Построение математических моделей линейных систем управления и их моделирование. Курсовая работа (т). Менеджмент.
👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!
Похожие работы на - Построение математических моделей линейных систем управления и их моделирование
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Нужна качественная работа без плагиата?
Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу Без плагиата!
1.1 Вычисление и построение в Matlab временных
характеристик систем
1.2 Построение асимптотических логарифмических
частотных характеристик
1.3 Составление уравнений состояний в нормальной и
канонической формах
1.4 Решение уравнений состояния в канонической форме
2.1 Расчет оптимального
плана и экстремального значения функции цели
2.2 Исследование
двойственной задачи линейного программирования
2.3 Нахождение целочисленного решения задачи
3.1 Нахождение
безусловного экстремума функции F(x)
3.2 Нахождение экстремума функции F(x) с учетом
системы ограничений
Методы оптимизации находят
широкое применение в различных областях науки и техники. Эти методы успешно
применяются в решении задач технического проектирования устройств и систем,
организационно-экономических и других задач.
В наиболее общем смысле
теория оптимизации представляет собой совокупность фундаментальных
математических результатов и численных методов, которые позволяют найти
наилучший вариант из множества альтернатив и избежать при этом полного перебора
и оценивания возможных решений. Знание методов оптимизации является необходимым
для инженерной деятельности при создании новых, более эффективных и менее
дорогостоящих систем, а также при разработке методов повышения качества
функционирования существующих систем [2].
При постановке задачи
оптимизации необходимо осуществить выбор критерия, на основе которого будет
выполняться оценке наилучшего варианта или условия. Такие критерии могут быть
из разных областей науки, однако с математической точки зрения такие задачи
сводятся к нахождению максимума (минимума) некоторой функции, соответствующего
указанным требованиям.
Целью курсового проекта
является построение математических моделей линейных систем управления и их
моделирование, а также изучение методов оптимизации задач линейного и
нелинейного программирования.
Первый раздел посвящен
анализу заданной с помощью передаточной функции системы. В этом разделе для
этой функции построены переходные и логарифмические амплитудно- и фазочастотная
характеристики, а также построены схемы модели в пространстве состояний в
нормальной и канонической формах и решено уравнение состояния в канонической
форме.
Второй раздел посвящен
решению задач линейного программирования. В этом разделе приведено решение
прямой задачи линейного программирования и соответствующей ей двойственной
задачи, а также целочисленной задачи с помощью симплекс-таблиц.
Третий раздел посвящен
решению задач нелинейного программирования. В этом разделе приведено решение
такой задачи без ограничений методами Ньютона-Рафсона и наискорейшего спуска, а
также с ограничениями методами допустимых направлений Зойтендейка, Куна-Таккера
и линейных комбинаций. Результаты решения различными методами сравнены между
собой.
.1 Вычисление и построение в
Matlab временных характеристик систем
Передаточная функция системы -
отношение изображения выходного сигнала к входному сигналу при нулевых
начальных условиях.
Характеристическое уравнение системы определяется знаменателем
передаточной функции и имеет вид:
Найдем корни характеристического уравнения:
Передаточная функция в форме нулей и полюсов имеет вид:
(1.4)
Импульсная
переходная характеристика -
процесс изменения сигнала на выходе при подаче на вход -функции.
Определим
как
обратное преобразование Лапласа от передаточной функции:
Разложим передаточную функцию (1.4) на сумму простых слагаемых:
Найдем
коэффициенты по
методу неопределенных коэффициентов:
В соответствии с формулой (1.5), таблицами преобразования Лапласа, найдем
импульсную переходную характеристику:
Вид импульсной переходной характеристики, построенный в пакете Matlab, представлен на рисунке 1.1.
Переходная
характеристика -
процесс изменения сигнала на выходе при подаче на вход единичного ступенчатого
воздействия.
Рисунок
1.1 - График импульсной переходной характеристики
Для
получения аналитической формы переходной характеристики дополним систему
интегратором:
С
помощью метода неопределенных коэффициентов найдем коэффициенты :
Определим
как
обратное преобразование Лапласа от :
Вид переходной характеристики построенный в пакете Matlab представлен на рисунке 1.2.
Рисунок 1.2 - График переходной характеристики
Система при воздействии на нее импульсного сигнала со временем
возвращается в исходное состояние. При воздействии ступенчатого сигнала со
временем система приходит в однозначное состояние. Следовательно, заданная по
условию система является устойчивой [1].
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) показывает, как изменяется
отношение выходного сигнала к входному в зависимости от частоты. Фазочастотная
характеристика (ФЧХ) показывает изменение сдвига фаз между входным и выходным
сигналами в зависимости от частоты [1].
Преобразуем передаточную функцию к следующему виду:
Передаточная функция представляет собой произведение трех апериодических
звеньев и одного форсирующего звена.
Найдем сопрягающие частоты звеньев и коэффициент усиления:
Фазочастотная характеристика примет вид:
Используя найденные значения коэффициента усиления и сопрягающих частот,
построим графики ЛАЧХ и ФЧХ. Графики ЛАЧХ и ФЧХ представлен на рисунке 1.3 и
рисунки 1.4. Графики ЛАЧХ и ФЧХ, построенные в пакете Matlab представлены на рисунке 1.5.
Построенные вручную характеристики подобны построенным в пакете Matlab.
Рисунок 1.3 - Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика
Рисунок 1.4 - Фазочастотная характеристика
Рисунок 1.5 - Графики частотных характеристик в Matlab
.1 Расчет оптимального плана и экстремального значения функции цели
К задачам линейного программирования относятся задачи нахождения
условного экстремума функции нескольких переменных, при условии, что функция и
ограничения линейны [2].
Общий вид задачи линейного программирования на поиск максимума:
где
-
матрица из коэффициентов при переменных ограничений;
-
вектор-столбец свободных членов в ограничениях;
-
вектор-строка коэффициентов при переменных функции цели.
Решим задачу (2.1) с помощью симплекс-метода.
Поскольку
предстоит решить задачу на нахождение максимума функции цели, то все исходные
ограничения должны иметь знак меньше или равно. Для этого все ограничения
системы (2.1) со знаком « » умножим
на :
Введем
в систему (2.2) дополнительные переменные для ограничений вида неравенств,
чтобы преобразовать их в равенства. Для ограничения вида равенства
воспользуемся методом искусственного базиса и введем искусственную переменную :
В
связи с вводом искусственных переменных функция цели примет
вид:
где M - коэффициент штрафа за введение
искусственных переменных.
При
составлении первой симплекс-таблицы будем полагать, что исходные переменные являются
небазисными, а введенные переменные - базисными. В задачах максимизации знак
коэффициентов при небазисных переменных в - и M-строках
изменяется на противоположный. Знак постоянной величины в M-строке
не изменяется. Оптимизация проводится сначала по M-строке. Выбор
ведущих столбца и строки, все симплексные преобразования осуществляются как в
обычном симплекс-методе [2].
Шаг
1. Составим начальную симплекс таблицу:
Решение не является допустимым, так как существуют свободные члены,
которые меньше нуля.
Шаг
2. Выберем строку , в
которой свободный член меньше нуля, и выберем в ней максимальный по абсолютному
значению отрицательный элемент, который станет ведущим. Строка будет
исключена из базиса, а столбец будет
включен в базис.
Максимальный
по абсолютному значению элемент строки соответствует
столбцу . Столбец
будет исключен
из базиса. Ведущий элемент выделен полужирным шрифтом в таблице 2.1.
Пересчитаем
таблицу в соответствии с правилами.
Искусственные
переменные, исключенные из базиса, в него больше не возвращаются, поэтому
столбцы элементов таких переменных опускаются.
Решение является допустимым, так как нет отрицательных свободных членов.
Решение является оптимальным, так как нет отрицательных элементов в -строке.
В
исходную функцию цели и ограничения входят только переменные , поэтому
оптимальный план решения задачи:
(2.6)
Экстремальное значение функции (2.1) примет значение:
Предположим, что у нас есть прямая задача вида:
Тогда двойственной задачей к этой прямой задаче будет задача вида:
Составим двойственную задачу для задачи (2.1):
Преобразуем ограничения неравенств в равенства:
Поскольку введенные в систему дополнительные переменные записаны со
знаком минус, то в симплекс-таблицу коэффициенты ограничений войдут с
противоположными знаками [2].
Составим симплекс таблицу, используя выражения (2.8) и (2.9):
Решение не является допустимым, так как существуют свободные члены меньше
нуля.
Поскольку
в строке с отрицательным свободным членом нет отрицательных элементов, то
нельзя выбрать ведущий элемент в этой строке. Поскольку на переменную не
наложено ограничение на знак, то выведем из базиса , а в
базис введем [3].
Выбранный ведущий элемент выделен полужирным шрифтом в таблице 2.3.
Пересчитаем
таблицу в соответствии с правилами.
Решение
является допустимым (допуская ), и
является оптимальным.
В
исходную функцию цели и ограничения входят только переменные , поэтому
оптимальный план решения задачи:
Экстремальное значение функции (2.8) примет значение:
Переменным прямой задачи поставим в соответствие переменные двойственной
задачи:
В-строке
симплекс таблицы 2.4 двойственной задачи расположены коэффициенты при
небазисных переменных .
Используя соответствие, найдем оптимальное решение прямой задачи:
Тогда оптимальный план прямой задачи:
Оптимальный план прямой задачи, найденный путем решения двойственной
задачи, совпадает с оптимальным планом в выражении (2.6), полученным при
решении прямой задачи. Экстремальные значения функции цели прямой и двойственной
задачи совпадают.
Таким образом, переход к двойственной задаче в некоторых случаях может
упростить решение за счет уменьшения количества ограничений, а также возможно
уменьшение числа шагов при решении двойственной задачи симплекс-методом.
Задача, в которой некоторые переменные могут принимать только целые
значения, называется частично-целочисленной.
Для
задачи (2.1) найдем частично-целочисленное решение, считая, что переменная должна
быть целой.
Дополнительное
ограничение должно быть составлено по строке симплекс-таблицы с переменной,
значение которой должны быть целочисленными [1]. Дополнительное ограничение
имеет вид:
где
-
коэффициенты при небазисных переменных в данной
строке;
С
учетом выражения (2.10) для переменной получим:
(2.11)
Добавим условие (2.11) в симплекс-таблицу:
Учтем (2.12) путем добавления дополнительной строки в симплекс-таблицу
(таблицу 2.2). Тогда симплекс-таблица примет вид:
Решение не является допустимым, так как существует свободный член меньше
нуля.
В строке с отрицательным свободным членом найдем максимальный
отрицательный по абсолютному значению элемент. Этот элемент станет ведущим.
Ведущий элемент выделен полужирный шрифтом в таблице 2.5.
Симплекс таблица после пересчета имеет вид, представленный в таблице
(2.6).
Решение является допустимым, но не является оптимальным.
Выберем столбец, в котором функция цели имеет отрицательный коэффициент.
Для выбора строки с базисной переменной, которую необходимо сделать
небазисной, найдем симплексные отношения. Ведущий элемент выделен полужирный
шрифтом в таблице 2.6.
Пересчитаем таблицу в соответствии с правилами.
Решение является оптимальным и допустимым.
В
исходную функцию цели и ограничения входят только переменные , поэтому
оптимальный план решения задачи:
(2.14)
Экстремальное значение функции (2.1) примет значение:
Таким
образом, найденное оптимальное решение соответствует требованию целочисленного
значения переменной .
.1 Нахождение безусловного экстремума функции F(x)
График функции, построенный в Matlab, представлен на рисунке 3.1.
Рисунок 3.1 - График функции в Matlab
Решим задачу различными методами и сравним полученные результаты.
В
данном методе решение заданной нелинейной задачи, как правило, происходит за
один шаг, т.е. будет
решением данной задачи.
Здесь
-
матрица Гессе (матрица, составленная из вторых частных производных), -
значение градиента функции в начальной точке.
В
точке вектор
градиента примет значение:
Найдем обратную матрицу для матрицы Гессе.
Координаты следующей точки будут определятся по выражению:
Найдем
значение вектора градиента по выражению (3.2) в точке :
Следовательно
в точке функция
достигает своего максимального значения:
В данном методе на каждой итерации в текущей точке определяется
направление движения (вектором градиента для задачи на максимум) и величина
шага в данном направлении [2].
Координаты
точки будут
определяться выражением:
где
-
значение вектора градиента, вычисленное в точке ;
-
величина шага в данном направлении.
Найдем
значение функции по выражению (3.1) в точке :
Найдем
направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :
Подставим известные значения в выражение для определения координаты
следующей точки:
Найдем
величину шага . Для
этого подставим в функцию (3.1) найденные выражения для , т.е.
получим функцию зависящую от величины шага. Затем исследуем полученную функцию
на экстремум, для чего возьмем производную от полученной функции и приравняем к
нулю:
Найдем
значение функции по выражению (3.1) в точке :
Координаты
точки будут
определяться выражением:
Найдем
направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :
Подставим известные значения в выражение для определения координаты
следующей точки:
Найдем
величину шага . Для
этого подставим в функцию (3.1) найденные выражения для , т.е.
получим функцию зависящую от величины шага. Затем исследуем полученную функцию
на экстремум:
Найдем
значение функции по выражению (3.1) в точке :
Координаты
точки будут
определяться выражением:
Найдем
направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :
Подставим известные значения в выражение для определения координаты
следующей точки:
Найдем
значение функции по выражению (3.1) в точке :
Координаты
точки будут
определяться выражением:
Найдем
направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :
Подставим известные значения в выражение для определения координаты
следующей точки:
Найдем
значение функции по выражению (3.1) в точке :
Графическая интерпретация метода найскорейшего спуска представлена на
рисунке 3.2.
Рисунок 3.2 - Графическая интерпретация метода наискорейшего спуска
Метод наискорейшего спуска для данной функции медленно сходится к точному
решению, что видно из расчетов и рисунка.
На задачу (3.1) наложим ограничения на значения переменных в соответствии
с условием. Полученная задача примет вид:
Для графического построения области определения преобразуем неравенства:
Область определения построена на рисунке 3.3.
Метод допустимых направлений Зойтендейка.
Метод Зойтендейка является расширением метода наискорейшего спуска,
позволяющий учитывать ограничения. На каждом шаге строится возможное допустимое
направление шага, и выбирается величина шага в соответствии с ограничениями
[1].
Рисунок 3.3 - Область допустимых значений переменных
Координаты
точки будут
определяться выражением:
Найдем
направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :
Подставим известные значения в выражение для определения координаты
следующей точки:
Найдем
величину шага . Для
этого подставим в функцию (3.1) найденные выражения для , т.е.
получим функцию зависящую от величины шага. Затем исследуем полученную функцию
на экстремум:
Найдем
интервал допустимых значений , который
обеспечивает нахождение точки внутри ОДЗП:
Найденное
входит в
найденный выше интервал. Тогда координаты следующей точки определяться по
выражению:
Координаты
точки будут
определяться выражением:
Найдем
направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :
Подставим известные значения в выражение для определения координаты
следующей точки:
Найдем
величину шага так же,
как и на предыдущих шагах:
Найдем
интервал допустимых значений , который
обеспечивает нахождение точки внутри ОДЗП:
Найденное
не
входит в найденный выше интервал. В качестве величины шага возьмем правую
границу интервала .
Найдем
направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :
Вектор градиента направлен в сторону ОДЗП. Следовательно, координаты
следующей точки будут определяться по выражению:
Подставим известные значения в выражение для определения координаты
следующей точки:
Найдем
величину шага так же,
как и на предыдущих шагах:
Найдем
интервал допустимых значений , который
обеспечивает нахождение точки внутри ОДЗП:
Найденное
входит в
найденный выше интервал. Тогда координаты следующей точки определятся по
выражению:
Координаты
точки будут
определяться выражением:
Найдем
направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :
Подставим известные значения в выражение для определения координаты
следующей точки:
Найдем
величину шага так же,
как и на предыдущих шагах:
Найдем
интервал допустимых значений , который
обеспечивает нахождение точки внутри ОДЗП:
Найденное
не
входит в найденный выше интервал. В качестве величины шага возьмем правую
границу интервала .
Найдем
направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :
Вектор
градиента направлен за ОДЗП. Поэтому необходимо найти направление , в
сторону которого нужно двигаться. Найдем это направление из условия , где -
вектор, составленный из коэффициентов при переменных ограничения, на котором
находится точка. Так как точка принадлежит
граничной прямой , то
направление очередного
шага определяем из условия:
Отсюда
следует, что . Тогда
из условия нормировки:
При
движении вдоль граничной прямой следует двигаться в направлении, которое
составляет острый угол с вектором градиента, т.е. скалярное произведение
векторов и должно
быть больше или равно нуля [2]. Это достигается при выборе:
Координаты
точки будут
определяться выражением:
Подставим известные значения в выражение для определения координаты
следующей точки:
Найдем
интервал допустимых значений , который
обеспечивает нахождение точки внутри ОДЗП. Ограничение, вдоль которого
происходит движение, опускается:
Найденное
входит в
найденный выше интервал. Тогда координаты следующей точки определятся по
выражению:
Найденная точка находится в вершине ОДЗП.
Проверим
перпендикулярность направления движения s 1 и вектора градиента , для
этого перемножим эти вектора скалярно:
Скалярное произведение равно нулю, следовательно вектор градиента
перпендикулярен направлению движения, значит максимум достигнут.
Найдем
значение функции по выражению (3.1) в точке :
Графическая интерпретация задачи представлена на рисунке 3.4.
Рисунок 3.4 - Графическая интерпретация метода Зойтендейка
Метод предназначен для решения задачи, в которой функция является
квадратичной, а все ограничения линейны.
Метод основан на использовании теоремы Куна-Таккера.
где
-
неопределенные множители Лагранжа;
- левые
части ограничений задачи, приведенные к нулевой правой части.
Условия
теоремы Куна-Таккера для задачи на поиск максимума:
(3.4)
Преобразуем ограничения задачи к виду с нулевой правой частью. При этом
поскольку решается задача на поиск максимума, ограничения приводятся к знаку
больше или равно:
Составим функцию Лагранжа для задачи:
(3.5)
Составим систему уравнений в соответствии с выражением (3.4):
Приведем
ограничения задачи (3.6) к виду равенств, введя дополнительные переменные :
(3.7)
Для решения задачи линейного программирования (3.7) составим
симплекс-таблицу.
Таблица 3.1 - Исходная симплекс-таблица
Решения является допустимым, так как все свободные члены положительны.
Параметрами
координаты искомой точки являются только , поэтому
оптимальный план решения задачи:
Решение
задачи методом Куна-Таккера совпадает с решением методом Зойтендейка.
В
данном методе на каждом шаге в предыдущей точке нелинейная функция цели
линеаризуется посредством разложения в ряд Тейлора в окрестности данной точки,
пренебрегая всеми степенями старше первой. Затем решается задача линейного
программирования, её решение будет в некоторой вершине ОДЗП. После этого
необходимо найти величину шага в направлении вершины и координаты следующей
точки [2].
Здесь
является
постоянной величиной, поэтому не оказывает влияние на максимизацию. Тогда можно
записать:
Решим
задачу (3.2) с помощью метода линейных комбинаций.
Найдем
направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :
Решим
задачу линейного программирования:
Для получения решения данной задачи составим симплекс-таблицу и решим ее
согласно правилам:
Решение является допустимым, но не является оптимальным, поскольку в
строке функции цели присутствует отрицательный коэффициент.
Выберем столбец, в котором функция цели имеет отрицательный коэффициент.
Для выбора строки с базисной переменной, которую необходимо сделать
небазисной, найдем симплексные отношения. Ведущий элемент выделен полужирный
шрифтом в таблице 3.2.
Пересчитаем таблицу в соответствии с правилами.
Решение является допустимым, так как нет отрицательных свободных членов.
Решение является оптимальным, так как нет отрицательных элементов в - строке.
В
исходную функцию цели и ограничения входят только переменные , поэтому
оптимальный план решения задачи:
Тогда
координаты точки можно
представить в виде:
Подставим известные значения в выражение для определения координаты
следующей точки:
Найдем
величину шага . Для
этого подставим в функцию (3.1) найденные выражения для , т.е.
получим функцию зависящую от величины шага. Затем исследуем полученную функцию
на экстремум:
Найденное
входит
интервал . Тогда
координаты следующей точки определятся по выражению:
Найдем
направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :
Решим задачу
линейного программирования:
Для получения решения данной задачи составим симплекс-таблицу и решим ее
согласно правилам:
Таблица 3.4 - Исходная
симплекс-таблица
Решение является допустимым, так как нет отрицательных свободных членов.
Решение является оптимальным, так как нет отрицательных элементов в -строке.
В
исходную функцию цели и ограничения входят только переменные , поэтому
оптимальный план решения задачи:
Тогда
координаты следующей точки можно представить в виде:
Найдем
величину шага так же,
как и на предыдущем шаге:
Найденное
не
входит интервал . Поэтому
в качестве выберем
правую границу интервала . Тогда
координаты следующей точки определятся по выражению:
Найдем
направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :
Вектор градиента направлен в вершине ОДЗП так, что не позволяет двигаться
ни внутрь ОДЗП, ни по ее границам.
Графическая интерпретация решения задачи методом линейных комбинаций
представлена на рисунке 3.5.
Рисунок
3.5 - Графическая интерпретация метода линейных комбинаций
Решение
методом линейных комбинаций совпадает с решением методом Зойтендейка и методом
Куна-Таккера.
фазочастотный симплекс экстремум функция
В первой части курсового проекта выполнен анализ линейной системы 3-го
порядка, заданной в виде передаточной функции. Получены выражения для
построения временных характеристик системы. По заданной передаточной функции
были построены логарифмические амплитудно-частотная и фазочастотная
характеристики. Правильность результатов построения подтверждена моделированием
в пакете Matlab/Simulink.
Также на основании заданной передаточной функции были составлены
уравнения состояния в нормальной и канонической формах. Получены схемы моделей
системы и проведено моделирование в пакете Matlab/Simulink.
Во второй части курсового проекта решена прямая задача линейного
программирования с применением симплекс-таблиц, составлена и решена
двойственная задача к прямой. Решение прямой задачи и полученное решение при
приведении в соответствие переменных двойственной и прямой задачи совпадает.
Также решена частично-целочисленная задача.
В третьей части курсового проекта решены задачи нелинейного
программирования без ограничений и с ограничениями. В решении задачи без
ограничений показано, что методом Ньютона-Рафсона задача решается за один шаг,
а метод наискорейшего спуска медленно сходится к решению. В задаче нелинейного
программирования с ограничениями показано, что все методы решения задач
одинаково сходятся к одному решению, но за разное количество шагов. Приведены
графики интерпретации метода наискорейшего спуска, метода допустимых
направлений Зойтендейка и метода линейных комбинаций.
[1] Павлова А.В. Электронный учебно-методический комплекс
по учебной дисциплине «Математические основы теории систем» для студентов
специальности 1-53 01 07 Информационные технологии и управление в технических
системах [Электронный ресурс] / А.В. Павлова, М.К. Хаджинов. - Режим доступа: EUMK_MOTS_2013.zip.
[2] Павлова А.В. Математические основы теории систем:
конспект лекций для студентов специальности «Информационные технологии и
управление в технических системах». В 2 ч. / А.В. Павлова. - Минск: БГУИР,
2010. - Ч. 2. - 144 с.
[3] Певзнер Л.Д. Математические основы теории систем / Л.Д.
Певзнер, Е.П. Чураков - М. : Высш. шк., 2009.
Похожие работы на - Построение математических моделей линейных систем управления и их моделирование Курсовая работа (т). Менеджмент.
Реферат: Организация контроля в организации как важная функция менеджмента
Жол Анасы Тұяқ Туралы Эссе
Контрольная работа: Экономическая система. Международная торговля
Курсовая работа по теме Особенности речи у умственно отсталых младших школьников
Реферат: Down With Community Service Essay Research Paper
Реферат по теме Физическая нагрузка и закаливание
Курсовая работа по теме Анализ и оценка финансового состояния банка
Воинский Долг Сочинение
Доклад по теме О социально-экономических особенностях развития России
Курсовая работа по теме Система нормированного кормления жеребых кобыл
Стихи Собственного Сочинения Про Любовь
Курсовая работа по теме Рулевой электропривод судна
Реферат: Физические упражнения для беременных
Реферат На Тему Дом
Курсовая работа: Экономика Республики Беларусь. Скачать бесплатно и без регистрации
Отчет По Производственной Практике Ростелеком
Научная Идея Диссертации
Диссертация По Некромагии Читать Онлайн
Дубровский Преступник Сочинение
Курсовая работа по теме Санкции в уголовно-процессуальном праве
Реферат: Cemeteries And The Micmac Indians Essay Research
Похожие работы на - Политический режим, как элемент формы государства
Статья: Социальная инфраструктура города в зеркале социологии