на количество цифр, равное
степени 2 (2 возводится в ту степень, которая требуется, чтобы получить
основание системы, в которую требуется перевести (2³=8), в данном случае 3, то есть триад).
Преобразуем триады по таблице триад:
Для шестнадцатеричной - разбиваем переводимое число на количество цифр,
равное степени 2 (2 возводится в ту степень, которая требуется, чтобы получить
основание системы, в которую требуется перевести (2 4 =16), в данном
случае 4, то есть тетрад). Преобразуем тетрады по таблице тетрад:
шестнадцатеричная - 0010 1100 → 2C 16
Для этого типа операций существует упрощённый алгоритм-перевёртыш. система счисление символ
число
Для восьмеричной - преобразуем по таблице в триплеты (см. табл. 1).
Для шестнадцатеричной - преобразуем по таблице в квартеты (см. табл. 2).
Перевод дробной части из двоичной системы счисления в системы счисления с
основаниями 8 и 16 осуществляется точно также, как и для целых частей числа, за
тем лишь исключением, что разбивка на октавы и тетрады идёт вправо от
десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа. Например,
рассмотренное выше число 1100,011 2 будет выглядеть как 14,3 8
или C,6 16 .
Рассмотрим пример перевода двоичного числа 1100,011 2 в
десятичное. Целая часть этого числа равна 12 (см. выше), а вот перевод дробной
части рассмотрим подробнее:
Итак, число 1100,011 2 = 12,375 10 .
Точно также осуществляется перевод из любой системы счисления, только
вместо «2» ставится основание системы.
Для удобства перевода, целую и дробную части числа переводят отдельно, а
результат потом суммируют.
Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно
обратить целую часть в нуль и начать умножение получившегося числа на основание
той системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова
появляться целые части, их нужно повторно обращать в нуль, предварительно
запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается,
когда дробная часть полностью обратится в нуль. Ниже приводится пример перевода
числа 103,625 10 в двоичную систему счисления.
Переводим целую часть по правилам, описанным выше, получаем 103 10
= 1100111 2 .
,625 умножаем на 2. Дробная часть 0,250. Целая часть 1.
,250 умножаем на 2. Дробная часть 0,500. Целая часть 0.
,500 умножаем на 2. Дробная часть 0,000. Целая часть 1.
Итак, сверху вниз получаем число 101 2 . Поэтому 103,625 10
= 1100111,101 2.
Точно также осуществляется перевод в системы счисления с любым
основанием.
Сразу нужно отметить, что этот пример специально подобран, в общем случае
очень редко удаётся завершить перевод дробной части числа из десятичной системы
в другие системы счисления, а потому, в подавляющем большинстве случаев,
перевод можно осуществить с какой либо долей погрешности. Чем больше знаков
после запятой - тем точнее приближение результата перевода к истине. В этих
словах легко убедиться, если попытаться, например, перевести в двоичный код
число 0,626.
Рациональное число x в b-ричной системе счисления представляется в виде
линейной комбинации (вообще говоря, бесконечной) степеней числа b:
где a k - цифры целой части (до запятой), c k - цифры
дробной части (после запятой), n - число разрядов целой части.
Конечной записью в b-ричной системе счисления обладают только
рациональные числа, представимые в виде , где m и q - целые числа:
где и представляют b-ричные записи соответственно частного и
остатка от деления q на b m .
Рациональные числа, не представимые в виде , записываются в виде периодических
дробей.
Симметричные (уравновешенные, знакоразрядные) системы счисления
отличаются тем, что используют цифры не из множества , а из множества . Чтобы цифры были целыми, нужно,
чтобы b было нечётным. В симметричных системах счисления не требуется
дополнительных обозначений для знака числа. Кроме того, вычисления в
симметричных системах удобны тем, что не требуется особых правил округления -
оно сводится к простому отбрасыванию лишних разрядов, что резко уменьшает
систематические ошибки вычислений.
Чаще всего используется симметричная троичная система счисления с цифрами
(-1,0,1). Она применяется в троичной логике и была технически реализована в
вычислительной машине «Сетунь».
Существуют позиционные системы с отрицательными основаниями, называемые
нега-позиционными:
-2 - нега-двоичная система счисления
- нега-десятичная система счисления
Иногда также рассматривают позиционные системы счисления с
нецелочисленными основаниями: рациональными, иррациональными, трансцендентными.
Примерами таких систем счисления являются:
· при b = ⅓ - система счисления с рациональным дробным основанием,
позволяет на троичных реверсивных регистрах сдвига производить операции
умножения и деления на целые числа,
· при b = ½ - система счисления с рациональным
дробным основанием,
· при b = φ = 1,61… - система счисления Бергмана
с иррациональным основанием равным «золотому сечению».
Основаниями позиционных систем счисления могут быть также комплексные
числа. При этом цифры в них принимают значения из некоторого конечного
множества, удовлетворяющего условиям, которые позволяют выполнять
арифметические операции непосредственно с представлениями чисел в этих системах
счисления.
В частности, среди позиционных систем счисления с комплексными
основаниями можно выделить двоичные, в которых используются лишь две цифры 0 и
1.
Далее будем записывать позиционную систему счисления в следующем виде , где ρ - основание системы счисления, а A -
множество цифр. В частности, множество A может иметь вид:
где и . При множество превращается в множество .
Примерами систем счисления с комплексными основаниями являются (далее j -
мнимая единица):
целое положительное число, которое может принимать несколько значений при
данном R;
где множество состоит из комплексных чисел вида
ρ = 2: 2 = (10)ρ (система счисления с натуральным
основанием);
ρ = − 2: 2 = (110)ρ, − 2 = (10)ρ, − 1 = 11ρ (нега-позиционная система
счисления);
ρ = − ρ2: 2 = (10100)ρ, − 2 = (100)ρ, − 1 = 101ρ (система счисления с комплексным
основанием);
: 2 = (10100)ρ, − 2 = (100)ρ, − 1 = (101)ρ (система счисления с комплексным
основанием);
ρ = − 1 + j: 2 = (1100)ρ, − 2 = (11100)ρ, − 1 = (11101)ρ (система счисления с комплексным
основанием);
: 2 = (1010)ρ, − 2 = (110)ρ, − 1 = (111)ρ (система счисления с комплексным
основанием).
Показательные системы счисления являются частным случаем позиционных
систем счисления с показательной зависимостью. Вместо показательной зависимости
могут быть другие зависимости. Например, гипероператорная позиционная система
счисления hiper4(a, b)
позволяет записывать бо́льшие диапазоны чисел тем же числом
знаков.
1. И. Яглом Системы
счисления //
Квант
.
- 1970. - №6. - С. 2-10.
. Позиционные системы
счисления. Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую.
Арифметические операции с числами в позиционных системах счисления
// Введение в
информатику. Лабораторные работы / Авт.-сост. А.П. Шестаков - Пермь: Перм.
ун-т., 1999.
. Поспелов Д.А.
Арифметические основы вычислительных машин дискретного действия - Высшая школа.
- 1970.
Похожие работы на - Позиционные системы счисления Реферат. Информационное обеспечение, программирование.
Реферат по теме Тенденции развития сельского хозяйства в Республике Беларусь
Дипломная работа по теме Право общей и долевой собственности
Как Писать Эссе По Обществознанию 11 Класс
Реферат: Операция
Курсовая работа: Организационная культура в менеджменте
Реферат: Открытие и освоение Дальнего Востока
Курсовая Работа На Тему Наркомания
Реферат: Loss Of Faith In
Курсовая работа: Информационно-справочная система Устройство персонального компьютера
Реферат по теме Приливы
Отчет По Практике На Тему Анализ Финансового Состояния Аб "Металлург"
Реферат: Отчет по практической работе по экономике организации
Школьный Реферат Титульный Лист
Всероссийское Общество Слепых В Адыгеи Реферат
Реферат По Транспортной Безопасности На Воздушном Транспорте
Контрольная работа: Бухгалтерский учет в системе управления рыночной экономикой
Контрольная работа по теме Анализ работы сервисно-локомотивного депо на примере предприятия ООО 'ТМХ Сервис'
Реферат: Особенности агромаркетинга. Скачать бесплатно и без регистрации
Виды Массажа Показания И Противопоказания Реферат
Курсовая работа по теме База данных 'Домашняя библиотека'
Реферат: Древние государства Западной Азии
Реферат: Основы архитектурно-строительного проектирования
Доклад: Людовик XVIII